Sommes (finies)

Variable / constantes

  1. mise en facteur k = 0 n n k 2

  2. développer k = 0 n ( 2 k + 1 ) 2

Usuelles : pour tout n

  1. ajsuter la borne inférieure k = 0 n + 1 ( n + 1 k )

  2. une seule (...)n

    1. produit en puissance k = 0 n 2 k 3 2 k

    2. puissance en produit k = 0 n 3 2 k + 1

  3. produit en somme k = 0 n 3 2 k ( 2 k 3 k )

  4. réindexer k = 0 n ( k + 2 ) 3

  5. Coef binome k = 0 2 n ( 2 n k + 1 ) 2 2 k

    1. Ecriture factorielle k = n + 1 n ! ( n k ) 2 k ; k = 0 n k ( n k )

    2. Pascal HEC III 2005 Pb

Télescopiques (réindexer)

  1. u n + 1 u n : k = 0 n k x k k x k + 1

  2. décomposition de fraction k = 1 n 1 k ( k + 2 ) avec 1 k ( k + 2 ) = a k + b k + 2

Plusieurs formules

  1. découpage k = 0 2 n k n

  2. pair / impair :
    k = 0 k pair 2 n 3 k
    k = 0 2 n ( 2 n k ) et k = 0 2 n ( 1 ) k ( 2 n k ) et en déduire k = 0 k pair 2 n ( 2 n k ) et k = 0 k impair 2 n ( 2 n k )

Récurrence

Pour tout n : k = 0 n ( k + q q ) = ( n + q + 1 q + 1 )

Séries

  1. Usuelles k = 0 + k 2 k 3 2 k + 1 k !

  2. Somme partielle k = 1 + 1 k ( k + 1 )

  3. théorèmes de convergence

    1. factorisation k = 0 + k + 2 k 3 k

    2. absolue convergence k = 0 + k + ( 2 ) k 3 k

    3. série / intégrale fonction décroissante et positive : cv de 1 + 1 x ln ( x ) x en déduire cv de k = 1 + 1 k ln ( k )

Probabiltiés

  1. probabiltiés totales

  2. probabiltié de réunion

  3. espérance

Intégrales

  1. bornes variables : chasles k = 1 n k k + 1 1 t t

  2. contenu variable : linéarité k = 0 n 0 1 x k x

  3. Sommes doubles

    1. parenthèses i = 0 n j = 0 i x j

    2. Inversion i = 1 n j = i n ( j i )

  4. Inégalités : sur le contenu
    k = 2 n 1 k ( k 1 ) k = 1 n 1 k 2 1