\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\lfoot{Fonctions de deux variables}
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\rfoot{ Page \thepage / 6}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge Cours Fonctions de deux variables}
par Pierre Veuillez
\end{center}
\section{Support th\'{e}orique}
\subsection{Repr\'{e}sentation}
\begin{description}
\item[Plan et espace :] Gr\^{a}ce \`{a} un rep\`{e}re cart\'{e}sien $\left(
O,\vec{i},\vec{j}\right) $ du plan, les couples $\left( x,y\right) $ de $%
\mathbb{R}^{2}$ peuvent \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e} par des points $M$ de
coordonn\'{e}es $\left( x,y\right) $du plan.\newline
Pour une fonction $f$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R},$ gr\^{a}ce \`{a}
un rep\`{e}re $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $ de l'espace,
l'image de $\left( x,y\right) $ sera repr\'{e}sent\'{e}e par un point
d'altitude $z=f\left( x,y\right) .$\newline
L'ensemble de ces points formera une surface repr\'{e}sentative.\newline
Pour mieux appr\'{e}hender cette surface, on pourra chercher des courbes de
niveaux, des coupes verticales (comment les caract\'{e}riser),ou des
perspectives.
\item[Exemple :] $f\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2}$
\end{description}
\begin{center}
\FRAME{dtbpFUX}{3.0104in}{2.0072in}{0pt}{\Qcb{Courbes de niveau}}{}{Plot}{%
\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3.0104in;height
2.0072in;depth 0pt;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;mustRecompute
FALSE;lastEngine "MuPAD";xmin "-5";xmax "5";ymin "-5.03778";ymax
"4.96422";xviewmin "-5.001";xviewmax "5.001";yviewmin "-5.0387802";yviewmax
"4.9652202";plottype 12;axesFont "Times New
Roman,12,0000000000,useDefault,normal";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines
24;plotstyle "patch";axesstyle "normal";axestips FALSE;xis \TEXUX{x};yis
\TEXUX{y};var1name \TEXUX{$x$};var2name \TEXUX{$y$};function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=1$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=2$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=3$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=0$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=-1$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=-2$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";function
\TEXUX{$x^{2}-y^{2}=-3$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";var2range
"-5.03778,4.96422";num-x-gridlines 24;num-y-gridlines 24;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";VCamFile
'JZQK5U09.xvz';valid_file "T";tempfilename
'JZQKQE00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\FRAME{itbpFUX}{2.8971in}{1.9303in%
}{0in}{\Qcb{Coupes $x$ constant}}{}{Plot}{\special{language "Scientific
Word";type "MAPLEPLOT";width 2.8971in;height 1.9303in;depth 0in;display
"USEDEF";plot_snapshots TRUE;mustRecompute FALSE;lastEngine "MuPAD";xmin
"-5";xmax "5";xviewmin "-5.0010000010002";xviewmax
"5.0010000010002";yviewmin "-25.0028997474245";yviewmax
"4.00034898729449";plottype 4;labeloverrides 3;x-label "y";y-label
"z";axesFont "Times New Roman,12,0000000000,useDefault,normal";numpoints
100;plotstyle "patch";axesstyle "normal";axestips FALSE;xis
\TEXUX{y};var1name \TEXUX{$y$};function \TEXUX{$1-y^{2}$};linecolor
"black";linestyle 1;discont FALSE;pointstyle "point";linethickness
1;lineAttributes "Solid";var1range "-5,5";num-x-gridlines 100;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";discont FALSE;function
\TEXUX{$4-y^{2}$};linecolor "black";linestyle 1;discont FALSE;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range
"-5,5";num-x-gridlines 100;curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle
"Line";discont FALSE;function \TEXUX{$-y^{2}$};linecolor "black";linestyle
1;discont FALSE;pointstyle "point";linethickness 1;lineAttributes
"Solid";var1range "-5,5";num-x-gridlines 100;curveColor
"[flat::RGB:0000000000]";curveStyle "Line";discont FALSE;VCamFile
'JZQK6C0A.xvz';valid_file "T";tempfilename
'JZQKQF01.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\qquad \FRAME{itbpFUX}{2.9378in}{%
1.9579in}{0in}{\Qcb{Coupes $y$ constant}}{}{Plot}{\special{language
"Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.9378in;height 1.9579in;depth
0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;mustRecompute FALSE;lastEngine
"MuPAD";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-5.0010000010002";xviewmax
"5.0010000010002";yviewmin "-4.00034898729449";yviewmax
"25.0028997474245";plottype 19;labeloverrides 2;y-label "z";axesFont "Times
New Roman,12,0000000000,useDefault,normal";numpoints 100;plotstyle
"patch";axesstyle "normal";axestips FALSE;xis \TEXUX{t};var1name
\TEXUX{$t$};function \TEXUX{$x^{2}$};linecolor "black";linestyle
1;pointstyle "point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range
"-5,5";num-x-gridlines 100;curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle
"Line";function \TEXUX{$x^{2}-1$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range
"-5,5";num-x-gridlines 100;curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle
"Line";function \TEXUX{$x^{2}-4$};linecolor "black";linestyle 1;pointstyle
"point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range
"-5,5";num-x-gridlines 100;curveColor "[flat::RGB:0000000000]";curveStyle
"Line";VCamFile 'JZQK6C0B.xvz';valid_file "T";tempfilename
'JZQKQF02.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\FRAME{itbpFUX}{2.917in}{1.9441in}{0in}{\Qcb{Repr\'{e}sentation fil de fer}}{%
}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width
2.917in;height 1.9441in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots
TRUE;mustRecompute FALSE;lastEngine "MuPAD";xmin "-5";xmax "5";ymin
"-5";ymax "5";xviewmin "-5";xviewmax "5";yviewmin "-5";yviewmax "5";zviewmin
"-25";zviewmax "25";phi 68;theta 59;cameraDistance
"1.23141";cameraOrientation "[0,0,0.0133333]";cameraOrientationFixed
TRUE;plottype 5;axesFont "Times New
Roman,12,0000000000,useDefault,normal";num-x-gridlines 25;num-y-gridlines
25;plotstyle "wireframe";axesstyle "normal";axestips FALSE;plotshading
"ZGREYSCALE";lighting 4;xis \TEXUX{x};yis \TEXUX{y};var1name
\TEXUX{$x$};var2name \TEXUX{$y$};function \TEXUX{$x^{2}-y^{2}$};linestyle
1;pointstyle "point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range
"-5,5";var2range "-5,5";surfaceColor
"[monochrome:Z:RGB:0000000000]";surfaceStyle "Wire Frame";num-x-gridlines
25;num-y-gridlines 25;surfaceMesh "Mesh";VCamFile 'JZQK6V0F.xvz';valid_file
"T";tempfilename 'JZQKQH03.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\qquad \FRAME{%
itbpFUX}{2.9274in}{1.951in}{0in}{\Qcb{Surface ombr\'{e}e}}{}{Plot}{\special%
{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 2.9274in;height
1.951in;depth 0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;mustRecompute
FALSE;lastEngine "MuPAD";xmin "-5";xmax "5";ymin "-5";ymax "5";xviewmin
"-5";xviewmax "5";yviewmin "-5";yviewmax "5";zviewmin "-25";zviewmax
"25";phi 84;theta 53;cameraDistance "1.28231";cameraOrientation
"[0,0,0.0133333]";cameraOrientationFixed TRUE;plottype 5;axesFont "Times New
Roman,12,0000000000,useDefault,normal";num-x-gridlines 25;num-y-gridlines
25;plotstyle "patch";axesstyle "normal";axestips FALSE;plotshading
"ZGREYSCALE";lighting 1;xis \TEXUX{x};yis \TEXUX{y};var1name
\TEXUX{$x$};var2name \TEXUX{$y$};function \TEXUX{$x^{2}-y^{2}$};linestyle
1;pointstyle "point";linethickness 1;lineAttributes "Solid";var1range
"-5,5";var2range "-5,5";surfaceColor
"[monochrome:Z:RGB:0x00ffffff]";surfaceStyle "Color Patch";num-x-gridlines
25;num-y-gridlines 25;surfaceMesh "Mesh";VCamFile 'JZQK6W0G.xvz';valid_file
"T";tempfilename 'JZQKQH04.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\end{center}
\subsection{Distance}
\begin{description}
\item[Probl\`{e}matique :] Les extrema de fonctions ne se caract\'{e}risent
pas de la m\^{e}me fa\c{c}on suivant que la fonction est ou \ n'est pas d%
\'{e}rivable "autour" d'eux\newline
Si $f$ est deux fois d\'{e}rivable sur $\left[ a,b\right] $ et qu'elle est
extremum en $x\in \left] a,b\right[ ,$ que peut-on dire de $f^{\prime
}\left( x\right) ,$ de $f^{\prime \prime }\left( x\right) $ ?\newline
En est-il de m\^{e}me en $a$ et en $b$ ?\newline
D'o\`{u} la n\'{e}cessit\'{e} pour une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $%
\mathbb{R}$ de d\'{e}finir l'alentour d'un point $A=\left( x,y\right) ,$ la
proximit\'{e} ou la distance entre points.
\item[D\'{e}finition :] La distance -euclidienne- entre $A=\left( x,y\right)
$ et $B=\left( x^{\prime },y^{\prime }\right) $ est $d\left( A,B\right) =%
\sqrt{\left( x-x^{\prime }\right) ^{2}+\left( y-y^{\prime }\right) ^{2}}$
\item[Propi\'{e}t\'{e}s :] $d\left( A,B\right) =0\Longleftrightarrow A=B$%
\newline
$d\left( A,C\right) \leq d\left( A,B\right) +d\left( B,C\right) $ in\'{e}%
galit\'{e} triangulaire.
\end{description}
\subsection{Topologie (lieu d'utilisation des th\'{e}or\`{e}mes)}
\begin{description}
\item[Repr\'{e}sentation :] Pour repr\'{e}senter un ensemble donn\'{e} par
intersection, on hachure les parties refus\'{e}es.\newline
Pour repr\'{e}senter un ensemble donn\'{e} par r\'{e}union, on hachure les
parties accept\'{e}es.
\item[Exercice 1 : ] Repr\'{e}senter \newline
$\mathcal{D}=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}~/~x^{2}+y^{2}\leq 1%
\text{ et }x\geq 0\right\} $\newline
$\mathcal{E}=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}~/~x^{2}+y^{2}>1%
\text{ ou }x>0\right\} $
\item[Exercice 2 M\'{e}thode :] $\mathcal{F}=\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R}^{2}~/~x-y\leq 1\right\} $\newline
On trace la fronti\`{e}re puis on teste \`{a} $x$ ou $y$ constant :\newline
$y$ fix\'{e}, si $x$ est plus grand est-on encore dans l'ensemble ?
\item[Boules :] La \emph{boule ouverte} de centre $A$ et de rayon $r$ est le
disque sans son bord :
\begin{equation*}
\mathcal{\mathring{B}}\left( A,r\right) =\left\{ M\in \mathbb{R}^{2}\ /\
d\left( A,M\right) 0$ tel que $\mathcal{\mathring{B}}\left( A,r\right) \subset
\mathcal{D}.$\newline
L'\'{e}nonc\'{e} devra pr\'{e}ciser si l'ensemble consid\'{e}r\'{e} est un
ouvert ou pas.
\item[Ferm\'{e} :] $\mathcal{D}$ est un ferm\'{e} de $\mathbb{R}^{2}$ si son
compl\'{e}mentaire est un ouvert.\newline
L'\'{e}nonc\'{e} devra pr\'{e}ciser si l'ensemble consid\'{e}r\'{e} est un
ferm\'{e} ou pas.
\item[Born\'{e} :] $\mathcal{D}$ est un born\'{e} dans $\mathbb{R}^{2}$ s'il
existe $r>0$ tel que $\mathcal{D\subset \mathring{B}}\left( O,r\right) $,%
\newline
L'\'{e}nonc\'{e} devra pr\'{e}ciser si l'ensemble consid\'{e}r\'{e} est born%
\'{e} ou pas.
\item[Fronti\`{e}re (hors programme) :] Comment caract\'{e}riser la fronti%
\`{e}re d'un ensemble ?\newline
\item[Id\'{e}es g\'{e}n\'{e}rales (hors programme)]
\begin{itemize}
\item[$\bullet $] les ensembles donn\'{e}s par des in\'{e}galit\'{e}s
strictes "continues" sont des ouverts ;\newline
En effet, une in\'{e}galit\'{e} stricte reste vraie \`{a} proximit\'{e} d'un
point o\`{u} elle est v\'{e}rifi\'{e}e (... si la condition est continue)
\item[$\bullet $] Les\emph{\ produits cart\'{e}siens} d'intervalles ouverts
de $\mathbb{R}$ sont des ouverts de $\mathbb{R}^{2}.$\newline
Exemple : $\mathcal{D}=\left] 0,1\right[ \times \left] 0,+\infty \right[
=\left\{ \left( x,y\right) \ /\ x\in \left] 0,1\right[ \text{ et }y\in \left]
0,+\infty \right[ \right\} $
\item[$\bullet $] Une intersection finie d'ouvert est un ouvert. Une r\'{e}%
union quelconque d'ouvert est un ouvert\newline
Contre exemple : $\bigcap_{n=1}^{+\infty }\mathcal{\mathring{B}}\left( O,%
\frac{1}{n}\right) =\left\{ O\right\} $ est un ferm\'{e}.
\end{itemize}
\end{description}
\section{Limite et continuit\'{e}}
\subsection{D\'{e}finition}
\begin{description}
\item[Limite :] Soit $\mathcal{D}\subset \mathbb{R}^{2}$ et $f:D\rightarrow
\mathbb{R}$.\newline
On dit que $f$ \ a pour limite $\ell $ en $A=\left( a,b\right) \in \mathcal{D%
}$ et on note $\lim_{M\rightarrow A}f\left( M\right) =\ell $ ou $f\left(
M\right) \rightarrow f\left( A\right) $ quand $M\rightarrow A$ si :\newline
$f\left( x,y\right) $ est aussi proche de $\ell $ que l'on veut pourvu que $%
M=\left( x,y\right) $ soit suffisamment proche de $A..$\newline
Formalisation : \newline
pour tout $\varepsilon >0$ (la proximit\'{e} que je veux) \newline
il existe $\alpha >0$ (il existe une proximit\'{e}) tel que, \newline
si $d\left( A,M\right) \leq \alpha $ \ (en de\c{c}\`{a} de laquelle) \newline
alors $\left\vert \ell -f\left( M\right) \right\vert \leq \varepsilon $
(aussi proche que je veux)
\item[Continuit\'{e} :] Soit $\mathcal{D}\subset \mathbb{R}^{2}$ et $%
f:D\rightarrow \mathbb{R}$.\newline
On dit que $f$ est continue en $A\in \mathcal{D}$ si $f\left( M\right)
\rightarrow f\left( A\right) $ quand $M\rightarrow A.$
\end{description}
\subsection{Op\'{e}rations}
\begin{description}
\item[R\'{e}f\'{e}rences :] les fonctions coordonn\'{e}es $\left( x,y\right)
\rightarrow x$ et $\left( x,y\right) \rightarrow y$ sont continues sur $%
\mathbb{R}^{2}$
\item[Op\'{e}rations :] Les sommes, produits quotient et compos\'{e}es de
fonctions continues sont continues, sous les r\'{e}serves habituelles :%
\newline
- d\'{e}nominateur non nul, pour les quotients.\newline
- image par la premi\`{e}re dans l'ensemble de continuit\'{e} de la seconde,
pour les compos\'{e}es.
\item[Exercice 3 :] D\'{e}terminer les ensembles de continuit\'{e} de :%
\newline
$f\left( x,y\right) =x+y$ est la somme de $\left( x,y\right) \rightarrow x$
et $\left( x,y\right) \rightarrow y$ continues sur $\mathbb{R}^{2}\newline
g\left( x,y\right) =\ln \left( x+y\right) $ est la compos\'{e}e de $f$ et de
$\ln .$\newline
$h\left( x,y\right) =\dfrac{x\cdot y}{x+y}$ est le quotient de $\left(
x,y\right) \rightarrow x\cdot y$ et de $\left( x,y\right) \rightarrow x\cdot
y$\newline
$k\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}$ est la compos\'{e}e de $\sqrt{}$
et de la somme des compos\'{e}es $\left( x,y\right) \rightarrow x\rightarrow
x^{2}$ et de $\left( x,y\right) \rightarrow y\rightarrow y^{2}$
\end{description}
\subsection{Extremum}
\begin{description}
\item[Th\'{e}or\`{e}me :] $f$ continue sur un ferm\'{e} born\'{e} de $%
\mathbb{R}^{2}$ alors $f$ a un minimum et un maximum (absolu).\newline
Le th\'{e}or\`{e}me ne pr\'{e}cise pas comment le trouver !\newpage
\end{description}
\section{D\'{e}riv\'{e}es partielles}
\subsection{D\'{e}rivation}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition :] La d\'{e}riv\'{e}e partielle de $f\left( x,y\right) $
par rapport \`{a} $x$ est \ la d\'{e}riv\'{e}e de $x\rightarrow f\left(
x,y\right) $ o\`{u} $y$ est consid\'{e}r\'{e} comme param\`{e}tre.\newline
Elle est not\'{e}e $p=\dfrac{\partial f}{\partial x}$ ou $f_{x}^{\prime }$.%
\newline
De m\^{e}me pour $q=\dfrac{\partial f}{\partial y}=f_{y}^{\prime }$ o\`{u} $%
x $ est consid\'{e}r\'{e} comme un param\`{e}tre.\newline
$r=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}=f_{x^{2}}^{\prime \prime }$ est la
d\'{e}riv\'{e}e de $x\rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x}\left(
x,y\right) $ o\`{u} $y$ est consid\'{e}r\'{e} comme param\`{e}tre, \newline
$s=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{x,y}^{\prime \prime }$
est la d\'{e}riv\'{e}e de $x\rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
x,y\right) $ o\`{u} $y$ est consid\'{e}r\'{e} comme param\`{e}tre, \newline
$s=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{y,x}^{\prime \prime }$
est la d\'{e}riv\'{e}e de $y\rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x}\left(
x,y\right) $ o\`{u} $x$ est consid\'{e}r\'{e} comme param\`{e}tre,\newline
$t=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=f_{y^{2}}^{\prime \prime }$ est la
d\'{e}riv\'{e}e de $y\rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
x,y\right) $ o\`{u} $x$ est consid\'{e}r\'{e} comme param\`{e}tre, \newline
$p,\ q,\ r,\ s,\ $\ et $t$ \ sont les "notations de Monge"
\item[M\'{e}thode :] pour calculer les d\'{e}riv\'{e}es secondes, il faut
d'abord calculer la d\'{e}riv\'{e}e premi\`{e}res en $\left( x,y\right) $ et
c'est cette expression que l'on re-d\'{e}rive alors.
\item[Exercice 4 :] D\'{e}terminer sur quel ensemble $f$ est $C^{2}$ est
calculer ses d\'{e}riv\'{e}es partielles premi\`{e}res et secondes, avec :%
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x}{y}\qquad \text{et\qquad\ }f\left( x,y\right) =%
\frac{\ln \left( x+y\right) }{y}
\end{equation*}
\item[Classe $C^{1}:$] $f$ fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$
est de classe $C^{1}$ si elle est d\'{e}rivable par rapport \`{a} chaque
variable et si ses d\'{e}riv\'{e}es partielles sont continues.
\item[Classe $C^{2}:$] $f$ fonction de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$
est de classe $C^{2}$ si elle est d\'{e}rivable par rapport \`{a} chaque
variable et si ses d\'{e}riv\'{e}es partielles sont d\'{e}rivable et si les d%
\'{e}rives partielle secondes sont continues.
\item[Op\'{e}rations :] Les sommes, produits, quotients et compos\'{e}es de
fonctions de classe $C^{1}$ (resp $C^{2}$) sont de classe $C^{1}$ (resp $%
C^{2}$) (sous les hypoth\`{e}ses habituelles)\newline
- Si $h\left( x,y\right) =g\left( f\left( x,y\right) \right) $ alors $%
\displaystyle\frac{\partial h}{\partial x}\left( x,y\right) =g^{\prime
}\left( f\left( x,y\right) \right) \frac{\partial f}{\partial x}\left(
x,y\right) $ (comme les compos\'{e}es de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $%
\mathbb{R}$ )\newline
- Nouveaut\'{e} : $g\left( x\right) =f\left( u\left( x\right) ,v\left(
x\right) \right) $ alors
\begin{equation*}
g^{\prime }\left( x\right) =\frac{\partial f}{\partial x}\left( u\left(
x\right) ,v\left( x\right) \right) \cdot u^{\prime }\left( x\right) +\frac{%
\partial f}{\partial y}\left( u\left( x\right) ,v\left( x\right) \right)
\cdot v^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}%
\newline
\textbf{N.B.} il faut d'abord calculer les d\'{e}riv\'{e}es partielles de $f$
avant del es appliquer \`{a} $\left( u\left( x\right) ,v\left( x\right)
\right) $
\item[Th\'{e}or\`{e}me (Schwarz) :] Si $f$ est de classe $C^{2}$ sur un
ouvert $\mathcal{O}$ alors
\begin{equation*}
\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial
y\partial x}
\end{equation*}
en tout point de $\mathcal{O}.$\newpage
\end{description}
\subsection{D\'{e}veloppements limit\'{e}s}
\begin{description}
\item[Th\'{e}or\`{e}me admis :] Si $f$ est de classe $C^{1}$ en $\left(
a,b\right) $ alors il existe une fonction $\varepsilon $ qui tend vers $0$
en $\left( 0,0\right) $ telle que
\begin{equation*}
f\left( a+h,b+k\right) =f\left( a,b\right) +\frac{\partial f}{\partial x}%
\left( a,b\right) \cdot h+\frac{\partial f}{\partial y}\left( a,b\right)
\cdot k+\sqrt{h^{2}+k^{2}\ }\varepsilon \left( h,k\right)
\end{equation*}
\item[Economie :] En n\'{e}gligeant le reste, on \'{e}crira (notation diff%
\'{e}rentielle)
\begin{equation*}
df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy
\end{equation*}%
avec $dx=h$, $dy=k$ et $df=f\left( a+h,b+k\right) -f\left( a,b\right) $ les
variations de $x,$ $y$ et de $f\left( x,y\right) .$
\item[G\'{e}om\'{e}trie :] La surface repr\'{e}sentative de la partie
principale du d\'{e}veloppement limit\'{e} \newline
$\left( x,y\right) \rightarrow f\left( a,b\right) +\frac{\partial f}{%
\partial x}\left( a,b\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\partial f}{%
\partial y}\left( a,b\right) \cdot \left( y-b\right) $ est le plan tangent
\`{a} celle de $f$ en $\left( a,b\right) .$ \newline
Approcher les variations de $f$ par la partie principale du d\'{e}%
veloppement limit\'{e}, revient \`{a} approcher la surface repr\'{e}%
sentative par le plan tangent.
\item[Th\'{e}or\`{e}me :] Si $f$ est de classe $C^{2}$ en $\left( a,b\right)
$ alors il existe il existe une fonction $\varepsilon $ qui tend vers $0$ en
$\left( 0,0\right) $ telle que
\begin{eqnarray*}
f\left( a+h,b+k\right) &=&f\left( a,b\right) +\frac{\partial f}{\partial x}%
\left( a,b\right) \cdot h+\frac{\partial f}{\partial y}\left( a,b\right)
\cdot k \\
&&+h^{2}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( a,b\right) +2hk\frac{%
\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( a,b\right) +k^{2}\frac{\partial
^{2}f}{\partial y^{2}}\left( a,b\right) \\
&&+\left( h^{2}+k^{2}\right) \varepsilon \left( h,k\right)
\end{eqnarray*}
\end{description}
\section{Extrema}
\subsection{Extrema locaux}
\begin{description}
\item[D\'{e}finition :] $\left( a,b\right) $ est un extremum local (ou
relatif) de $f$ sur $\mathcal{D}$ s'il existe un ouvert $\mathcal{O}$ tel
que $\left( a,b\right) $ est extremum absolu sur $\mathcal{O\cap D}.$
\item[Th\'{e}or\`{e}me (Condition n\'{e}cessaire) :] Soit $f$ de classe $%
C^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^{2}.$\newline
\textbf{Si }$f$ a un extremum local en $\left( a,b\right) \in \mathcal{O}$
\textbf{alors }$p=\frac{\partial f}{\partial x}\left( a,b\right) =0$ et $q=%
\frac{\partial f}{\partial y}\left( a,b\right) =0$
\item[Preuve :] Si $f$ a un extremum local en $\left( a,b\right) ,$ c'est
aussi un extremum local pour les fonctions $\left( x,b\right) \rightarrow
f\left( x,b\right) $ et $\left( a,y\right) \rightarrow f\left( a,y\right) ,$
sur un intervalle ouvert !
\item[D\'{e}finition :] $\left( a,b\right) $ est un point critique de $f$ si
\ $\frac{\partial f}{\partial x}\left( a,b\right) =0$ et $\frac{\partial f}{%
\partial y}\left( a,b\right) =0$
\item[G\'{e}om\'{e}trie :] Un point critique est un point en lequel le plan
tangent \`{a} la surface repr\'{e}sentative de $f$ est horizontal.\newline
Ce peut \^{e}tre un sommet, un col, ou autre chose...\newline
Les extrema locaux sont donc \`{a} chercher parmi les point critiques (pour
les fonctions $C^{1}$).
\item[Th\'{e}or\`{e}me (Condition suffisante) :] Soit $f$ de classe $C^{2}$
sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}^{2},$ et $\left( a,b\right) \in
\mathcal{O}.$\newline
$p,\ q,\ r,\ s,\ $\ et $t$ notations de Monge.\newline
\textbf{Si }$p=q=0$ et $rt-s^{2}>0$ \textbf{alors}\emph{\ }$f$ a un extremum
relatif en $\left( a,b\right) .$\newline
C'est un maximum si $r<0$ (ou $t<0$) et un minimum si $r>0$ (ou $t>0$)%
\newline
\textbf{Si }$p=q=0$ et $rt-s^{2}<0$ \textbf{alors}\emph{\ }$f$ n'a pas
d'extremum relatif en $\left( a,b\right) .$\newline
C'est un "col" (selle de cheval)\newline
\textbf{Si }$p=q=0$ et $rt-s^{2}=0$ \textbf{alors}\emph{\ }on ne sait pas.
\item[Exercice :] $f\left( x,y\right) =x^{2}+2xy+my^{2}$\newline
D\'{e}terminer, suivant la valeur de $m,$ les points critiques et les
extrema locaux de $f.$
\end{description}
\subsection{Extrema absolus}
\begin{description}
\item[M\'{e}thode :] Le ou les extrema absolus seront parmi \newline
- les extrema locaux\ de l'int\'{e}rieur qui est un ouvert (m\'{e}thode
ci--dessous)\newline
- ou parmi les extrema de la fronti\`{e}re (que l'on cherche en param\`{e}%
trant la fronti\`{e}re, $x$ fonction de $y$ ou $y$ fonction de $x$ ).
\item[Exercice 5 :] D\'{e}terminer les maxima de $f\left( x,y\right)
=x^{2}-y^{2}$ sur le ferm\'{e} born\'{e} $\mathcal{D}=\left[ 0,1\right]
\times \left[ 0,1\right] .$\newline
M\'{e}thode g\'{e}n\'{e}rale : $f$ \'{e}tant continue, on sait qu'elle a un
maximum global.\newline
On recherche les maxima locaux sur $\left] 0,1\right[ \times \left] 0,1%
\right[ $ qui est un ouvert.\newline
Puis sur les bords : $I=\left\{ \left( 0,y\right) \ /\ y\in \left[ 0,1\right]
\right\} $, $J=\left\{ \left( 1,y\right) \ /\ y\in \left[ 0,1\right]
\right\} $, $K=\left\{ \left( x,0\right) \ /\ x\in \left[ 0,1\right]
\right\} $ et $L=\left\{ \left( x,1\right) \ /\ x\in \left[ 0,1\right]
\right\} .$\newline
Plus directement : On a $f\left( 1,0\right) =1.$ Si $y\neq 0$ ou alors $%
f\left( x,y\right)