Cours Diagonalisation

par Pierre Veuillez

Objectif

Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1 .

Interprètation :

Quelle relation reconnaît-on ? Que doit-on déterminer pour arriver à un tel résultat ?

Dans toute la suite, E sera un espace vectoriel de dimension finie.

Diagonalisation d'endomorphisme

Eléments propres

Définition :

Soient f ( E ) et u E

u est un vecteur propre de f si u 0 et s'il existe α tel que f ( u ) = α u .

Méthode :

u étant donné, comment montrer que α existe ?

Exercice 1 :

Soit f définie par f ( P ) = ( X + 1 ) P .
Montrer que f ( 2 [ X ] ) et que ( X + 1 ) 2 est un vecteur propre de f .

Définition :

f ( E ) est diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale

f est diagonalisable s'il il existe une base de vecteurs propres.

Définition :

Soient f ( E ) et u E et α .
u est un vecteur propre de f associé à la valeur propre α si u 0 et f ( u ) = α u .

Exercice 2 :

Soit f ( 2 ) de matrice A = ( 1 2 3 2 ) dans la base canonique.
Montrer que ( 1 , 1 ) est vecteur propre de f associé à la valeur propre 1.

Définition :

Soient f ( E ) et α .

α est une valeur propre de f si il existe u 0 tel que f ( u ) = α u .

Méthode :

Comment trouver u pour α donné ? Quelle est son image par f α I d ?

Exercice 3 :

Soit A = ( 0 1 1 0 ) et f : M A M .
Montrer que f est un endomorphisme de 2 ( ) . Montrer que 1 est valeur propre de f .

Théorème

Soient f ( E ) et α .

α est une valeur propre de f si et seulement m a t ( f ) α I non inversible

ce qui équivaut auusi à ker ( f α I d ) { 0 }

Exercice :

le démontrer

Définition :

f ( E ) et α une valeur propre de f .
Le sous espace propre de f associé à la valeur propre α est E α = { u E / f ( u ) = α u } = ker ( f α I d ) .

Exercice 4 :

Soit f définie par f ( x , y ) = ( x + 2 y , 2 x + y ) pour tout ( x , y ) 2 .
Montrer que f ( 2 ) et déterminer sa matrice dans la base canonique.
Montrer que u = u ( 1 , 1 ) est vecteur propre de f et déterminer la valeur propre associée.
Montrer que α = 1 est valeur propre de f et déterminer le sous espace propre E 1 associé. Montrer que v = ( 1 , 1 ) E 1 .
Montrer que ( u , v ) est une base de 2 et déterminer la matrice de f dans cette base.
En déduire une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que ( 1 2 2 1 ) = P D P 1

Théorème :

f ( E ) et E de dimension finie alors

f bijective 0 n'est pas valeur propre de f

Exercice 5 :

le démontrer !

Spectre d'un endomorphisme.

Définition :

f ( E ) .
Le spectre de f est l'ensemble de ses valeurs propres.

Méthode matricielle :

M la matrice de f dans une base de E .
A quelle condition sur M , α est-il valeur propre de f ?

Exercice 1 :

Soit f ( 3 ) de matrice M = ( 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ) .. Déterminer les valeurs propres de f .

Par résolution de système :

On détermine, en discutant suivant la valeur de α , les solutions de ( f α I d ) ( u ) = 0
Quand on trouve des solutions non nulles, α est valeur propre et les solutions sont le sous espace propre associé.

Exercice 2

Soit f ( 3 ) de matrice M = ( 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ) dans la base canonique.
Déterminer les sous espaces propres de f ainsi qu'une base de chacun.

Conditions de diagonalisabilité

Théorème :

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.

Preuve :

Par récurrence, en prenant l'image par f et en combinant pour éliminer u n + 1 .

Conséquence :

Combien peut-il y avoir de valeurs propres distinctes au plus ?

Exercice 1 :

Soit f définie par f ( P ) = ( X + 1 ) P endomorphisme de 2 [ X ] (Exercice 1)
Montrer que P = 1 , Q = X + 1 et R = ( X + 1 ) 2 sont des vecteurs propre de f .
En déduire (toutes) les valeurs propres de f .

Théorème (Condition suffisante) :

Soit f ( E ) et E . de dimension n .

Si f a n valeurs propres distinctes alors
la concaténation d'un vecteur propre associé à chaque valeur propre
forme une base de vecteurs propres de E et f est donc diagonalisable
.

Exercice 2 :

Soit f de matrice M = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) dans la base canonique de 3 .
Montrer que 0 , 1 et 1 sont valeurs propres de f .
( f est-elle bijective ? Montrer que ( 1 , 0 , 1 ) Im ( f ) )
En déduire une matrice P inversible telle que M = P D P 1 avec D de diagonale 0 , 1 et 1.

Lemme (rare) :

La concaténation de familles de vecteurs libres associés à des valeurs propres distinctes forme une famille libre.

Preuve :

Regrouper une combinaison nulle suivant chaque sous-espace propre et appliquer le théorème précédent.

Conséquence :

Quelle peut être la somme des dimensions des sous espaces propres ?

Théorème (CNS)

Soit f ( E ) et E . de dimension n .

f est diagonalisable si et seulement si
la somme des dimensions des sous espaces propres est n .
La concaténation des bases des sous espaces propres
forme alors une base de vecteurs propres de l'espace.
.
La matrice de f dans cette base est donc diagonale.

Exercice 3 :

Soit f ( 4 ) de matrice M = ( 4 1 1 0 0 3 1 0 0 1 3 0 2 1 1 2 ) dans la base canonique de 4 .
Montrer que 2 et 4 sont valeurs propres de f et déterminer les sous espaces propres associés.
En déduire que f est diagonalisable ainsi qu'une base de vecteurs propres.
Déterminer enfin une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que M = P D P 1

Diagonalisation d'une matrice.

Méthode générale

Définition :

M n ( ) est diagonalisable s'il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale telle que M = P D P 1

Eléments propres :

Soit M n ( ) une matrice carrée.
Les éléments propres de M sont ceux de l'endomorphisme f de n associé à M dans la base canonique.

Traduction :

u = ( x , y ) est vecteur propre de M = ( 1 2 2 4 ) signifie que ? (On dira aussi que ( x y ) est colonne propre)

Diagonalisation :

Comment interpréter la relation M = P D P 1 pour f ?
Que représente P ?
Que trouve-t-on sur la diagonale de D ?
A quelle condition sur f , la matrice M est-elle diagonalisable ?

Thérème : Conditions de diagonalisabilité

On retrouve les théorèmes précédents :

Exercice 1 :

Diagonalisez ( 1 2 2 4 )

Exercice 2 :

Diagonaliser ( 2 0 0 3 1 3 3 3 1 )

Cas particuliers

Matrices triangulaires :

Soit T une matrice triangulaire.
Pour quelles valeurs de α est-ce que la matrice T α I sera-t-elle non inversible ? Quelles sont les valeurs propres de T ?

Exercice 1 :

Soit T = ( 1 1 1 0 2 0 0 0 2 ) . Quelles sont les valeurs propres de T . Est-elle diagonalisable ?

Relation polynômiale :

Pour un polynôme de degré 2, a M 2 + b M + c I = 0.
Qu'est-ce que signifie que α est valeur propre de M ?
Comment le mettre en rapport avec la relation précédente ?
Que peut on en déduire pour α , si α est valeur propre de M ?
Que peut on dire des solutions de a x 2 = b x + c = 0 ?

Théorème :

Soit P un polynôme, M n ( ) et α une valeur propre de M

Si P ( M ) = 0 alors P ( α ) = 0

On dit que P est un polynôme annulateur de M .
(et de même si P ( f ) = 0 f est un endomorphisme de E , avec f n = f f )
La réciproque est fausse.

Exercice 2 :

Soit M = ( 2 1 1 1 0 1 1 1 0 )
Calculer M 3 3 M 2 + 2 M . En déduire les valeurs propres de M et diagonaliser M .

Définition (rare) :

La transposée de M est t M dont les colonnes sont les lignes de M .

Théorème (rare) :

t ( M N ) = t N t M : l'ordre du produit est inversé.

Théorème (rare) :

Si M est inversible alors t M également et ( t M ) 1 = t ( M 1 )

Preuve :

Comment démontrer qu'une matrice est l'inverse d'une autre ?

Définition :

M est symétrique si t M = M .
C'est à dire si ses lignes sont égales à ses colonnes.
Ses coefficients sont symétriques par rapport à sa diagonale.

Théorème (fréquent) :

Si M est une matrice symétrique alors M est diagonalisable.

Exercice 3 :

Soit M = ( 1 1 0 1 0 1 0 1 1 ) . Montrer que M est diagonalisable.

Applications

Puissances de matrice

Situations :

Quels exercices usuels conduisent à une relation U n + 1 = A U n U n est une matrice colonne.
Comment se résout cette relation ?

Changement d'inconnue

Une matrice A étant diagonalisée A = P D P ¨ 1 , les relations l'utilisant se transforment.
Et la relation obtenue est plus facile à résoudre du fait des coefficients nuls dans D .

Exemples :

Transformer A M = M A par le changement de matrice N = P 1 M P
Transformer l'équation A M = M par le changement de matrice M = P N . .