Développements limités et applications

Formules de Taylor

Prérequis

Fonctions de classe C n , intégration par parties, factorielle,

Taylor reste intégrale

Théorème

Si f est une fonction de classe C n + 1 sur un intervalle I et que a et b en sont éléments, alors f ( b ) = k = 0 n ( b a ) k k ! f ( k ) ( a ) + a b ( b t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) t

Si f est une fonction de classe C n + 1 sur un intervalle I et que 0 et x en sont éléments, alors f ( x ) = k = 0 n x k k ! f ( k ) ( 0 ) + 0 x ( x t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) t

Exercice

Démontrer la seconde formule ... par récurrence.

Exercice

Démontrer que f : x ln ( 1 + x ) est de classe C sur ] 1 , + [
puis que f ( n ) ( x ) = ( 1 ) n 1 ( n 1 ) ! ( 1 + x ) n puis appliquer TRI à l'ordre n .

Inégalités de Taylor-Lagrange

Prérequis

valeur absolue et inégalités, intégrales et inégalités (positivité)

Théorème avec ordre

Si a b et que f est C n + 1 sur [ a , b ] et que m f ( n + 1 ) ( t ) M pour tout t de I alors m ( b a ) n + 1 ( n + 1 ) ! f ( b ) k = 0 n ( b a ) k k ! f ( k ) ( a ) M ( b a ) n + 1 ( n + 1 ) !

Preuve

dans a b ( b t ) n n ! f ( n + 1 ) ( t ) t on encadre m f ( n + 1 ) ( t ) M et comme les bornes a b sont en ordre croissant, l'inégalité est conservée en intégrant.
Attention : une primitive de t ( b t ) n est \dotfill

Théorème avec valeur absolue

Si f est C n + 1 sur I et que a et b en sont éléments et que | f ( p + 1 ) ( t ) | k pour tout t I alors | f ( b ) k = 0 n ( b a ) k k ! f ( k ) ( a ) | k | b a | n + 1 ( n + 1 ) !

Preuve

On distingue suivant que a b ou b a et on applique TRI en traduisant : | A | B .......

Exercice

Montrer que pour tout x [ a , a ] : e x e a et en déduire que | e x k = 0 n x k k ! | e a | x | n + 1 ( n + 1 ) ! (Indication : 1 = e 0 ) et en déduire un résultat sur les séries exponentielles.

N.B.

Si f ( n + 1 ) est bornée sur un intervalle autour de 0 , on en déduit (Taylor-Young)
f ( x ) = k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k + o ( x n )

Développements limités

Prérequis

notation o ( x n ) = x n ϵ ( x ) avec ϵ ( x ) 0.

D.L. usuels

Théorème

Il existe des fonctions ϵ i sont toutes distinctes, mais tendant vers 0 en 0 telles que : e x = 1 + x + x ϵ 1 ( x ) = 1 + x + x 2 2 ! + x 2 ϵ 2 ( x ) = x 0 0 ! + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 3 ϵ 3 ( x ) = ln ( 1 + x ) = x + x ϵ 1 ( x ) = x x 2 2 + x 2 ϵ 2 ( x ) = + x x 2 2 + x 3 3 + x 3 ϵ 3 ( x ) = ( 1 + x ) α = 1 + α x + x ϵ 1 ( x ) = 1 + α x + α ( α 1 ) 2 x 2 + x 2 ϵ 2 ( x ) = 1 + α 1 ! x + α ( α 1 ) 2 ! x 2 + α ( α 1 ) ( α 2 ) 3 ! x 3 + x 3 ϵ 2 ( x ) =  et en particulier 1 + x = 1 + 1 2 x + x ϵ 1 ( x ) = 1 + 1 2 x 1 8 x 2 + x 2 ϵ 2 ( x )

Preuve

Les fonctions précédentes ont toutes leurs dérivées bornées autour de 0 puis d'après le N.B. précédent.

Définition

Développment limité

f a un développement limité d'ordre n en 0 si il existe une fonction ϵ tendant vers 0 en 0 et une fonction polynôme P de degré au plus n telles que f ( x ) = P ( x ) + x n ϵ ( x ) P est appelé partie principale du D.L. et x n ϵ ( x ) le reste.
C'est ce reste qui donne l'ordre du D.L.

Ailleurs

f a un développement limité d'ordre n en a si f ( a + h ) = P ( h ) + h n ϵ ( h )

Troncature

On peut diminuer l'ordre d'un D.L. en factorisant dans le reste les termes au delà d'un degré : 2 x + x 2 + 3 x 3 + x 3 ϵ ( x ) = 2 x + x 2 + x 2 [ 3 x + x ϵ ( x ) ] = 2 x + x 2 + x 2 ϵ 2 ( x ) avec ϵ 2 ( x ) = [ 3 x + x ϵ ( x ) ] 0 et on passe ainsi d'un D.L. d'ordre 3 à un ordre 2 par troncature.

Exercice

Transformer cette écriture en D.L. :
x 2 + 3 x 3 x 3 ϵ ( x ) + 2 x + 2 x 2 x 4 + x 4 ϵ 1 ( x ) avec ϵ et ϵ 1 tendant vers 0 en 0.

Opérations

Idée

par troncature, chaque reste peut absorber les termes de degré plus élevés.
On trie les termes par degré croissant, et dès que l'on rencontre un reste, on y intègre ceux de degré supérieur.

Somme

Il suffit de réordonner par degré croissant
x 2 + 3 x 3 x 3 ϵ ( x ) 2 x + 2 x 2 x 4 + x 4 ϵ ( x )
= x ( . . ) + x 2 ( . ) + .

Produit

On distribue en regroupant les termes par degré croissants
( 3 + x 2 x 2 + x 2 ϵ ( x ) ) ( 1 + 2 x + x 2 + x 2 ϵ 1 ( x ) )
= ( . . ) + x ( ) + x 2 ( ) +

Composée

Attention il faut que le contenu tende vers 0 et pour cela factoriser d'abord par le prépondérant.
On calculera à part les DL des X k

Exercice

Donner un DL de ln ( 1 + e x ) en utilisant e x = 1 + x + x 2 2 + x 2 ϵ ( x ) et
ln ( 1 + X ) = X X 2 2 + X 2 ϵ 2 ( X )

Applications

Limites

Idée : le D.L. changera les fonctions en presque polynôme. Mais il faut être en 0 pour pouvoir utiliser les D.L. usuels. D'où un travail préparatoire :

Méthode

Pour déterminer une limite, on cherche , dans l'ordre :

Exercice de virtuose

Limite en 4 de x 2 e x 4 ln ( x ) 2 ln ( 2 )

Continuité, prolongement

Pour montrer qu'une fonction est continue en un point, on utilise la continuité des fonctions usuelles et \dotfill

Les théorèmes ne s'appliquent quand on change de formule, on revient alors à la définition :

Défintion

f est continue en a si :\dotfill

Exercice

Soit f ( x ) = { x e x 1 si  x 0 1 si  x = 0
Montrer que f est continue sur .

Défintion et théorème : prolongement par continuité

Soit f non définie en a mais ayant une limite finie en ce point.
La fonction f prolongée par continuité est f ˜ définie par :\dotfill
Elle est continue en a !

Dérivabilité, tangente

Pour prouver la dérivabilité en un point et trouver la dérivée de la fonction, on utilise :\dotfill

Là où les théorèmes ne s'appliquent pas, on revient à la définition :

Défintion

f est dérivable en a si f est définie sur un intervalle autour de a (non réduit à un point) et si \dotfill
La dérivée de f en ce point est f ( a ) = \dotfill

Exercice

Soit f ( x ) = { ln ( 1 + x ) x si  x 0 1 si  x = 0 .
Montrer que f est dérivable en 0 et calculer sa dérivée en ce point.

Théorème de prolongement C 1

Pour un prolongement en a :
Si f est continue sur [ a , b ] et que f ( x ) p quand x a alors f est C 1 en a et f ( a ) = p .

Exercice

Soit f ( x ) = x ln ( 1 + x ) pour x 0.
Déterminer son prolongement par continuité en 0 ,
Calculer f ( x ) pour x 0. puis montrer que f est de classe C 1 sur ] 1 , + [

Tangente

Si f ( a ) = p , une équation de la tangente en a à la courbe de f est : \dotfill
Si f ( a + h ) = α + β h + h ϵ ( h ) avec ϵ ( h ) 0 on a alors une tangente en a d'équation y = α + β ( x a )

Exercice

Soit f ( x ) = ln ( 1 + x ) x Déterminer le D.L. d'ordre 1 (en partant de l'ordre 2) de f en 0 et en déduire l'équation de la tangente à sa courbe en 0 .

Asymptotes

D.L. à l'infini

On se ramène en 0 souvent par h = 1 x .

Caractérisation

La droite d'équation y = a x + b est asymptote à la courbe représentative de f en + si f ( x ) = a x + b + ϵ ( x ) avec ϵ ( x ) 0 quand x + .
cela s'obtient naturellement avec un D.L.

Recherche

On détermine successivement

Exercice

Soit f ( x ) = x 2 ln ( 1 + x x ) . étudier en + .

Position relative

Elle est donnée par le signe de f ( x ) a x b .

Avec le D.L. à l'infini

Si f ( x ) = a x + b + c x + 1 x ϵ ( x )
alors f ( x ) a x b = 1 x ( c + ϵ ( x ) ) du signe de c x au voisinage de l'infini

Exercice

Soit f ( x ) = ( x + 1 ) e 1 / x avec h = 1 x , faites le DL d'ordre 1 (en partant de l'ordre 2 pour exp ) et en déduire l'asymptote et la position relative en + .