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%$E$
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\lfoot{Cours espace vectoriels}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge Espaces vectoriels}
par Pierre Veuillez
\end{center}
\section{Objectifs :}
Disposer d'un lieu o\`{u} les op\'{e}rations $+$ et $\cdot $ se comportent
bien.
D\'{e}terminer des bases (utilisation de la dimension)
Repr\'{e}senter les vecteurs grace \`{a} leurs coordonn\'{e}es dans des
bases.
Relier les coordonn\'{e}es dans diff\'{e}rentes bases grace aux matrices.
\section{Espace vectoriel}
\subsection{Op\'{e}rations}
\begin{description}
\item[D\'{e}fintion (ce que l'on peut y faire)] $\left( E,+,\cdot \right) $
est un espace vectoril (r\'{e}el) si \newline
R\`{e}gles de calcul de la loi $+:$
\begin{itemize}
\item Pour tout $u$ et $v$ de $E:u+v\in E$ (contre exemple ?)\newline
Elle est une "loi de composition interne"
\item Pour tout $u$ et $v$ de $E:u+v=v+u$ (est-ce le cas avec toutes les op%
\'{e}rations ?)
\item Il existe un \'{e}l\'{e}ment neutre (comment le note-t-on ? peut-il y
en avoir 2 ?)
\item Tout \'{e}l\'{e}ment $u$ de $E$ a un oppos\'{e} not\'{e} $-u.$
(signification ?)
\item Pour tout $u,$ $v$ et $w$ de $E:u+\left( v+w\right) =\left( u+v\right)
+w$ (quelle est l'utilit\'{e} ?).\newline
Elle est associative.
\end{itemize}
R\`{e}gles de calcul de la loi $\cdot $
\begin{itemize}
\item Pour tout $u$ de $E$ et $\alpha $ de $\mathbb{R}:\mathbb{\alpha }\cdot
u\in E$ (contre exemple ?).\newline
Elle est une "loi de composition externe"
\item $1$ est neutre pour $\cdot $ (signifiation ? Dans $\mathbb{R}$, $1$
est-il neutre pour $+$ ?)
\item Pour tout $\ \alpha $ et $\beta $ de $\mathbb{R}$ et $u$ de $E:$ $%
\left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot u=\alpha \cdot \left( \beta \cdot
u\right) .$\newline
Elle est "pseudo-associative" (pourquoi pseudo ?)
\end{itemize}
R\`{e}gles de calcul entre $+$ et $\cdot $
\begin{itemize}
\item Pour tout $u$ et $v$ de $E$ et $\alpha $ de $\mathbb{R}:\alpha \cdot
\left( u+v\right) =\alpha \cdot u+\beta \cdot v$.\newline
Elle est distributive.
\item Pour tout $u$ de $E$ et $\alpha $ et $\beta $ de $\mathbb{R}:\left(
\alpha +\beta \right) \cdot u=\alpha \cdot u+\beta \cdot u$ \
(pseudo-distributive )
\end{itemize}
\item[Cons\'{e}quences (ce que l'on peut aussi y faire)] A d\'{e}montrer
pour jouer un peu\newline
Si $\left( E,+,\cdot \right) $ est un $\mathbb{R-}$espace vectoriel alors
\begin{itemize}
\item Pour tout $u$ de $E:0_{\mathbb{R}}\cdot u=0_{E}$ (id\'{e}e : $0_{%
\mathbb{R}}\cdot u+1\cdot u=.$ et donc ?)
\item Pour tout $\alpha $ de $\mathbb{R}:\alpha \cdot 0_{E}=0_{E}$ \newline
$0_{E}$ est un \'{e}l\'{e}ment absorbant.
\item Pour tout $u$ de $E:u+u=2\cdot u$ (id\'{e}e $1\cdot u=u$ et donc ?)
\item Pour tout $u$ de $E:-1\cdot u=-u$ (id\'{e}e : qu'est ce que $-u$ ? )
\item Pour tout $u$ de $E$ et $\alpha $\ de $\mathbb{R}:$ $\alpha \cdot
u=0\Longleftrightarrow $ $?$ (Id\'{e}e : qu'est-ce que "simplifier par " $%
\alpha $ ?)
\end{itemize}
\item[Mise en garde ] le produit et le quotient de deux vecteurs n'est pas d%
\'{e}fini \ dans le cadre d'un espace vectoriel. \newline
(Il faut \^{e}tre dans une "alg\`{e}bre" ).\newline
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Pour tout $u$ non nul de $E$ et $\alpha $\ et $\beta
$ de $\mathbb{R}:$ si $\alpha \cdot u=\beta \cdot u$ alors $\alpha =\beta $
(quelle est le nom de cette propri\'{e}t\'{e} ?)
\item[Notation ] Quand il n'y a pas d'ambigu\"{\i}t\'{e}, on dira l'espace
vectoriel $E$ \ au lieu de $\left( E,+,\cdot \right) $ et on notera $\alpha
u $ au lieu de $\alpha \cdot u.$
\end{description}
\section{R\'{e}f\'{e}rences}
On n'a besoin de v\'{e}rifier ces 10 r\`{e}gles de calculs que pour quelques
r\'{e}f\'{e}rences \`{a} partir desquels on pourra construire de nouveaux
espaces !
\begin{description}
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Pour tout $n$ et $p$ entier, $\left( \mathbb{R}%
^{n},+,\cdot \right) :\left( \mathcal{M}_{n,p}\left( \mathbb{R}\right)
,+,\cdot \right) :\left( \mathbb{R}\left[ X\right] ,+,\cdot \right) :\left(
\mathbb{R}_{n}\left[ X\right] ,+,\cdot \right) $ sont des espaces vectoriels.%
\newline
que sont les op\'{e}rations, l'\'{e}galit\'{e}, le vecteur nul \ ?\newline
\item[Th\'{e}or\`{e}me \ (Produit cart\'{e}sien)] Si $\left( E,+\cdot
\right) $ et $\left( F,+\cdot \right) $ sont des espaces vectoriels alors $%
\left( E\times F,+,\cdot \right) $.\newline
Quels sont les \'{e}l\'{e}ments de $E\times F$ ? Comment d\'{e}finit on l'%
\'{e}galit\'{e} , les op\'{e}rations. ? Quel est le vecteur nul ?\newline
\item[Th\'{e}or\`{e}me (Applications)] Si $\left( E,+,\cdot \right) $ et un
espace vectoriel et $\mathcal{E}$ un ensemble non vide alors $\left(
\mathcal{A}\left( \mathcal{E},E\right) ,+,\cdot \right) $ est un espace
vectoriel.\newline
Qu'est-ce qu'une application ? Comment d\'{e}finit on l'\'{e}galit\'{e} ,
les op\'{e}rations. ? Quel est le vecteur nul ?
\item[Exercice ] Dans $\left( \mathcal{A}\left( \left] 0,+\infty \right[ ;%
\mathbb{R}\right) \ ,+,\cdot \right) $ montrer que la famille $\left( \ln
,\exp \right) $ est libre.
\item[Id\'{e}e des preuves] ces th\'{e}or\`{e}mes viennent de la d\'{e}%
finition des op\'{e}ration, qui se font sur les composantes r\'{e}elles.
\end{description}
\section{Sous-espaces vectoriels.}
\subsection{Caract\'{e}risation}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition] $\left( E,+,\cdot \right) $ un espace vectoriel.%
\newline
$F$ est une sous espace vectoriel de $\left( E,+,\cdot \right) $ si $%
F\subset E$ et si $\left( F,+,\cdot \right) $ est un espace vectoriel.%
\newline
Que signifie l'inclusion $\ F\subset E$ ?
\item[LE th\'{e}or\`{e}me] $\left( E,+,\cdot \right) $ un espace vectoriel
(de r\'{e}f\'{e}rence, et ne s'appelant pas $E$ en g\'{e}n\'{e}ral).\newline
$F$ est un sous espace vectoriel de $\left( E,+,\cdot \right) $ si
\begin{itemize}
\item $F\subset E$
\item $0_{E}\in F$
\item Pour tout $u$ et $v$ de $F$ et $\alpha $ et $\beta $ de $\mathbb{R}$
on a $\alpha u+\beta v\in F$
\end{itemize}
On dit que $F$ est stable par combinaison lin\'{e}aire.
\item[Id\'{e}e de la preuve] Les lois externes $\alpha u=\alpha u+0u\in F$
et interne : $u+v=1u+1v\in F$\newline
Les autres propri\'{e}t\'{e}s \'{e}tant vraies dans $E$, elles le sont dans $%
F.$
\item[Exercice] Soit $E=\left \{ f\in C^{1}\left( \mathbb{R},\mathbb{R}%
\right) \ /\ f-f^{\prime }=0\right \} $\newline
Montrer que $\left( E,+,\cdot \right) $ est un espace vectoriel
\item[Exercice ] Soit $A$ $\in $ $\mathcal{M}_{3,3}\left( \mathbb{R}\right) $
et $E=\left \{ M\in \mathcal{M}_{3,3}\left( \mathbb{R}\right) \ /\
AM=MA\right \} .$\newline
Montrer que $\left( E,+,\cdot \right) $ est un espace vectoriel.
\end{description}
\subsection{Sous espace engendr\'{e}}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition ] Dans un espace vectoriel $E,$ un vecteur $u$ est
combinaison lin\'{e}aire des vecteurs $u_{1},\cdots ,u_{n}$ de $E$ si il
existe des r\'{e}els (param\`{e}tres) $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ tels
que $u=\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}$
\item[Exercice ] Montrer que $\left( 5,12,13\right) $ est combinaison lin%
\'{e}aire de $\left( 1,2,3\right) $ et de $\left( 1,3,2\right) $.
\item[D\'{e}fintion ] Soit $E$ un vecteur espace vectoriel et $u_{1},\cdots
,u_{n}$ des vecteurs de $E.$\newline
Le sous espace vectoriel engendr\'{e} par $\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right)
$ est $F=\left \{ \alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}\ /\ \alpha
_{1},\cdots ,\alpha _{n}\in \mathbb{R}\right \} $\newline
On le note $F=\mathrm{Vect}\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $\newline
Quel est le travail \`{a} faire pour arriver \`{a} une telle \'{e}criture ?%
\newline
Comment montrer qu'un vecteur $u$ appartient \`{a} un tel ensemble ?
\item[Plus rare] $\left( u_{i}\right) _{i\in I}$ \ une famille de vecteurs
(infine) de $E$.\newline
$\mathrm{Vect}\left( u_{i}\right) _{i\in I}$ \ est l'ensemble des
combiniasons lin\'{e}aires \textsl{finies }de vecteurs de $\left(
u_{i}\right) _{i\in I}$\newline
Par exemple $\mathrm{Vect}\left( \left( X^{i}\right) _{i\in \mathbb{N}%
}\right) $ est l'ensemble des polyn\^{o}mes. (on n'a qu'un nombre fini de mon%
\^{o}me dans chaque polyn\^{o}me)
\item[Exercice] Ecrire les ensembles suivants sous forme de sous espace
engendr\'{e}, et pr\'{e}cisez dans quel espace vectoriel.\newline
Id\'{e}e : il faut param\`{e}trer les \'{e}l\'{e}ments.\newline
$E=\left \{ x\rightarrow \alpha \ln \left( x\right) +\beta \exp \left(
x\right) \text{ pour }x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }\ /\ \alpha ,\beta \in
\mathbb{R}\right \} $\newline
$F=\left \{ M\in \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \ /\ AM=MA\right \} $
avec $A=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0%
\end{pmatrix}%
$\newline
$G=\left \{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\ /\ \left \{
\begin{array}{c}
x+y+z=0 \\
x+2y=0%
\end{array}%
\right. \right \} $\newline
$H=\left \{ P\in \mathbb{R}_{2}\left[ X\right] \ /\ P-XP^{\prime }=0\right \} $
\item[Exercice] Montrer que $\left( 5,12,13\right) \in \mathrm{Vect}\left(
\left( 1,2,3\right) \ ,\ \left( 1,3,2\right) \right) $
\item[L'AUTRE th\'{e}or\`{e}me] Soit $E$ un vecteur espace vectoriel et $%
u_{1},\cdots ,u_{n}$ des vecteurs de $E.$\newline
Alors $\mathrm{Vect}\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ est un sous-espace
vectoriel de $\left( E,+,.\right) $ \newline
et donc $\left( \mathrm{Vect}\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) ,+,\cdot
\right) $ est un espace vectoriel !
\item[Id\'{e}e de la preuve] La \ combinaison de deux combianison en est
encore une. Puis on applique LE th\'{e}or\`{e}me.
\item[Exercice] Montrer que les ensembles ci dessus sont des espaces
vectoriel.
\item[Conclusion] Quand on a facilement acc\`{e}s \`{a} une \'{e}criture
param\`{e}trique de l'ensemble, on en d\'{e}duit l'\'{e}criture $\mathrm{Vect%
}\left( \cdots \right) $ et donc la structure d'espace vectoriel.
\end{description}
\section{Bases}
\subsection{Famille g\'{e}n\'{e}ratrice}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition] Soit $E$ un espace vectoriel et $\left( u_{1},\cdots
,u_{n}\right) $ un famille de vecteur de $E.$\newline
$\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ est g\'{e}n\'{e}ratrice de $F$ si $F=%
\mathrm{Vect}\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $
\item[Cons\'{e}quence] $F=\mathrm{Vect}\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $
alors pour tout vecteur de $u$ de $F,$ \newline
\textsl{il existe} une \'{e}criture (des r\'{e}els $\alpha _{1},\cdots
,\alpha _{n}$ tels que ) $u=\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}$
\item[Exercice] D\'{e}terminer des famille g\'{e}n\'{e}ratrices des
ensembles $E,\ F,\ G$ et $H$ ci-dessus.
\item[Remarques] Si on ajoute des vecteurs \`{a} une famille g\'{e}n\'{e}%
ratrice, la famille r\'{e}sultante (sur-famille) est encore g\'{e}n\'{e}%
ratrice. (pourquoi ?)\newline
Si on change l'ordre des vecteurs, la famille reste g\'{e}n\'{e}ratrice.
\end{description}
\subsection{Famille libre}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition] $E$ un espace vectoriel. Une famille $\left(
u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ de vecteurs de $E$ est libre si pour tous r\'{e}%
els $\alpha _{1,}\cdots ,\alpha _{n}$ \newline
\textbf{si} $\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}=0$ \textbf{alors} $%
\alpha _{1}=0,\ \cdots ,\alpha _{n}=0.$
\item[Cons\'{e}quence] Si $\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ est libre et
que $\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}=\beta _{1}u_{1}+\cdots +\beta
_{n}u_{n}$ alors ?\newline
Si l'\'{e}criture $u=\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}$ existe, elle
\textsl{est unique.} \newline
Comment montrer qu'une famille n'est pas libre ?
\item[Remarque] Si on retire des vecteurs d'une famille libre, la famille r%
\'{e}sultante (sous-famille)est encore libre.
\item[Exercice] Montrer que les familles suivantes sont libres :\newline
(qu'est-ce qu'un vecteur nul ?)\newline
$\left( \left( 1,0,1\right) \ ,\ \left( 1,1,0\right) \ ,\left( 0,1,1\right)
\right) $\newline
$\left(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{pmatrix}%
,%
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0%
\end{pmatrix}%
,%
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4%
\end{pmatrix}%
\right) $\newline
$\left( \ln \ ,\exp \right) $ dans $\mathcal{A}\left( \left] 0,+\infty %
\right[ \ ,\ \mathbb{R}\right) $\newline
$\left( X^{2}+X+1\ ,X^{2}+2X+2\right) $
\item[Exercice] Les familles suivantes sont-elles libre ?\newline
$\left( \left( 1,2\right) ,\left( 1,2\right) \right) $\newline
$\left( \left( 1,2,1\right) \ ,\ \left( 2,1,2\right) \ ,\ \left(
6,5,6\right) \right) $\newline
$\left( X\ ,\ X^{2}\right) $
\item[Cas particuliers] Pour un vecteur seul : $\left( u\right) $ est libre
si et seulement si ........\newline
Pour deux vecteurs : $\left( u,v\right) $ est libre si et seulement si
..............\newline
Une famille $\left( u_{1},\cdots ,u_{m}\right) $ de $\mathbb{R}^{n}$ est
\'{e}chelonn\'{e}e si chaque vecteur poss\`{e}de une composante non nulle,
qui \'{e}tait nulle dans tous les pr\'{e}c\'{e}dents.\newline
Une telle famille est llibre : la relation de libert\'{e} se r\'{e}sout en
cascade.
\item[Exemple : ] Montrer que $\left( \left( 1,0,0\right) ,\left(
-1,1,0\right) ,\left( 1,0,1\right) \right) $ est libre. Comment les disposer
pour bien le voire ?
\end{description}
\subsection{Base et coordonn\'{e}es}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition] $E$ un espace vectoriel.\newline
$\mathcal{B=}\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ est une base de $E$ \ si
elle est g\'{e}n\'{e}ratrice de $E$ et libre.
\item[Exercice ] Soit $E=\left \{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\ /\
x-y+z=0\right \} $\newline
Montrer que $E$ est un espace vectoriel et en d\'{e}terminer une base $%
\mathcal{B}$.\newline
\item[Traduction, coordonn\'{e}es] Cela signifie que $u_{1},\cdots ,u_{n}$
sont vecteurs de $E$ et que \newline
pour tout $u$ de $E$ \textsl{il existe des uniques} $\alpha _{1},\cdots
,\alpha _{n}$ tels que $u=\alpha _{1}u_{1}+\cdots +\alpha _{n}u_{n}.$
\newline
Ce sont les coordonn\'{e}es de $u$ dans la base $\mathcal{B}.$
\item[Notation] On notera $\mathrm{coord}_{\mathcal{B}}\left( u\right) $ les
coordonn\'{e}es de $u$ dans $\mathcal{B}$ et $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}%
}\left( u\right) $ la matrice colonne de ses coordonn\'{e}es.\newline
Comment trouver le vecteur \`{a} partir de ses coordonn\'{e}es dans la base $%
\mathcal{B}$ ?\newline
Comment trouver les coordonn\'{e}es dans la base $\mathcal{B}$ \`{a} partir
du vecteur ?
\item[Exercice] Avec l'espace vectoriel $E$ et la base $\mathcal{B}$ ci
dessus, \newline
d\'{e}terminer le vecteur de coordonn\'{e}es $\left( 1,2\right) $ dans $%
\mathcal{B}.$\newline
Montrer que $\left( 1,2,1\right) \in E$ et d\'{e}terminer ses coordonn\'{e}%
es dans la base $\mathcal{B}$.\newline
Comment montrera-t-on que $\mathcal{C=}\left( \left( 1,2,1\right) \ ,\
\left( 1,0,-1\right) \right) $ est une autre base de $E$ ?
\item[Op\'{e}rations] Les op\'{e}rations sur les coordonn\'{e}es se font
comme sur les vecteurs :\newline
(Appellation savante : $u\rightarrow \mathrm{coord}_{\mathcal{B}}\left(
u\right) $ est un isomorphisme de $E$ dans $\mathbb{R}^{n}$)\newline
$\mathrm{coord}_{\mathcal{B}}\left( \alpha u+\beta v\right) =\alpha \mathrm{%
coord}_{\mathcal{B}}\left( u\right) +\beta \mathrm{coord}_{\mathcal{B}%
}\left( v\right) $ ; $u=0\Longleftrightarrow \mathrm{coord}_{\mathcal{B}%
}\left( u\right) =0$ ; Pour chaque $n-$uplet il existe un unique vecteur $u$
de $E$ dont ce sont les coordonn\'{e}es dans la base $\mathcal{B}$.
\item[Jouer avec les d\'{e}finitions ] D\'{e}montrer les affirmation pr\'{e}c%
\'{e}dente.
\end{description}
\subsection{Les bases canoniques}
\begin{description}
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Dans $\mathbb{R}^{n}$ les vecteurs : $u_{1}=\left(
1,0,\cdots ,0\right) ,$ $u_{2}=\left( 0,1,\cdots ,0\right) \cdots ,\
u_{n}=\left( 0,0,\cdots ,1\right) $ forment une base appel\'{e}e base
canonique de $\mathbb{R}^{n}$ (g\'{e}n\'{e}ralement appel\'{e}e $\mathcal{B}$
dans les \'{e}preuves de concours)\newline
Pour tout vecteur $u=\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right) $ de $\mathbb{R}%
^{n}$, ses coordonn\'{e}es dans la base canonique sont $:$ ...............
\item[Exercice] le d\'{e}montrer.
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Dans $\mathbb{R}_{n}\left[ X\right] $, la famille $%
\left( 1,\ X,\ X^{2},\cdots ,~X^{n}\right) $ forme une base appel\'{e}e base
canonique.\newline
Pour tout poyn\^{o}me $P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$ de $\mathbb{R}_{n}%
\left[ X\right] $, ses coordonn\'{e}es dans la base canonique sont :
...............
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Dans $\mathcal{M}_{n,p}\left( \mathbb{R}\right) $
les matrices :\newline
$e_{1,1}=%
\begin{pmatrix}
1 & 0\cdots & 0 \\
\vdots & & \\
0 & & 0%
\end{pmatrix}%
,\ \cdots ,\ e_{1,p}=%
\begin{pmatrix}
0 & \cdots 0 & 1 \\
\vdots & & \\
0 & \cdots & 0%
\end{pmatrix}%
$\newline
et ainsi de suite \newline
$e_{n,1}=%
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \\
1 & 0\cdots & 0%
\end{pmatrix}%
,\ \cdots ,\ e_{n,p}=%
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \\
0 & \cdots 0 & 1%
\end{pmatrix}%
$ \newline
forment une base appel\'{e}e base canonique de $\mathcal{M}_{n,p}\left(
\mathbb{R}\right) $
\item[Exercice] Quelles sont les coordonn\'{e}es de $%
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
3 & 1 & 2%
\end{pmatrix}%
$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_{2,3}\left( \mathbb{R}\right) $ ?
\end{description}
\section{Dimension finie}
Grace \`{a} la dimension, il suffit de faire le travail \`{a} moiti\'{e}.
\subsection{D\'{e}fintion de la \ dimension}
\begin{description}
\item[D\'{e}fintion] $\left( E,+,\cdot \right) $ un espace vectoriel est "de
dimension finie" s'il a une famille g\'{e}n\'{e}ratrice finie.
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Si $\left( E,+,\cdot \right) $ un espace vectoriel
est "de dimension finie" il a alors une base ayant un nombre fini de
vecteurs.
\item[M\'{e}thode ] Soit $\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ une famille g%
\'{e}n\'{e}ratrice de $E$ li\'{e}e. \newline
Il existe alors une combiniaison lin\'{e}aire $\alpha _{1}u_{1}+\cdots
+\alpha _{n}u_{n}=0$ nulle \`{a} coefficients non tous nuls ($\alpha _{n}$
par exemple).\newline
Alors $u_{n}$ est combinaison lin\'{e}aire des autres (comment ?)\newline
Alors $\left( u_{1},\cdots ,u_{n-1}\right) $ est encore g\'{e}n\'{e}ratrice
de $E$, en effet : \newline
Comme $\left( u_{1},\cdots ,u_{n}\right) $ est g\'{e}n\'{e}ratrice de $E,$
pour tout vecteur $u$ de $E,$ il existe $\left( \beta _{1},\cdots ,\beta
_{n}\right) $ r\'{e}els tels que $u=\beta _{1}u_{1}+\cdots +\beta _{n}u_{n}$%
\newline
Ce qui se r\'{e}\'{e}crit en combinaison lin\'{e}aire de $\left(
u_{1},\cdots ,u_{n-1}\right) $ (comment ?)\newline
Conclusion : en retirant un vecteur combiaison lin\'{e}aire des autres, la
famille r\'{e}sultante est encore g\'{e}n\'{e}ratrice.\newline
Pour obtenir une base, il suffit alors de r\'{e}it\'{e}rer le proc\'{e}d\'{e}
; jusqu'\`{a} quand ?. (r\'{e}currence d\'{e}croissante)
\item[Exercice] Soit $E=\mathrm{Vect}\left( \left( 1,1,3\right) \ ,\ \left(
1,-1,1\right) \ ,\ \left( 1,0,2\right) \ ,\ \left( 1,3,5\right) \right) $%
\newline
D\'{e}terminer une base de $E.$
\item[Th\'{e}or\`{e}me d\'{e}finition de la dimension] (admis) Si $E$ est de
dimension finie, toutes les bases ont le m\^{e}me nombre de vecteurs.\newline
Le nombre de vecteurs d'une base est appel\'{e} dimension de $E.$
\item[Convention] Si $E=\left \{ 0\right \} $ (r\'{e}duit au vecteur nul)
alors $\dim \left( E\right) =0$
\item[R\'{e}f\'{e}rences] $\dim \left( \mathbb{R}^{n}\right) =n\ ;\ \dim
\left( \mathbb{R}_{n}\left[ X\right] \right) =n+1\ ;\ \dim \left( \mathcal{M}%
_{n,p}\left( \mathbb{R}\right) \right) =n\cdot p$
\end{description}
\subsection{Th\'{e}or\`{e}mes \'{e}conomes (admis)}
\begin{description}
\item[Th\'{e}or\`{e}me n\'{e}gatif] Si $E$ est de dimension $n$ alors, pour
toute famille $\mathcal{L}$ libre de $E$ et toute famille g\'{e}n\'{e}%
ratrice $\mathcal{G}$ de $E,$ leur nombre de vecteurs v\'{e}rifie :\newline
$\left \vert \mathcal{L}\right \vert \leq \dim \left( E\right) \leq \left \vert
\mathcal{G}\right \vert $ (pourquoi n\'{e}gatif ?)
\item[Th\'{e}or\`{e}me affirmatif] Soit $E$ est de dimension $n.$\newline
Si $\mathcal{L}$ est une famille libre de $E$ de $n$ vecteurs alors $%
\mathcal{L}$ est une base de $E$\newline
Si $\mathcal{G}$ est une famille g\'{e}n\'{e}ratrice de $E$ de $n$ vecteurs
alors $\mathcal{G}$ est une base de $E.$
\item[Th\'{e}or\`{e}me sous espaces] Si $E$ est de dimension finie, et $F$
est un sous espace de $E,$ alosr $F$ est de dimension finie et $\dim \left(
F\right) \leq \dim \left( E\right) .$ \newline
De plus $F=E\Longleftrightarrow \dim \left( F\right) =\dim \left( E\right) $
\item[Exercice] Soit $\mathcal{B=}\left( \left( 1,2\right) ,\left(
2,1\right) ,\left( 1,1\right) \right) $, est-elle libre dans $\mathbb{R}^{2}$
?\newline
Soit $\mathcal{B=}\left( \left( 1,1,1\right) \ ,\left( 1,2,1\right) \right) $
est-elle g\'{e}n\'{e}ratrice de $\mathbb{R}^{3}$ ?
\item[Exercice] Soit $F=\mathrm{Vect}\left( \left( 1,2\right) ,\left(
2,1\right) \right) .$ Montrer que $F=\mathbb{R}^{2}.$
\end{description}
\subsection{Matrice de changement de base}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n,$ et $%
\mathcal{B}$ une base de $E.$\newline
Soit $\mathcal{C=}\left( e_{1},\cdots ,e_{n}\right) $ une famille de
vecteurs de $E.$\newline
On note $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{C}\right) $ la matrice
des coordonn\'{e}es (en colonnes) des vecteurs de $\mathcal{C}.$dans $%
\mathcal{B}$
\item[D\'{e}finition] Si $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ sont des bases de $E$
alors $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{C}\right) $ est appel\'{e}e
matrice de passage de $\mathcal{B}$ dans $\mathcal{C}.$
\item[Exemple] $\mathcal{B}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$ et $%
\mathcal{C=}\left( \left( 1,2\right) ,\left( 0,1\right) \right) $ autre base%
\newline
La matrice de passage de $\mathcal{B}$ dans $\mathcal{C}$ est $\mathrm{mat}_{%
\mathcal{B}}\left( \mathcal{C}\right) =%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1%
\end{pmatrix}%
.$\newline
(Comment obtient on les coordonn\'{e}es ?)
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{C}$ deux bases de $%
E$ et $u$ un vecteur alors $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( u\right) =%
\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{C}\right) \cdot \mathrm{mat}_{%
\mathcal{C}}\left( u\right) .$
\item[Th\'{e}or\`{e}me] Avec $E$ de dimension $n$ et $\mathcal{C}$ une
famille de $n$ vecteurs de $E$ et $\mathcal{B}$ une basede $E,$ \newline
$\mathcal{C}$ est une base de $E$ si et seulement si $\mathrm{mat}_{\mathcal{%
B}}\left( \mathcal{C}\right) $ est inversible.\newline
Son, inverse est alors $\mathrm{mat}_{\mathcal{C}}\left( \mathcal{B}\right) $%
.
\item[Cons\'{e}quence] une matrice carr\'{e}e est inversible si et seulement
si ses colonnes sont libres.
\item[Cas particulier] Une matrice triangulaire est donc inversible si et
seulement si aucun terme de la diagonale n'est nul.\newline
(Dans quel cas est-elle non inversible ?)
\end{description}
\section{Savoirs faire}
\begin{description}
\item[Espace vectoriel] Montrer que l'on a un sous espace vectoriel, un sous
espace engendr\'{e}.
\item[Bases] Montrer qu'une famille est libre.\newline
Trouver une famille g\'{e}n\'{e}ratrice.\newline
Trouver et utiliser la dimension.\newline
Trouver les coordonn\'{e}es.\newline
Utiliser les coordonn\'{e}es.
\end{description}
\end{document}