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\begin{document}


\begin{center}
{\Huge Cours Diagonalisation}

par Pierre Veuillez
\end{center}

\section{Objectif}

Pour une matrice $A$ donn\'{e}e, d\'{e}terminer une matrice $D$ diagonale et
une matrice $P$ inversible telle que $A=P\cdot D\cdot P^{-1}.$

\begin{description}
\item[Interpr\`{e}tation :] Quelle relation reconna\^{\i}t-on ? Que doit-on d%
\'{e}terminer pour arriver \`{a} un tel r\'{e}sultat.
\end{description}

Dans toute la suite, $E$ sera un espace vectoriel de dimension finie.

\section{Diagonalisation d'endomorphisme}

\subsection{El\'{e}ments propres}

\begin{description}
\item[D\'{e}finition :] Soient $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ et $u\in E$%
\newline
$u$ est un \textsl{vecteur propre} de $f$ si $u\neq 0$ et s'il existe $%
\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $f\left( u\right) =\alpha u.$

\item[M\'{e}thode : ] Comment montrer que $\alpha $ existe ?

\item[Exercice 1 :] Soit $f$ d\'{e}finie par $f\left( P\right) =\left(
X+1\right) P^{\prime }.$ \newline
Montrer que $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}_{2}\left[ X\right] \right) $
et que $\left( X+1\right) ^{2}$ est un vecteur propre de $f.$

\item[D\'{e}finition :] $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ est
diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$
est diagonale : une base de vecteurs propres.

\item[D\'{e}finition :] Soient $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ et $u\in E$
et $\alpha \in \mathbb{R}.$\newline
$u$ est un \textsl{vecteur propre} de $f$ \textsl{associ\'{e} \`{a} la
valeur propre} $\alpha $ si $u\neq 0$ et $f\left( u\right) =\alpha u.$

\item[Exercice 2 :] Soit $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{2}\right) $ de
matrice $A=\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
3 & 2%
\end{array}%
\right) $ dans la base canonique.\newline
Montrer que $\left( 1,-1\right) $ est vecteur propre de $f$ associ\'{e} \`{a}
la valeur propre $-1.$

\item[D\'{e}finition :] Soient $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ et $\alpha
\in \mathbb{R}.$\newline
$\alpha $ est une \textsl{valeur propre} de $f$ si il existe $u\neq 0$ tel
que $f\left( u\right) =\alpha u.$

\item[M\'{e}thode :] Comment trouver $u$ ? Quelle est son image par $f-%
\mathrm{Id}$ ?

\item[Exercice 3 :] Soit $A=\left( 
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ 
1 & 0%
\end{array}%
\right) $ et $f:M\rightarrow AM.$ \newline
Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}%
\right) $ . Montrer que $1$ est valeur propre de $f.$

\item[Variations :] Montrer que cela \'{e}quivaut \`{a} $\ker \left(
f-\alpha Id\right) \neq \left\{ 0\right\} $ ou \`{a} $\mathrm{mat}_{\mathcal{%
B}}\left( f\right) -\alpha I$ non inversible ($\mathcal{B}$ une base de $E$).

\item[D\'{e}finition :] $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ et $\alpha $ une
valeur propre de $f.$\newline
Le \textsl{sous espace propre} de $f$ \textsl{associ\'{e} \`{a} la valeur
propre} $\alpha $ est $E_{\alpha }=\left\{ u\in E\ /\ f\left( u\right)
=\alpha u\right\} =\ker \left( f-\alpha \mathrm{Id}\right) .$

\item[Exercice 4 :] Soit $f$ d\'{e}finie par $\ f\left( x,y\right) =\left(
x+2y\ ,\ 2x+y\right) $ pour tout $\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}.$%
\newline
Montrer que $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{2}\right) $ et d\'{e}%
terminer sa matrice dans la base canonique.\newline
Montrer que $u=u\left( 1,1\right) $ est vecteur propre de $f$ et d\'{e}%
terminer la valeur propre associ\'{e}e.\newline
Montrer que $\alpha =-1$ est vecteur propre de $f$ et d\'{e}terminer le sous
espace propre $E_{-1}$ associ\'{e}. Montrer que $v=\left( 1,-1\right) \in
E_{-1}.$\newline
Montrer que $\left( u,v\right) $ est une base de $\mathbb{R}^{2}$ et d\'{e}%
terminer la matrice de $f$ dans cette base.

\item[Th\'{e}or\`{e}me :] $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ et $E$ de
dimension finie.\newline
alors $f$ bijective $\Longleftrightarrow $ $0$ n'est pas valeur propre de $%
f. $

\item[Exercice 5 :] le d\'{e}montrer !
\end{description}

\subsection{Spectre d'un endomorphisme.}

\begin{description}
\item[D\'{e}finition : ] $f\in \mathcal{L}\left( E\right) .$\newline
Le spectre de $f$ est l'ensemble de ses valeurs propres.

\item[M\'{e}thode matricielle :] $M$ la matrice de $f$ dans une base de $E.$%
\newline
A quelle condition sur $M,$ $\alpha $ est-il valeur propre de $f$ ?

\item[Exercice 1 :] Soit $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{3}\right) $ de
matrice $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) $.. D\'{e}terminer les valeurs propres de $f.$

\item[Par r\'{e}solution de syst\`{e}me :] Soit $f\in \mathcal{L}\left( 
\mathbb{R}^{3}\right) $ de matrice $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
3 & -1 & -1 \\ 
1 & 1 & -1 \\ 
1 & -1 & 1%
\end{array}%
\right) $ dans la base canonique. \newline
D\'{e}terminer les sous espaces propres de $f$ ainsi qu'une base de chacun.
\end{description}

\subsection{Conditions de diagonalisabilit\'{e}}

\begin{description}
\item[Th\'{e}or\`{e}me :] Des vecteurs propres associ\'{e}s \`{a} des
valeurs propres distinctes forment une famille libre.

\item[Preuve :] Par r\'{e}currence, en prenant l'image par $f$ et en
combinant pour \'{e}liminer $u_{n+1}.$

\item[Cons\'{e}quence :] Combien peut-il y avoir de valeurs propres
distinctes au plus ?

\item[Exercice 1 :] Soit $f$ d\'{e}finie par $f\left( P\right) =\left(
X+1\right) P^{\prime }$ endomorphisme de $\mathbb{R}_{2}\left[ X\right] $
(Exercice 1)\newline
Montrer que $P=1,\ Q=X+1$ $\ $et $R=\left( X+1\right) ^{2}$ sont des
vecteurs propre de $f.$\newline
En d\'{e}duire (toutes) les valeurs propres de $f.$

\item[Th\'{e}or\`{e}me (Condition suffisante) : ] Soit $f\in \mathcal{L}%
\left( E\right) $ et $E.$de dimension $n.$ \newline
\textbf{Si }$f$ a $n$ valeurs propres distinctes \textbf{alors} $f$ est
diagonalisable.\newline
la concat\'{e}nation d'un vecteur propre associ\'{e} \`{a} chaque valeur
propre forme une base de $E.$\newline
la matrice de $f$ dans cette base est alors diagonale.

\item[Exercice 2 :] Soit $f$ de matrice $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\ 
-1 & 0 & 1 \\ 
1 & -1 & 0%
\end{array}%
\right) $ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{3}.$\newline
Montrer que $0,\ 1$ et $-1$ sont valeurs propres de $f.$\newline
En d\'{e}duire une matrice $P$ inversible telle que $M=P\cdot D\cdot P^{-1}$
avec $D$ de diagonale $0,\ 1$ et $-1.$

\item[Lemme (rare) :] La concat\'{e}nation de familles de vecteurs libres
associ\'{e}s \`{a} des valeurs propres distinctes forme une famille libre.

\item[Preuve :] Regrouper une combinaison nulle suivant chaque sous-espace
propre et appliquer le th\'{e}or\`{e}me pr\'{e}c\'{e}dent.

\item[Cons\'{e}quence :] Quelle peut \^{e}tre la somme des dimensions des
sous espaces propres ?

\item[Th\'{e}or\`{e}me (CNS) :] $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ est
diagonalisable \textbf{si et seulement si } la somme des dimensions des sous
espaces propres est \'{e}gale \`{a} la dimension de $E.$\newline
La concat\'{e}nation des bases des sous espaces propres forme alors une base
de l'espace.\newline
La matrice de $f$ dans cette base est donc diagonale.

\item[Exercice 3 :] Soit $f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{4}\right) $ de
matrice $M=\left( 
\begin{array}{cccc}
4 & -1 & -1 & 0 \\ 
0 & 3 & -1 & 0 \\ 
0 & -1 & 3 & 0 \\ 
2 & -1 & -1 & 2%
\end{array}%
\right) $ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{4}.$\newline
Montrer que $2$ et $4$ sont valeurs propres de $f$ et d\'{e}terminer les
sous espaces propres associ\'{e}s.\newline
En d\'{e}duire que $f$ est diagonalisable ainsi qu'une base de vecteurs
propres.
\end{description}

\section{Diagonalisation d'une matrice.}

\subsection{M\'{e}thode g\'{e}n\'{e}rale}

\begin{description}
\item[D\'{e}finition :] $M\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right) $ est
diagonalisable s'il existe une matrice $P$ inversible et une matrice $D$
diagonale telle que 
\begin{equation*}
M=P\cdot D\cdot P^{-1}
\end{equation*}

\item[El\'{e}ments propres :] Soit $M\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}%
\right) $ une matrice carr\'{e}e. \newline
Les \'{e}l\'{e}ments propres de $M$ sont ceux de l'endomorphisme $f$ de $%
\mathbb{R}^{n}$ associ\'{e} \`{a} $M$ dans la base canonique.\newline

\item[Traduction :] $u=\left( x,y\right) $ est vecteur propre de $M=\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
2 & 4%
\end{array}%
\right) $ signifie que ? (On dira aussi que $\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}%
\right) $ est colonne propre)

\item[Diagonalisation :] Comment interpr\'{e}ter la relation $M=P\cdot
D\cdot P^{-1}$ pour $f$ ?\newline
Que repr\'{e}sente $P$ ? \newline
Que trouve-t-on sur la diagonale de $D$ ?\newline
A quelle condition sur $f,$ la matrice $M$ est-elle diagonalisable ?

\item[Conditions de diagonalisabilit\'{e} :] On retrouve les th\'{e}or\`{e}%
mes pr\'{e}c\'{e}dents :\newline

\begin{itemize}
\item \textbf{Si} $M$ a $n$ vecteurs propres associ\'{e}s \`{a} $n$ valeurs
propres distinctes, \textbf{alors} elle est diagonalisable.\newline
Avec $P$ la matrice des coordonn\'{e}es des vecteurs propres associ\'{e}s
(=les vecteurs propres eux m\^{e}mes) en colonne et $D$ la matrice diagonale
des valeurs propres dans le m\^{e}me ordre que les vecteurs propres on a $%
M=P\cdot D\cdot P^{-1}$

\item Une matrice $M$ est diagonalisable \textbf{si et seulement si }\ Si la
somme des dimensions des sous espace propres est \'{e}gale \`{a} $n.$\newline
En concat\'{e}nant les bases des sous espaces propres, soit $P$ la matrice
des coordonn\'{e}es de ces vecteurs (=les vecteurs eux m\^{e}mes).\newline
Soit $D$ la matrice diagonale des valeurs propres dans le m\^{e}me ordre que
les vecteurs propres.\newline
On a alors $M=P\cdot D\cdot P^{-1}$
\end{itemize}

\item[Exercice 1 :] Diagonalisez $\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
2 & 4%
\end{array}%
\right) $

\item[Exercice 2 \ :] Diagonaliser $\left( 
\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\ 
-3 & 1 & 3 \\ 
-3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right) $
\end{description}

\subsection{Cas particuliers}

\begin{description}
\item[Matrices triangulaires :] Soit $T$ une matrice triangulaire. \newline
Pour quelles valeurs de $\alpha $ est-ce que la matrice $T-\alpha I$
sera-t-elle non inversible ? Quelles sont les valeurs propres de $T$ ?

\item[Exercice 1 :] Soit $T=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 0 & 2%
\end{array}%
\right) $. Quelles sont les valeurs propres de $T.$ Est-elle diagonalisable ?

\item[Relation polyn\^{o}miale :] Pour un polyn\^{o}me de degr\'{e} 2, $%
aM^{2}+bM+cI=0.$\newline
Qu'est-ce que signifie que $\alpha $ est valeur propre de $M$ ? \newline
Comment le mettre en rapport avec la relation pr\'{e}c\'{e}dente ? \newline
Que peut on en d\'{e}duire pour $\alpha ,$ \textbf{si }$\alpha $ est valeur
propre de $M$ ?\newline
Que peut on dire des solutions de $ax^{2}=bx+c=0$ ?

\item[Th\'{e}or\`{e}me :] \textbf{Si} une matrice $M$ v\'{e}rifie une
relation pronominale $P\left( M\right) =0$ \textbf{alors }les valeurs
propres de $M$ v\'{e}rifient la m\^{e}me relation.

\item[Exercice 2 :] Soit $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -1 \\ 
1 & 0 & -1 \\ 
1 & -1 & 0%
\end{array}%
\right) $\newline
Calculer $M^{3}-3M^{2}+2M.$ En d\'{e}duire les valeurs propres de $M$ et
diagonaliser $M.$

\item[D\'{e}finition (rare) :] La transpos\'{e}e de $M$ est $\left.
^{t}M\right. $ dont les colonnes sont les lignes de $M.$

\item[Th\'{e}or\`{e}me (rare) :] $^{t}\left( M\cdot N\right) =\left.
^{t}N\right. \cdot \left. ^{t}M\right. $ : l'ordre du produit est invers\'{e}%
.

\item[Th\'{e}or\`{e}me (rare) :] Si $M$ est inversible alors $\left.
^{t}M\right. $ \'{e}galement et $\left( \left. ^{t}M\right. \right)
^{-1}=\left. ^{t}\left( M^{-1}\right) \right. $

\item[Preuve :] Comment d\'{e}montrer qu'une matrice est l'inverse d'une
autre ?

\item[D\'{e}finition :] $M$ est sym\'{e}trique si $\left. ^{t}M\right. =M.$%
\newline
C'est \`{a} dire si ses lignes sont \'{e}gales \`{a} ses colonnes. \newline
Ses\ coefficients sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} sa diagonale.

\item[Th\'{e}or\`{e}me (fr\'{e}quent) :] Si $M$ est une matrice sym\'{e}%
trique alors $M$ est diagonalisable.

\item[Exercice 3 :] Soit $M=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 1 \\ 
0 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) $. Montrer que $M$ est diagonalisable.
\end{description}

\section{Applications}

\subsection{Puissances de matrice}

\begin{description}
\item[Situations :] Quels exercices usuels conduisent \`{a} une relation $%
U_{n+1}=A\cdot U_{n}$ o\`{u} $U_{n}$ est \ une matrice colonne.\newline
Comment se r\'{e}sout cette relation ?
\end{description}

\subsection{Changement d'inconnue}

Une matrice $A$ \'{e}tant diagonalis\'{e}e $A=P\cdot D\cdot P^{%
%TCIMACRO{\U{a8}}%
%BeginExpansion
\ddot{}%
%EndExpansion
-1},$ les relations l'utilisant se transforment. \newline
Et la relation obtenue est plus facile \`{a} r\'{e}soudre du fait des
coefficients nuls dans $D.$

\begin{description}
\item[Exemples :] Transformer $A\cdot M=M\cdot A$ par le changement de
matrice $N=P^{-1}\cdot M\cdot P$\newline
Transformer l'\'{e}quation $A\cdot M=M$ par le changement de matrice $%
M=P\cdot N..$
\end{description}

\end{document}
