Espaces vectoriels

par Pierre Veuillez

Objectifs :

Disposer d'un lieu où les opérations + et se comportent bien.

Déterminer des bases (utilisation de la dimension)

Représenter les vecteurs grace à leurs coordonnées dans des bases.

Relier les coordonnées dans différentes bases grace aux matrices.

Espace vectoriel

Opérations

Défintion (ce que l'on peut y faire)

( E , + , ) est un espace vectoril (réel) si
Règles de calcul de la loi + :

Règles de calcul de la loi

Règles de calcul entre + et

Conséquences (ce que l'on peut aussi y faire)

A démontrer pour jouer un peu
Si ( E , + , ) est un espace vectoriel alors

Mise en garde

le produit et le quotient de deux vecteurs n'est pas défini dans le cadre d'un espace vectoriel.
(Il faut être dans une "algèbre" ).

Théorème

Pour tout u non nul de E et α et β de : si α u = β u alors α = β (quelle est le nom de cette propriété ?)

Notation

Quand il n'y a pas d'ambiguïté, on dira l'espace vectoriel E au lieu de ( E , + , ) et on notera α u au lieu de α u .

Références

On n'a besoin de vérifier ces 10 règles de calculs que pour quelques références à partir desquels on pourra construire de nouveaux espaces !

Théorème

Pour tout n et p entier, ( n , + , ) : ( n , p ( ) , + , ) : ( [ X ] , + , ) : ( n [ X ] , + , ) sont des espaces vectoriels.
que sont les opérations, l'égalité, le vecteur nul ?

Théorème (Produit cartésien)

Si ( E , + ) et ( F , + ) sont des espaces vectoriels alors ( E × F , + , ) .
Quels sont les éléments de E × F ? Comment définit on l'égalité , les opérations. ? Quel est le vecteur nul ?

Théorème (Applications)

Si ( E , + , ) et un espace vectoriel et un ensemble non vide alors ( 𝒜 ( , E ) , + , ) est un espace vectoriel.
Qu'est-ce qu'une application ? Comment définit on l'égalité , les opérations. ? Quel est le vecteur nul ?

Exercice

Dans ( 𝒜 ( ] 0 , + [ ; ) , + , ) montrer que la famille ( ln , exp ) est libre.

Idée des preuves

ces théorèmes viennent de la définition des opération, qui se font sur les composantes réelles.

Sous-espaces vectoriels.

Caractérisation

Définition

( E , + , ) un espace vectoriel.
F est une sous espace vectoriel de ( E , + , ) si F E et si ( F , + , ) est un espace vectoriel.
Que signifie l'inclusion F E ?

LE théorème

( E , + , ) un espace vectoriel (de référence, et ne s'appelant pas E en général).
F est un sous espace vectoriel de ( E , + , ) si

On dit que F est stable par combinaison linéaire.

Idée de la preuve

Les lois externes α u = α u + 0 u F et interne : u + v = 1 u + 1 v F
Les autres propriétés étant vraies dans E , elles le sont dans F .

Exercice

Soit E = { f C 1 ( , ) / f f = 0 }
Montrer que ( E , + , ) est un espace vectoriel

Exercice

Soit A 3 , 3 ( ) et E = { M 3 , 3 ( ) / A M = M A } .
Montrer que ( E , + , ) est un espace vectoriel.

Sous espace engendré

Définition

Dans un espace vectoriel E , un vecteur u est combinaison linéaire des vecteurs u 1 , , u n de E si il existe des réels (paramètres) α 1 , , α n tels que u = α 1 u 1 + + α n u n

Exercice

Montrer que ( 5 , 12 , 13 ) est combinaison linéaire de ( 1 , 2 , 3 ) et de ( 1 , 3 , 2 ) .

Défintion

Soit E un vecteur espace vectoriel et u 1 , , u n des vecteurs de E .
Le sous espace vectoriel engendré par ( u 1 , , u n ) est F = { α 1 u 1 + + α n u n / α 1 , , α n }
On le note F = V e c t ( u 1 , , u n )
Quel est le travail à faire pour arriver à une telle écriture ?
Comment montrer qu'un vecteur u appartient à un tel ensemble ?

Plus rare

( u i ) i I une famille de vecteurs (infine) de E .
V e c t ( u i ) i I est l'ensemble des combiniasons linéaires finies de vecteurs de ( u i ) i I
Par exemple V e c t ( ( X i ) i ) est l'ensemble des polynômes. (on n'a qu'un nombre fini de monôme dans chaque polynôme)

Exercice

Ecrire les ensembles suivants sous forme de sous espace engendré, et précisez dans quel espace vectoriel.
Idée : il faut paramètrer les éléments.
E = { x α ln ( x ) + β exp ( x )  pour  x + * / α , β }
F = { M 2 ( ) / A M = M A } avec A = ( 1 0 0 0 )
G = { ( x , y , z ) 3 / { x + y + z = 0 x + 2 y = 0 }
H = { P 2 [ X ] / P X P = 0 }

Exercice

Montrer que ( 5 , 12 , 13 ) V e c t ( ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 2 ) )

L'AUTRE théorème

Soit E un vecteur espace vectoriel et u 1 , , u n des vecteurs de E .
Alors V e c t ( u 1 , , u n ) est un sous-espace vectoriel de ( E , + , . )
et donc ( V e c t ( u 1 , , u n ) , + , ) est un espace vectoriel !

Idée de la preuve

La combinaison de deux combianison en est encore une. Puis on applique LE théorème.

Exercice

Montrer que les ensembles ci dessus sont des espaces vectoriel.

Conclusion

Quand on a facilement accès à une écriture paramètrique de l'ensemble, on en déduit l'écriture V e c t ( ) et donc la structure d'espace vectoriel.

Bases

Famille génératrice

Définition

Soit E un espace vectoriel et ( u 1 , , u n ) un famille de vecteur de E .
( u 1 , , u n ) est génératrice de F si F = V e c t ( u 1 , , u n )

Conséquence

F = V e c t ( u 1 , , u n ) alors pour tout vecteur de u de F ,
il existe une écriture (des réels α 1 , , α n tels que ) u = α 1 u 1 + + α n u n

Exercice

Déterminer des famille génératrices des ensembles E , F , G et H ci-dessus.

Remarques

Si on ajoute des vecteurs à une famille génératrice, la famille résultante (sur-famille) est encore génératrice. (pourquoi ?)
Si on change l'ordre des vecteurs, la famille reste génératrice.

Famille libre

Définition

E un espace vectoriel. Une famille ( u 1 , , u n ) de vecteurs de E est libre si pour tous réels α 1 , , α n
si α 1 u 1 + + α n u n = 0 alors α 1 = 0 , , α n = 0.
Oon dit aussi qu'ils sont linéairement indépendants

Conséquence

Si ( u 1 , , u n ) est libre et que α 1 u 1 + + α n u n = β 1 u 1 + + β n u n alors ?
Si l'écriture u = α 1 u 1 + + α n u n existe, elle est unique.
Comment montrer qu'une famille n'est pas libre ?

Remarque

Si on retire des vecteurs d'une famille libre, la famille résultante (sous-famille)est encore libre.

Exercice

Montrer que les familles suivantes sont libres :
(qu'est-ce qu'un vecteur nul ?)
( ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) )
( ( 1 0 0 1 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 1 2 3 4 ) )
( ln , exp ) dans 𝒜 ( ] 0 , + [ , )
( X 2 + X + 1 , X 2 + 2 X + 2 )

Exercice

Les familles suivantes sont-elles libre ?
( ( 1 , 2 ) , ( 1 , 2 ) )
( ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 1 , 2 ) , ( 6 , 5 , 6 ) )
( X , X 2 )

Cas particuliers

Pour un vecteur seul : ( u ) est libre si et seulement si ........
Pour deux vecteurs : ( u , v ) est libre si et seulement si ..............
Une famille ( u 1 , , u m ) de n est échelonnée si chaque vecteur possède une composante non nulle, qui était nulle dans tous les précédents.
Une telle famille est llibre : la relation de liberté se résout en cascade.

Exemple :

Montrer que ( ( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ) est libre. Comment les disposer pour bien le voire ?

Base et coordonnées

Définition

E un espace vectoriel.
= ( u 1 , , u n ) est une base de E si elle est génératrice de E et libre.

Exercice

Soit E = { ( x , y , z ) 3 / x y + z = 0 }
Montrer que E est un espace vectoriel et en déterminer une base .

Traduction, coordonnées

Cela signifie que u 1 , , u n sont vecteurs de E et que
pour tout u de E il existe des uniques α 1 , , α n tels que u = α 1 u 1 + + α n u n .
Ce sont les coordonnées de u dans la base .

Notation

On notera c o o r d ( u ) les coordonnées de u dans et m a t ( u ) la matrice colonne de ses coordonnées.
Comment trouver le vecteur à partir de ses coordonnées dans la base ?
Comment trouver les coordonnées dans la base à partir du vecteur ?

Exercice

Avec l'espace vectoriel E et la base ci dessus,
déterminer le vecteur de coordonnées ( 1 , 2 ) dans .
Montrer que ( 1 , 2 , 1 ) E et déterminer ses coordonnées dans la base .
Comment montrera-t-on que 𝒞 = ( ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ) est une autre base de E ?

Opérations

Les opérations sur les coordonnées se font comme sur les vecteurs :
(Appellation savante : u c o o r d ( u ) est un isomorphisme de E dans n )
c o o r d ( α u + β v ) = α c o o r d ( u ) + β c o o r d ( v ) ; u = 0 c o o r d ( u ) = 0 ; Pour chaque n uplet il existe un unique vecteur u de E dont ce sont les coordonnées dans la base .

Jouer avec les définitions

Démontrer les affirmation précédente.

Les bases canoniques

Théorème

Dans n les vecteurs : u 1 = ( 1 , 0 , , 0 ) , u 2 = ( 0 , 1 , , 0 ) , u n = ( 0 , 0 , , 1 ) forment une base appelée base canonique de n (généralement appelée dans les épreuves de concours)
Pour tout vecteur u = ( x 1 , x 2 , , x n ) de n , ses coordonnées dans la base canonique sont : ...............

Exercice

le démontrer.

Théorème

Dans n [ X ] , la famille ( 1 , X , X 2 , , X n ) forme une base appelée base canonique.
Pour tout poynôme P = a 0 + a 1 X + + a n X n de n [ X ] , ses coordonnées dans la base canonique sont : ...............

Théorème

Dans n , p ( ) les matrices :
e 1 , 1 = ( 1 0 0 0 0 ) , , e 1 , p = ( 0 0 1 0 0 )
et ainsi de suite
e n , 1 = ( 0 0 1 0 0 ) , , e n , p = ( 0 0 0 0 1 )
forment une base appelée base canonique de n , p ( )

Exercice

Quelles sont les coordonnées de ( 1 2 0 3 1 2 ) dans la base canonique de 2 , 3 ( ) ?

Dimension finie

Grace à la dimension, il suffit de faire le travail à moitié.

Défintion de la dimension

Défintion

( E , + , ) un espace vectoriel est "de dimension finie" s'il a une famille génératrice finie.

Théorème

Si ( E , + , ) un espace vectoriel est "de dimension finie" il a alors une base ayant un nombre fini de vecteurs.

Méthode

Soit ( u 1 , , u n ) une famille génératrice de E liée.
Il existe alors une combiniaison linéaire α 1 u 1 + + α n u n = 0 nulle à coefficients non tous nuls ( α n par exemple).
Alors u n est combinaison linéaire des autres (comment ?)
Alors ( u 1 , , u n 1 ) est encore génératrice de E , en effet :
Comme ( u 1 , , u n ) est génératrice de E , pour tout vecteur u de E , il existe ( β 1 , , β n ) réels tels que u = β 1 u 1 + + β n u n
Ce qui se réécrit en combinaison linéaire de ( u 1 , , u n 1 ) (comment ?)
Conclusion : en retirant un vecteur combiaison linéaire des autres, la famille résultante est encore génératrice.
Pour obtenir une base, il suffit alors de réitérer le procédé ; jusqu'à quand ?. (récurrence décroissante)

Exercice

Soit E = V e c t ( ( 1 , 1 , 3 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 2 ) , ( 1 , 3 , 5 ) )
Déterminer une base de E .

Théorème définition de la dimension

(admis) Si E est de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre de vecteurs.
Le nombre de vecteurs d'une base est appelé dimension de E .

Convention

Si E = { 0 } (réduit au vecteur nul) alors dim ( E ) = 0

Références

dim ( n ) = n ; dim ( n [ X ] ) = n + 1 ; dim ( n , p ( ) ) = n p

Théorèmes économes (admis)

Théorème négatif

Si E est de dimension n alors, pour toute famille libre de E et toute famille génératrice 𝒢 de E , leur nombre de vecteurs vérifie :
| | dim ( E ) | 𝒢 | (pourquoi négatif ?)

Théorème affirmatif

Soit E est de dimension n .
Si est une famille libre de E de n vecteurs alors est une base de E
Si 𝒢 est une famille génératrice de E de n vecteurs alors 𝒢 est une base de E .

Théorème sous espaces

Si E est de dimension finie, et F est un sous espace de E , alosr F est de dimension finie et dim ( F ) dim ( E ) .
De plus F = E dim ( F ) = dim ( E )

Exercice

Soit = ( ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 1 ) ) , est-elle libre dans 2 ?
Soit = ( ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) ) est-elle génératrice de 3 ?

Exercice

Soit F = V e c t ( ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) ) . Montrer que F = 2 .

Matrice de changement de base

Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n , et une base de E .
Soit 𝒞 = ( e 1 , , e n ) une famille de vecteurs de E .
On note m a t ( 𝒞 ) la matrice des coordonnées (en colonnes) des vecteurs de 𝒞 . dans

Définition

Si et 𝒞 sont des bases de E alors m a t ( 𝒞 ) est appelée matrice de passage de dans 𝒞 .

Exemple

la base canonique de 2 et 𝒞 = ( ( 1 , 2 ) , ( 0 , 1 ) ) autre base
La matrice de passage de dans 𝒞 est m a t ( 𝒞 ) = ( 1 0 2 1 ) .
(Comment obtient on les coordonnées ?)

Théorème

Soient et 𝒞 deux bases de E et u un vecteur alors m a t ( u ) = m a t ( 𝒞 ) m a t 𝒞 ( u ) .

Théorème

Avec E de dimension n et 𝒞 une famille de n vecteurs de E et une basede E ,
𝒞 est une base de E si et seulement si m a t ( 𝒞 ) est inversible.
Son, inverse est alors m a t 𝒞 ( ) .

Conséquence

une matrice carrée est inversible si et seulement si ses colonnes sont libres.

Cas particulier

Une matrice triangulaire est donc inversible si et seulement si aucun terme de la diagonale n'est nul.
(Dans quel cas est-elle non inversible ?)

Savoirs faire

Espace vectoriel

Montrer que l'on a un sous espace vectoriel, un sous espace engendré.

Bases

Montrer qu'une famille est libre.
Trouver une famille génératrice.
Trouver et utiliser la dimension.
Trouver les coordonnées.
Utiliser les coordonnées.