Cours Fonctions de deux variables

par Pierre Veuillez

Support théorique

Représentation

Plan et espace :

Grâce à un repère cartésien ( O , i , j ) du plan, les couples ( x , y ) de 2 peuvent être représenté par des points M de coordonnées ( x , y ) du plan.
Pour une fonction f de 2 dans , grâce à un repère ( O , i , j , k ) de l'espace, l'image de ( x , y ) sera représentée par un point d'altitude z = f ( x , y ) .
L'ensemble de ces points formera une surface représentative.
Pour mieux appréhender cette surface, on pourra chercher des courbes de niveaux, des coupes verticales (comment les caractériser),ou des perspectives.

Exemple :

f ( x , y ) = x 2 y 2


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Courbes de niveau

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Coupes x constant
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Coupes y constant

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Représentation fil de fer
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Surface ombrée

Distance

Problèmatique :

Les extrema de fonctions ne se caractérisent pas de la même façon suivant que la fonction est ou n'est pas dérivable "autour" d'eux
Si f est deux fois dérivable sur [ a , b ] et qu'elle est extremum en x ] a , b [ , que peut-on dire de f ( x ) , de f ( x ) ?
En est-il de même en a et en b ?
D'où la nécessité pour une fonction de 2 dans de définir l'alentour d'un point A = ( x , y ) , la proximité ou la distance entre points.

Définition :

La distance -euclidienne- entre A = ( x , y ) et B = ( x , y ) est d ( A , B ) = ( x x ) 2 + ( y y ) 2

Propiétés :

d ( A , B ) = 0 A = B
d ( A , C ) d ( A , B ) + d ( B , C ) inégalité triangulaire.

Topologie (lieu d'utilisation des théorèmes)

Représentation :

Pour représenter un ensemble donné par intersection, on hachure les parties refusées.
Pour représenter un ensemble donné par réunion, on hachure les parties acceptées.

Exercice 1 :

Représenter
𝒟 = { ( x , y ) 2 / x 2 + y 2 1  et  x 0 }
= { ( x , y ) 2 / x 2 + y 2 > 1  ou  x > 0 }

Exercice 2 Méthode :

= { ( x , y ) 2 / x y 1 }
On trace la frontière puis on teste à x ou y constant :
y fixé, si x est plus grand est-on encore dans l'ensemble ?

Boules :

La boule ouverte de centre A et de rayon r est le disque sans son bord : B ˚ ( A , r ) = { M 2 / d ( A , M ) < r }
La boule fermée de centre A et de rayon r est le disque avec son bord : ( A , r ) = { M 2 / d ( A , M ) r }

Ouvert :

𝒟 est un ouvert de 2 si tout point de 𝒟 est à l'intérieur de 𝒟 .
Enoncé mathématique : pour tout point A de 𝒟 , il existe r > 0 tel que B ˚ ( A , r ) 𝒟 .
L'énoncé devra préciser si l'ensemble considéré est un ouvert ou pas.

Fermé :

𝒟 est un fermé de 2 si son complémentaire est un ouvert.
L'énoncé devra préciser si l'ensemble considéré est un fermé ou pas.

Borné :

𝒟 est un borné dans 2 s'il existe r > 0 tel que 𝒟 B ˚ ( O , r ) ,
L'énoncé devra préciser si l'ensemble considéré est borné ou pas.

Frontière (hors programme) :

Comment caractériser la frontière d'un ensemble ?

Idées générales (hors programme)

Limite et continuité

Définition

Limite :

Soit 𝒟 2 et f : D .
On dit que f a pour limite en A = ( a , b ) 𝒟 et on note lim M A f ( M ) = ou f ( M ) f ( A ) quand M A si :
f ( x , y ) est aussi proche de que l'on veut pourvu que M = ( x , y ) soit suffisamment proche de A . .
Formalisation :
pour tout ϵ > 0 (la proximité que je veux)
il existe α > 0 (il existe une proximité) tel que,
si d ( A , M ) α (en deçà de laquelle)
alors | f ( M ) | ϵ (aussi proche que je veux)

Continuité :

Soit 𝒟 2 et f : D .
On dit que f est continue en A 𝒟 si f ( M ) f ( A ) quand M A .

Opérations

Références :

les fonctions coordonnées ( x , y ) x et ( x , y ) y sont continues sur 2

Opérations :

Les sommes, produits quotient et composées de fonctions continues sont continues, sous les réserves habituelles :
- dénominateur non nul, pour les quotients.
- image par la première dans l'ensemble de continuité de la seconde, pour les composées.

Exercice 3 :

Déterminer les ensembles de continuité de :
f ( x , y ) = x + y est la somme de ( x , y ) x et ( x , y ) y continues sur est la composée de f et de ln .
h ( x , y ) = x y x + y est le quotient de ( x , y ) x y et de ( x , y ) x y
k ( x , y ) = x 2 + y 2 1 est la composée de et de la somme des composées ( x , y ) x x 2 et de ( x , y ) y y 2

Extremum

Théorème :

f continue sur un fermé borné de 2 alors f a un minimum et un maximum (absolu).
Le théorème ne précise pas comment le trouver !

Dérivées partielles

Dérivation

Définition :

La dérivée partielle de f ( x , y ) par rapport à x est la dérivée de x f ( x , y ) y est considéré comme paramètre.
Elle est notée p = f x ou f x .
De même pour q = f y = f y x est considéré comme un paramètre.
r = 2 f x 2 = f x 2 est la dérivée de x f x ( x , y ) y est considéré comme paramètre,
s = 2 f x y = f x , y est la dérivée de x f y ( x , y ) y est considéré comme paramètre,
s = 2 f y x = f y , x est la dérivée de y f x ( x , y ) x est considéré comme paramètre,
t = 2 f y 2 = f y 2 est la dérivée de y f y ( x , y ) x est considéré comme paramètre,
p , q , r , s , et t sont les "notations de Monge"

Méthode :

pour calculer les dérivées secondes, il faut d'abord calculer la dérivée premières en ( x , y ) et c'est cette expression que l'on re-dérive alors.

Exercice 4 :

Déterminer sur quel ensemble f est C 2 est calculer ses dérivées partielles premières et secondes, avec : f ( x , y ) = x y    et    f ( x , y ) = ln ( x + y ) y

Classe C 1 :

f fonction de 2 dans est de classe C 1 si elle est dérivable par rapport à chaque variable et si ses dérivées partielles sont continues.

Classe C 2 :

f fonction de 2 dans est de classe C 2 si elle est dérivable par rapport à chaque variable et si ses dérivées partielles sont dérivable et si les dérives partielle secondes sont continues.

Opérations :

Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions de classe C 1 (resp C 2 ) sont de classe C 1 (resp C 2 ) (sous les hypothèses habituelles)
- Si h ( x , y ) = g ( f ( x , y ) ) alors h x ( x , y ) = g ( f ( x , y ) ) f x ( x , y ) (comme les composées de fonctions de dans )
- Nouveauté : g ( x ) = f ( u ( x ) , v ( x ) ) alors g ( x ) = f x ( u ( x ) , v ( x ) ) u ( x ) + f y ( u ( x ) , v ( x ) ) v ( x )
N.B. il faut d'abord calculer les dérivées partielles de f avant del es appliquer à ( u ( x ) , v ( x ) )

Théorème (Schwarz) :

Si f est de classe C 2 sur un ouvert 𝒪 alors 2 f x y = 2 f y x en tout point de 𝒪 .

Développements limités

Théorème admis :

Si f est de classe C 1 en ( a , b ) alors il existe une fonction ϵ qui tend vers 0 en ( 0 , 0 ) telle que f ( a + h , b + k ) = f ( a , b ) + f x ( a , b ) h + f y ( a , b ) k + h 2 + k 2 ϵ ( h , k )

Economie :

En négligeant le reste, on écrira (notation différentielle) d f = f x x + f y y avec x = h , y = k et d f = f ( a + h , b + k ) f ( a , b ) les variations de x , y et de f ( x , y ) .

Géométrie :

La surface représentative de la partie principale du développement limité
( x , y ) f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x a ) + f y ( a , b ) ( y b ) est le plan tangent à celle de f en ( a , b ) .
Approcher les variations de f par la partie principale du développement limité, revient à approcher la surface représentative par le plan tangent.

Théorème :

Si f est de classe C 2 en ( a , b ) alors il existe il existe une fonction ϵ qui tend vers 0 en ( 0 , 0 ) telle que f ( a + h , b + k ) = f ( a , b ) + f x ( a , b ) h + f y ( a , b ) k + h 2 2 f x 2 ( a , b ) + 2 h k 2 f y x ( a , b ) + k 2 2 f y 2 ( a , b ) + ( h 2 + k 2 ) ϵ ( h , k )

Extrema

Extrema locaux

Définition :

( a , b ) est un extremum local (ou relatif) de f sur 𝒟 s'il existe un ouvert 𝒪 tel que ( a , b ) est extremum absolu sur 𝒪 𝒟 .

Théorème (Condition nécessaire) :

Soit f de classe C 1 sur un ouvert 𝒪 de 2 .
Si f a un extremum local en ( a , b ) 𝒪 alors p = f x ( a , b ) = 0 et q = f y ( a , b ) = 0

Preuve :

Si f a un extremum local en ( a , b ) , c'est aussi un extremum local pour les fonctions ( x , b ) f ( x , b ) et ( a , y ) f ( a , y ) , sur un intervalle ouvert !

Définition :

( a , b ) est un point critique de f si f x ( a , b ) = 0 et f y ( a , b ) = 0

Géométrie :

Un point critique est un point en lequel le plan tangent à la surface représentative de f est horizontal.
Ce peut être un sommet, un col, ou autre chose...
Les extrema locaux sont donc à chercher parmi les point critiques (pour les fonctions C 1 ).

Théorème (Condition suffisante) :

Soit f de classe C 2 sur un ouvert 𝒪 de 2 , et ( a , b ) 𝒪 .
p , q , r , s , et t notations de Monge.
Si p = q = 0 et r t s 2 > 0 alors f a un extremum relatif en ( a , b ) .
C'est un maximum si r < 0 (ou t < 0 ) et un minimum si r > 0 (ou t > 0 )
Si p = q = 0 et r t s 2 < 0 alors f n'a pas d'extremum relatif en ( a , b ) .
C'est un "col" (selle de cheval)
Si p = q = 0 et r t s 2 = 0 alors on ne sait pas.

Exercice :

f ( x , y ) = x 2 + 2 x y + m y 2
Déterminer, suivant la valeur de m , les points critiques et les extrema locaux de f .

Extrema absolus

Méthode :

Pour montrer qu'un extremum ( x 0 , y 0 ) est absolu, il faut montrer que pour tout ( x , y ) : f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) (maximum absolu)
On doit donc déterminer le signe de f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) ce qui se fait souvent en faisant apparaître des factorisations particulières.

Exercice

Soit f ( x , y ) = 2 x 2 + 2 x y + 4 x + y 2 + 2 y
Déterminer les points critiques de f . sur l'ouvert 2 .
Développer ( x + 1 ) 2 + ( y + x + 1 ) 2 et en déduire que ( 1 , 0 ) est un minimum absolu de f .