% Pour des DS
%  format de la page
% numerotation
%  bas de page:


\documentclass[12pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,fancyhdr,lastpage}
\usepackage[francais]{babel}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{TCIstyle=apierre/apierre.lat,vide,article}

%TCIDATA{OutputFilter=Latex.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{Created=Sat Sep 14 22:22:46 2002}
%TCIDATA{LastRevised=Sunday, January 28, 2007 18:26:02}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{Language=French}
%TCIDATA{CSTFile=Pierre.cst}

\RequirePackage{fancyhdr}
\setlength\parindent{0pt}
\setlength\voffset{-1.5cm}
\setlength\headheight{0cm}
\setlength\headsep{0.1cm}
\setlength\textheight{25.3cm}
\setlength\hoffset{-2.5cm}
\setlength\textwidth{18cm}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\lfoot{Probabilit\'es discr\`etes}
\cfoot{}
\rfoot{ Page \thepage / 8}
\lhead{}
\rhead{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\pagestyle{fancy}
\input{tcilatex}
\begin{document}


\begin{center}
{\Huge Cours de probabilit\'{e}s discr\`{e}tes}

par Pierre Veuillez
\end{center}

\section{Probabilit\'{e}s}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{description}
\item[Ev\'{e}nements ] Dans une exp\'{e}rience al\'{e}atoire, on obtient des 
\emph{r\'{e}sultats \'{e}l\'{e}mentaires. }

Ces r\'{e}sultats \'{e}l\'{e}mentaires sont int\'{e}ressants \`{a} conna%
\^{\i}tre quand ils jouent tous le m\^{e}me r\^{o}le dans l'exp\'{e}rience :
quand ils sont \emph{\'{e}quiprobables}.

L'ensemble des r\'{e}sultats \'{e}l\'{e}mentaires est appel\'{e} \emph{%
univers} et not\'{e} la plupart du temps $\Omega .$

Avec plusieurs r\'{e}sultats \'{e}l\'{e}mentaires on forme des \emph{\'{e}v%
\'{e}nements.}

$\Omega $ est appel\'{e} \emph{\'{e}v\'{e}nement certain.}

Son contraire est not\'{e} $\emptyset $ et appel\'{e} \'{e}v\'{e}nement 
\emph{impossible}.

Des \'{e}v\'{e}nements sont \emph{incompatibles }(\emph{deux \`{a} deux}) ou 
\emph{disjoints }s'ils ne peuvent se produire simultan\'{e}ment. Si l'un est
r\'{e}alis\'{e}, aucun des autres ne peut l'\^{e}tre.

\item[Attention] Ne pas confondre incompatibles (l'un emp\^{e}che l'autre)
et ind\'{e}pendants (l'un n'influe pas sur l'autre)

\item[Op\'{e}rations] On peut faire certaines op\'{e}rations sur les \'{e}v%
\'{e}nements :

La \emph{n\'{e}gation} (ou \emph{contraire}) $\bar{A}$ est r\'{e}alis\'{e}
si et seulement si $A$ ne l'est pas. Le contraire de noir n'est pas blanc.

La \emph{r\'{e}union} symbole $\cup $ qui est la traduction du \emph{ou}
inclusif (l'un ou l'autre ou les deux), de \emph{au moins} voir m\^{e}me de
certains \emph{et} comme : on peut gagner si l'on a blanc et si l'on a noir
...

L'\emph{intersection} symbole $\cap $ qui est la traduction de \emph{et,} de%
\emph{\ tous}, de \emph{jamais}, de \emph{aucun}, de \emph{\`{a} la fois}...

La \emph{diff\'{e}rence} $A\backslash B$ est form\'{e} des r\'{e}sultats qui
sont dans $A$ sans \^{e}tre dans $B$ : $A\backslash B=A\cap \left( \bar{B}%
\right) $

Un \emph{syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements} ou \emph{parition de
l'univers }est une famille d'\'{e}v\'{e}nements, finie ou d\'{e}nombrable
(indiciable par les entiers) $\left( A_{i}\right) _{i\in I}$ telle qu'un et
un seul de ces \'{e}v\'{e}nements est r\'{e}alis\'{e} \`{a} chaque fois (ils
sont incompatibles (deux \`{a} deux) et leur r\'{e}union est l'\'{e}v\'{e}%
nement certain : on est certain que l'un au moins est r\'{e}alis\'{e})

Un \'{e}v\'{e}nement est \emph{presque s\^{u}r} si sa probabilit\'{e} vaut 1.

Un \'{e}v\'{e}nement est \emph{n\'{e}gligeable} si sa probabilit\'{e} vaut 0.

\item[Attention] Un \'{e}v\'{e}nement ne peut pas \^{e}tre conditionn\'{e} :
on a envie de conditionner parce que la r\'{e}alisation de $A$ d\'{e}pend de
de celle de $B.$

C'est probablement $\left( A\cap B\right) $ qu'il faut \'{e}crire. Le
conditionnement appara\^{\i}t alors tout naturellement lorsque l'on calcule
la probabilit\'{e} via la formule des probabilit\'{e} compos\'{e}es : $%
P\left( A\cap B\right) =P_{B}\left( A\right) P\left( B\right) $
\end{description}

\subsection{Cadre th\'{e}orique}

Pour aller (beaucoup) plus loin dans l'\'{e}tude des probabilit\'{e} on doit
pr\'{e}ciser la nature math\'{e}matique des objets sur lesquels on
travaillait na\"{\i}vement.

L'univers mod\'{e}lise l'ensemble des r\'{e}sultats possibles. C'est un
ensemble et c'est tout. On le note $\Omega .$ C'est l'\'{e}v\'{e}nement
certain

Une tribu de $\Omega $ sera l'ensemble des \'{e}v\'{e}nements. On devra
pouvoir faire avec ces \'{e}v\'{e}nements les op\'{e}rations n\'{e}cessaires
et trouver comme r\'{e}sultat un \'{e}v\'{e}nement : r\'{e}union, contraire
et intersection.

\begin{description}
\item[Tribu] $\mathcal{T}$ est une tribu de $\Omega $ si

\begin{itemize}
\item $\mathcal{T}$ est un ensemble de parties de $\Omega .$ (ensemble
d'ensembles) Les \'{e}l\'{e}ments de la tribu sont appel\'{e}s \'{e}v\'{e}%
nements.

\item qui contient $\Omega $

\item si $A\in \mathcal{T}$ alors $\bar{A}\in \mathcal{T}$ (le contraire
d'un \'{e}v\'{e}nement en est un)

\item si $I$ est un ensemble fini ou d\'{e}nombrable (que l'on peut compter
avec les entiers) et $\left( A_{i}\right) _{i\in I}$ une famille d'\'{e}v%
\'{e}nements (finie ou d\'{e}nombrable) alors $\displaystyle
\bigcup_{i\in I}A_{i}$ est un \'{e}v\'{e}nement. (appartient \`{a} $\mathcal{%
T}$ )
\end{itemize}

($\mathcal{T},\Omega $ ) est appel\'{e} espace probabilisable
\end{description}

On d\'{e}finit alors la probabilit\'{e} qui respecte les propri\'{e}t\'{e}s
de la fr\'{e}quence statistique.

\begin{description}
\item[Probabilit\'{e}] Soit ($\mathcal{T},\Omega $ ) un espace
probabilisable et $P$ une application de $\mathcal{T}$ dans $\mathbb{R}^{+}$
($P\left( A\right) $ doit \^{e}tre d\'{e}fini pour tout \'{e}v\'{e}nement $A$
et \^{e}tre positive). $P$ est une probabilit\'{e} sur ($\mathcal{T},\Omega $
) si

\begin{itemize}
\item $P\left( \Omega \right) =1$

\item et si pour toute famille finie ou d\'{e}nombrable $\left( A_{i}\right)
_{i\in I}$ d'\'{e}v\'{e}nements incompatibles, la somme de la s\'{e}rie $%
\displaystyle
\sum\limits_{i\in I}P\left( A_{i}\right) $ vaut $\displaystyle
P\left( \bigcup\limits_{i\in I}{}A_{i}\right) $
\end{itemize}

\item[Cons\'{e}quences] On en d\'{e}duit :

\begin{itemize}
\item Le contraire de $\Omega $ qui est l'\'{e}v\'{e}nement impossible \O\ %
est un \'{e}v\'{e}nement est porte donc bien son nom.

\item le contraire d'une r\'{e}union est une intersection donc un
intersection finie ou d\'{e}nombrable d'\'{e}v\'{e}nements est encore un 
\'{e}v\'{e}nement.
\end{itemize}
\end{description}

\subsection{Les propri\'{e}t\'{e}s}

\begin{description}
\item[Ev\'{e}nements] Il y a quelques traductions \`{a} savoir faire :

Le contraire de ''tous sont'' c'est ''au moins un n'est pas'' ($%
\displaystyle
\overline{\bigcap_{i\in I}A_{i}}=\bigcup_{i\in I}{}\overline{A_{i}}$ )

Le contraire de ''au moins un est '' c'est ''aucun n'est''

\textbf{Si} $A$ est r\'{e}alis\'{e} \textbf{alors }$B$ est r\'{e}alis\'{e}
se traduit par $A\subset B$; on a alors $P\left( A\right) \le P\left(
B\right) $

\item[Probabilit\'{e}] une probabilit\'{e} est toujours comprise entre $0$
et 1

$P\left( \emptyset \right) =0,\quad P\left( \Omega \right) =1,\quad P\left( 
\bar{A}\right) =1-P\left( A\right) $

Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P\left( A\cup B\right) =P\left(
A\right) +P\left( B\right) $

Si $\left( A_{i}\right) _{i\in \mathbb{N}}$ est une famille d'\'{e}v\'{e}%
nements incompatibles alors la s\'{e}rie $\sum_{i\in \mathbb{N}}P\left(
A_{i}\right) $ converge et 
\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=0}^{+\infty }A_{i}\right) =\sum_{i=0}^{+\infty }P\left(
A_{i}\right)
\end{equation*}

Si $\left( A_{i}\right) _{i\in \mathbb{N}}$ est une famille croissante (i.e.
que $\forall i\in \mathbb{N\quad }A_{i}\subset A_{i+1}$ ; par exemple $%
A_{i}= $''avoir au moins un pile lors des $i$ premiers lancers'') alors :%
\newline
$\displaystyle P\left( \bigcup\limits_{i=0}^{+\infty }A_{i}\right)
=\lim_{n\rightarrow +\infty }P\left( A_{n}\right) $

Et si $\left( A_{i}\right) _{i\in \mathbb{N}}$ est une famille d\'{e}%
croissante (i.e. que $\forall i\in \mathbb{N\quad }A_{i+1}\subset A_{i}$ ;
par exemple $A_{i}=$''n'avoir que des piles lors des $i$ premiers lancers'')
alors :\newline
$\displaystyle
P\left( \bigcap\limits_{i=0}^{+\infty }{}A_{i}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }P\left( A_{n}\right) $

Si $\left( A_{i}\right) _{i\in \mathbb{N}}$ est une famille quelconque, $%
\displaystyle
P\left( \bigcup_{i=0}^{+\infty }A_{i}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}P\left( \bigcup_{i=0}^{n}A_{i}\right) $

$P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right) -P\left( A\cap B\right) $

Si $\left( A_{i}\right) _{i\in \mathbb{N}}$ est une famille quelconque, $%
\displaystyle
P\left( \bigcap\limits_{i=0}^{+\infty }A_{i}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }P\left( \bigcap\limits_{i=0}^{n}A_{i}\right) $

\item[Equiprobabilit\'{e}] Quand tous les r\'{e}sultats \'{e}l\'{e}mentaires
jouent le m\^{e}me r\^{o}le, sont \'{e}quiprobables, on mod\'{e}lise par la
probabilit\'{e} \'{e}quiprobable : 
\begin{equation*}
P\left( A\right) =\frac{\left| A\right| }{\left| \Omega \right| }
\end{equation*}

Par exemple, on fait 10 tirages sans remise dans une urne. Si l'on ne sait
rien sur les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents, \`{a} chaque tirage toutes
les boules seront \'{e}quiprobables (bien que le contenu de l'urne change 
\`{a} chaque fois)

Au contraire si l'on tire dans une urne ou une autre, sachant dans quelle
urne on tire, les boules de cette urne seront \'{e}quiprobables. C'est ici
la probabilit\'{e} conditionnelle qui sera la probabilit\'{e} \'{e}%
quiprobable.
\end{description}

\subsection{Probabilit\'{e} conditionnelle, ind\'{e}pendance}

\begin{description}
\item[Probabilit\'{e} conditionnelle ] On d\'{e}finit la probabilit\'{e}
conditionnelle de $A$ sachant $B$ et on note $P_{B}\left( A\right) $ ou $%
\displaystyle
P_{B}\left( A\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }$ (not%
\'{e}e autrefois $P\left( A/B\right) $). Cela conduit \`{a} la formule de
Bayes.

\textbf{Mais pour la calculer}, c'est la plupart du temps : la probabilit%
\'{e} que l'on a quand on sait que $B$ est r\'{e}alis\'{e} (si la r\'{e}%
alisation de $B$ permet de conna\^{\i}tre les \emph{conditions exp\'{e}%
rimentales})

La \emph{probabilit\'{e} conditionnelle} est la probabilit\'{e} qui
correspond \`{a} la fr\'{e}quence statistique quand on restreint a priori
l'ensemble des possibles.

\begin{itemize}
\item Une probabilit\'{e} conditionnelle est une probabilit\'{e}. On
retrouve donc les m\^{e}mes r\`{e}gles de calcul en rempla\c{c}ant partout
la probabilit\'{e} par la probabilit\'{e} conditonnelle :

$P_{B}\left( \Omega \right) =1,\quad P_{B}\left( \emptyset \right) =0,\quad
P_{B}\left( \bar{A}\right) =1-P_{B}\left( A\right) \dots $
\end{itemize}

La probabilit\'{e} conditionnelle intervient naturellement dans la calcul de
la probabilit\'{e} d'une intersection et dans la formule des probabilit\'{e}%
s totales :

\begin{itemize}
\item formule des probabilit\'{e} compos\'{e}es : $P\left( A\cap B\right)
=P\left( A\right) \cdot P_{A}\left( B\right) $ ou plus g\'{e}n\'{e}ralement
: 
\begin{equation*}
P\left( A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n}\right) =P\left( A_{1}\right)
\cdot P_{A_{1}}\left( A_{2}\right) \dots \cdot P_{A_{1}\cap \dots \cap
A_{n-1}}\left( A_{n}\right) 
\end{equation*}%
que l'on a int\'{e}r\^{e}t \`{a} \'{e}crire en respectant l'ordre
chronologique de l'exp\'{e}rience pour pouvoir ensuite interpr\'{e}ter le
contitonnement.

\item Formule des probabilit\'{e}s totales. On l'utilise quand la r\'{e}%
alisation d'un \'{e}v\'{e}nement $A$ d\'{e}pend des r\'{e}sultats $\left(
B_{i}\right) _{i\in I}$ d'une \'{e}tape pr\'{e}c\'{e}dentes.

Si $\left( B_{i}\right) _{i\in I}$ est un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}%
nements alors $P\left( A\right) =\sum_{i\in I}P_{B_{i}}\left( A\right)
P\left( B_{i}\right) $

N.B. : la s\'{e}rie converge et la somme de la s\'{e}rie vaut $P\left(
A\right) $ dans le cas o\`{u} l'on a un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}%
nement infini

N.B. : il faut que $P\left( B_{i}\right) \ne 0$ pour que les $%
P_{B_{i}}\left( A\right) $ soit d\'{e}fini ... ce que l'on ne v\'{e}rifie
jamais. Mais comme $P_{B_{i}}\left( A\right) $ est alors multipli\'{e} par $%
P\left( B_{i}\right) $ qui est nulle, les formules restent exploitables.

\item Formule de Bayes enfin qui permet de calculer une probabilit\'{e}
conditionnelle en inversant l'\'{e}v\'{e}nement et le conditionnement : 
\begin{equation*}
P_{B}\left( A\right) =\frac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }=%
\frac{P_{A}\left( B\right) P\left( A\right) }{P\left( B\right) }
\end{equation*}

le $P\left( B\right) $ du d\'{e}nominateur \'{e}tant souvent calcul\'{e} par
la formule des probabilit\'{e}s totales
\end{itemize}

\item[Ind\'{e}pendance :] Deux \'{e}v\'{e}nements $A$ et $B$ sont ind\'{e}%
pendants si $P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right) .$ (
ce qui peut s'\'{e}crire $P_{B}\left( A\right) =P\left( A\right) $ si $%
P\left( B\right) \ne 0$ ou $P_{A}\left( B\right) =P\left( B\right) $ si $%
P\left( A\right) \ne 0).$

Une famille $\left( A_{i}\right) _{i\in I}$ d'\'{e}v\'{e}nements est ind\'{e}%
pendante si, quand on en prend n'importe quelle sous-famille finie, la
probabilit\'{e} de leur intersection est le produit de leurs probabilit\'{e}%
s.

Cette d\'{e}finition est la mod\'{e}lisation du fait que la r\'{e}alisation
de l'un des \'{e}v\'{e}nements ne change pas, n'influe pas, sur la probabilit%
\'{e} de r\'{e}alisation de l'autre.

La plupart du temps, l'ind\'{e}pendance viendra des conditions exp\'{e}%
rimentales. (soit explicitement, soit implicitement)

\item[Exemples] les exemple type sont :

\begin{itemize}
\item une suite de lancers de pi\`{e}ces. Le fait qu'un lancer donne pile ou
face ne change pas la probabilit\'{e} d'avoir pile ou face \`{a} un autre
lancer. Les lancers seront mod\'{e}lis\'{e}s comme \'{e}tant ind\'{e}%
pendants.

\item Des tirages\emph{\ avec remise }de boules dans une urne seront mod\'{e}%
lis\'{e}s ind\'{e}pendants

\item Des tirages sans remise seront d\'{e}pendants. Dans le calcul de
probabilit\'{e} d'une intersection, (formule des probabilit\'{e}s compos\'{e}%
es) la probabilit\'{e} conditonnelle appara\^{\i}tra... le conditionnement
qui donnera la composition de l'urne.
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Par contre si on lance la pi\`{e}ce \emph{jusqu'\`{a}} obtenir pile,
on arr\^{e}te les lancers d\`{e}s que l'on a pile. Le fait d'avoir pile \`{a}
un lancer implique que l'on en a pas eu avant . Et que l'on aura plus ni
pile ni face apr\`{e}s. Les lancers ne sont plus ind\'{e}pendants.

\item De m\^{e}me si l'on choisi d'abord une pi\`{e}ce (truqu\'{e}e ou \'{e}%
quilibr\'{e}e) puis qu'on fait une suite de lancers, les r\'{e}sultats d'un
lanc\'{e} est li\'{e} \`{a} la pi\`{e}ce choisie. Donc via la pi\`{e}ce
choisie, les r\'{e}sultats des lancers sont li\'{e}s les uns aux autres et
ne sont pas ind\'{e}pendants. Par contre si la pi\`{e}ce est connue (sachant
que la pi\`{e}ce est truqu\'{e}e) ind\'{e}pendants.
\end{itemize}
\end{description}

\section{Variables al\'{e}atoires}

Les variables al\'{e}atoires donnent une valeur pour chaque r\'{e}sultat
d'une exp\'{e}rience al\'{e}atoire.

C'est une application de l'ensemble des r\'{e}sultats ($\Omega $ ) dans $%
\mathbb{R}$

On note $\left( X=a\right) $ l'ensemble des r\'{e}sultas $\omega $ pour
lesquels $X\left( \omega \right) =a$ , de m\^{e}me $b<X\le a$ $\dots $

Et on doit pouvoir d\'{e}finir la probabilit\'{e} de $X<a$ qui doit donc 
\^{e}tre un \'{e}v\'{e}nement. (ce qui n'est pas toujours vrai pour des
univers infinis)

\begin{description}
\item[Attention] Une variable al\'{e}atoire n'est pas un \'{e}v\'{e}nement.
Si on \'{e}crit $P\left( X\right) $ on est certain de se tromper

Pour fabriquer un \'{e}v\'{e}nement, il faut comparer la variable \`{a}
autre chose ($X<x;\quad X=Y\dots $)

Par contre, on peut faire des op\'{e}rations avec des variables al\'{e}%
atoires pour en fabriquer de nouvelles.
\end{description}

\subsection{Cadre th\'{e}orique}

\begin{description}
\item[D\'{e}finition] $X$ est une variable al\'{e}atoire sur un espace
probabilisable $\left( \Omega ,\mathcal{T}\right) $ si $X$ est une
application d\'{e}finie sur $\Omega $ et si pour tout r\'{e}el $a,$ $\left(
X\le a\right) $ apparient \`{a} la tribu (est un \'{e}v\'{e}nement)
\end{description}

\subsection{Loi et fonction de r\'{e}partition}

\begin{description}
\item[D\'{e}finition] pour une variable al\'{e}atoire discr\`{e}te, la loi
de $X$ est la donn\'{e}e de l'ensemble des valeurs possibles de $X,\;X\left(
\Omega \right) ,$ et la probabilit\'{e} que $X$ prenne chacune de ces
valeurs.

Cela peut \^{e}tre donn\'{e} par une ou plusieurs formules, ou bien les
valeurs peuvent \^{e}tre \'{e}num\'{e}r\'{e}es dans un tableau.

\item[Caract\'{e}risation] la loi d'une variable al\'{e}atoire discr\`{e}te
est caract\'{e}ris\'{e}e par le fait que chacune des probabilit\'{e}s est
positive ou nulle et la somme des probabilit\'{e}s (ou la somme de la s\'{e}%
rie des probabilit\'{e} dans le cas discret infini) est \'{e}gal \`{a} 1.

\item[Fonction de r\'{e}partition] La fonction de r\'{e}partition $F$ d'une
variable al\'{e}atoire $X$ est d\'{e}finie par $F\left( x\right) =P\left(
X\le x\right) $ pour tout r\'{e}el $x.$

On peut retrouver la loi \`{a} partir de la fonction de r\'{e}partition : si 
$X$ prend les valeurs $x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}$ alors 
\begin{eqnarray*}
P\left( X=x_{k}\right) &=&P\left( X\le x_{k}\right) -P\left( X<x_{k}\right)
\\
&=&P\left( X\le x_{k}\right) -P\left( X\le x_{k-1}\right) \text{ si }k-1\ge 1
\end{eqnarray*}

La premi\`{e}re valeur $X=x_{1}$ joue un r\^{o}le particulier et est \`{a}
traiter a-priori \`{a} part. On peut souvent la r\'{e}int\'{e}grer
a-posteriori dans la formule g\'{e}n\'{e}rale.

Et on peut retrouver la fonction de r\'{e}partition \`{a} partir de la loi :
si $x_{k}\le x<x_{k+1}$ alors 
\begin{equation*}
F\left( x\right) =P\left( X\le x\right) =P\left( X\le x_{k}\right)
=\sum_{i=1}^{k}P\left( X=x_{i}\right)
\end{equation*}

La fonction de r\'{e}partition est plus facile \`{a} obtenir que la loi
quand on cherche la loi du \emph{maximum} de plusieurs variables al\'{e}%
atoires.

Dire que ''le plus grand est inf\'{e}rieur \`{a} $x$'' signifie que ''tous
sont inf\'{e}rieurs \`{a} $x$''.
\end{description}

\subsection{Esp\'{e}rance et variance}

\begin{description}
\item[D\'{e}finition] L'esp\'{e}rance d'une variable al\'{e}atoire qui ne
prend qu'un nombre fini de valeur est :\hspace{-1cm}\newline
$E\left( X\right) =\sum_{k\in X\left( \Omega \right) }k\cdot P\left(
X=k\right) $

Si $X$ prend un nombre infini d\'{e}nombrable de valeur, $X$ n'a une esp\'{e}%
rance que si la s\'{e}rie $\sum_{k\in X\left( \Omega \right) }k\cdot P\left(
X=k\right) $ est absolument convergente. L'esp\'{e}rance de $X$ est alors la
somme de la s\'{e}rie (sans valeur absolue)

La variance de $X$ est $V\left( X\right) =E\left[ \left( X-E\left( X\right)
\right) ^{2}\right] =E\left( X^{2}\right) -E\left( X\right) ^{2}$

\item[Attention] Quand la loi de $X$ est donn\'{e}e par plusieurs formules,
il faut d\'{e}composer la somme pour pouvoir substituer la formule \`{a} $%
P\left( X=k\right) $

\item[Calculs] Pour calculer l'esp\'{e}rance d'une variable $Y$ ''fabriqu%
\'{e}e'' \`{a} partir d'une autre $X,$ il n'est pas utile de chercher
d'abord la loi de $Y:$

\begin{itemize}
\item si $Y=f\left( X\right) $%
\begin{equation*}
E\left( Y\right) =E\left( f\left( X\right) \right) =\sum_{k\in X\left(
\Omega \right) }f\left( k\right) P\left( X=k\right)
\end{equation*}
la somme \'{e}tant celle de la s\'{e}rie qui doit \^{e}tre absolument
convergente dans le cas d'un nombre infini d\'{e}nombrable de valeurs.

\item En particulier, on en d\'{e}duit la \emph{lin\'{e}arit\'{e}} de l'esp%
\'{e}rance : si $a$ et $b$ sont des r\'{e}els (et non pas des variables al%
\'{e}atoires) et $X$ une variable al\'{e}atoire $E\left( aX+b\right)
=aE\left( X\right) +b$.

\item On trouve aussi (pour le calcul de la variance) que $E\left(
X^{2}\right) =\displaystyle
\sum_{k\in X\left( \Omega \right) }k^{2}P\left( X=k\right) $ (somme de la s%
\'{e}rie si elle est absolument convergente dans le cas discret infini)

\item La variance se calcule plus facilement par $V\left( X\right) =E\left(
X^{2}\right) -E\left( X\right) ^{2}$ et on a pour des r\'{e}els (pas des
variables al\'{e}atoires) $a$ et $b:$ $V\left( aX+b\right) =a^{2}V\left(
X\right) $
\end{itemize}
\end{description}

\subsection{Couple de variables}

On peut consid\'{e}rer simultan\'{e}ment deux -ou plus- variables al\'{e}%
atoires.

\begin{description}
\item[Loi] la loi du couple $\left( X,Y\right) $ est la donn\'{e}e des
valeurs possibles de $X$ et de $Y$ et pour chacune des valeurs $x$ de $X$ et 
$y$ de $Y$ la donn\'{e}e de la probabilit\'{e} $P\left( X=x\cap Y=y\right) $
(qui peut se calculer par d\'{e}nombrement dans le cas \'{e}quiprobable, par
transformation de l'\'{e}criture, par les probabilit\'{e}s compos\'{e}es...)

Elle peut \^{e}tre donn\'{e}e par une (ou des) formules ou par l'\'{e}num%
\'{e}ration (dans un tableau \`{a} double entr\'{e}e) de toutes les valeurs
possibles.

\item[Op\'{e}rations] Des \'{e}v\'{e}nements (ou des variables al\'{e}%
atoires) sont souvent d\'{e}finis \`{a} partir de deux (ou plus) variables al%
\'{e}atoires. Pour en calculer la probabilit\'{e}, il faut alors se ramener 
\`{a} la loi de chacune des variable, en d\'{e}composant les \'{e}v\'{e}%
nements.

\item[Les classiques] $\left( X=Y\right) =\displaystyle
\bigcup_{i\in I}\left( X=i\cap Y=i\right) $ l'ensemble $I$ \'{e}tant d\'{e}%
termin\'{e} par la double contrainte que $\left( X=i\right) $ et $\left(
Y=i\right) $ soient simultan\'{e}ment possibles.

$\left( X+Y=k\right) =\displaystyle
\bigcup_{i\in I}\left( X=i\cap Y=k-i\right) $ avec comme contraintes : $i\in
X\left( \Omega \right) $ et $k-i\in Y\left( \Omega \right) $

$\left( X\le Y\right) =\displaystyle
\bigcup_{i\in I}\left( X=i\cap Y\ge i\right) $ avec $i\in X\left( \Omega
\right) $ et $k-i\in Y\left( \Omega \right) $

\item[N.B.] Une autre d\'{e}marche consiste \`{a} passer par la formule des
probabilit\'{e}s totales en analysant ainsi : \newline
La r\'{e}alisation d\'{e}pend de la valeur prise par $X$ d'o\`{u}
l'utilisation de la formule des probabilit\'{e}s totales avec $\left(
X=i\right) _{i\in I}$ comme syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements : 
\newline
$P\left( X=Y\right) =\sum_{i\in I}P_{X=i}\left( X=Y\right) P\left(
X=i\right) $ \newline
le conditionnement \'{e}tant ensuite interpr\'{e}t\'{e} $P\left( X=Y\right)
=\sum_{i\in I}P_{X=i}\left( Y=i\right) P\left( X=i\right) $ \newline
et enfin, si $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes, on peut supprimer le
conditionnement $P\left( X=Y\right) =\sum_{i\in I}P\left( Y=i\right) P\left(
X=i\right) $
\end{description}

\section{Lois usuelles}

Quand on a envie d'utiliser une loi usuelle mais que le param\`{e}tre qui
devrait \^{e}tre un r\'{e}el est une variable al\'{e}atoire,

(par exemple $N$ le rang du premier pile. On relance $N$ fois la pi\`{e}ce. $%
X$ le nombre de pile obtenus)

on obtient d'abord la loi conditionnelle et ensuite la loi par les probabilit%
\'{e}s totales.

\subsection{loi uniforme sur [[1,n]]}

\begin{description}
\item[Mod\`{e}le] on tire au hasard un nombre entier dans l'intervalle $%
\left[ \left[ 1,n\right] \right] .$ Ces nombres sont donc \'{e}quiprobables.
On note $X$ le r\'{e}sultat (r\'{e}sultat d'un d\'{e} ou d'une boule num\'{e}%
rot\'{e}e dans une urne)

\item[D\'{e}finition] $X$ suit une loi uniforme sur $\left[ \left[ 1,n\right]
\right] $ si $X\left( \Omega \right) =\left[ \left[ a,b\right] \right] $ et
si pour tout $k\in \left[ \left[ 1,n\right] \right] ,$ $p\left( X=k\right) =%
\displaystyle
\frac{1}{n}$
\end{description}

L'esp\'{e}rance de $X$ est alors $E\left( X\right) =\dfrac{n+1}{2}$ et $%
V\left( X\right) =\frac{n^{2}-1}{12}$

\subsection{Loi de Bernouilli}

\begin{description}
\item[Mod\`{e}le] Elle \emph{compte} le nombre de succ\`{e}s en \emph{une
seule} exp\'{e}rience (donc 0 ou 1).
\end{description}

Elle vaut 1 en cas de succ\`{e}s et 0 en cas d'\'{e}chec.

Elles sont utiles \`{a} plusieurs : si $X_{k}$ indique le succ\`{e}s lors de
la $k^{i\grave{e}me}$ exp\'{e}rience, $\displaystyle
\sum_{k}X_{k}$ compte le nombre total de succ\`{e}s.

\begin{description}
\item[D\'{e}finition] $X$ suit une loi de Bernouilli de param\^{e}tre $p$ si 
$X\left( \Omega \right) =\{0,1\}$ avec $P\left( X=1\right) =p$
\end{description}

On a alors $E\left( X\right) =p$ et $V\left( X\right) =p\left( 1-p\right) $

\subsection{Loi hyperg\'{e}om\'{e}trique}

\begin{description}
\item[Mod\`{e}le] tirages successifs \emph{sans remises} ou tirages simultan%
\'{e}s parmi des bons et des mauvais. $N$ le nombre total d'\'{e}l\'{e}%
ments, $n$ le nombre d'\'{e}l\'{e}ments pr\'{e}lev\'{e}s et $p$ la
proportion de bons. On note $X$ le nombre de bons \'{e}l\'{e}ments pr\'{e}lev%
\'{e}s.

\item[D\'{e}finition] $X$ suit une loi hyperg\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}%
tres $N,$ $n$ et $p$ si : on note $a=pN$ (nombre de bons \'{e}l\'{e}ments)
et $b=\left( 1-p\right) N$ (nombre de mauvais \'{e}l\'{e}ments) 
\begin{equation*}
P\left( X=k\right) =\frac{\left( 
\begin{array}{c}
a \\ 
k%
\end{array}
\right) \left( 
\begin{array}{c}
b \\ 
n-k%
\end{array}
\right) }{\left( 
\begin{array}{c}
N \\ 
n%
\end{array}
\right) }
\end{equation*}
\end{description}

avec $X\left( \Omega \right) =\left[ \left[ \max \left( 0,n-b\right) ;\min
\left( a,n\right) \right] \right] $

(La formule reste vraie en dehors de cet intervalle, les probabilit\'{e}s 
\'{e}tant simplement nulles)

On a $E\left( X\right) =np$

\subsection{Loi binomiale}

\begin{description}
\item[Mod\`{e}le] C'est la loi du \emph{nombre de succ\`{e}s} en $n$ exp\'{e}%
riences \emph{ind\'{e}pendantes} qui ont toutes la m\^{e}me probabilit\'{e} $%
p$ de succ\`{e}s.

\item[D\'{e}finition] $X$ suit une loi binomiale si $X\left( \Omega \right) =%
\left[ \left[ 0;n\right] \right] $ et pour tout entier $k\in \left[ \left[
0;n\right] \right] :P\left( X=k\right) =\displaystyle\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) p^{k}\left( 1-p\right) ^{n-k}$

On a alors $E\left( X\right) $ $=np$ et $V\left( X\right) =np\left(
1-p\right) $

\item[Somme] une somme de variable al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes suivants
des lois binomiales de m\^{e}me probabilit\'{e} de succ\`{e}s en est encore
une de m\^{e}me param\`{e}tre de succ\`{e}s et de premier param\`{e}tre
(nombre d'exp\'{e}rience) la somme de leurs premiers param\`{e}tres.
\end{description}

\subsection{Loi g\'{e}om\'{e}trique}

\begin{description}
\item[Mod\`{e}le] C'est la loi du rang du premier succ\`{e}s dans une suite
(infinie) d'exp\'{e}riences ind\'{e}pendantes qui ont toutes la m\^{e}me
probabilit\'{e} $p$ de succ\`{e}s.

\item[S'y ram\`{e}ne] le cas o\`{u} l'on fait des exp\'{e}riences jusqu'au
succ\`{e}s et que $X$ est le rang du premier succ\`{e}s (les tirages ne sont
plus ind\'{e}pendants car d\`{e}s le succ\`{e}s l'exp\'{e}rience s'arr\^{e}%
te)

Si le fait de continuer ensuite l'exp\'{e}rience ne change pas le rang du
premier succ\`{e}s, et que l'on a alors les conditions d'une loi g\'{e}om%
\'{e}trique, alors $X$ suivra \'{e}galement une loi g\'{e}om\'{e}trique.

\item[D\'{e}finition] $X$ suit une loi g\'{e}om\'{e}trique si $X\left(
\Omega \right) =\left[ \left[ 1;+\infty \right[ \right[ $ et pour tout
entier $k\in \left[ \left[ 1;+\infty \right[ \right[ :P\left( X=k\right) =%
\displaystyle
\left( 1-p\right) ^{k-1}p$

On a alors $E\left( X\right) $ $=\displaystyle
\frac{1}{p}$ et $V\left( X\right) =\displaystyle
\frac{\left( 1-p\right) }{p^{2}}$
\end{description}

\subsection{Loi de Poisson}

\begin{description}
\item[Mod\`{e}le] Ce n'est pas une loi que l'on rencontre directement. Mais
c'est une loi qui approche la loi Binomiale $B\left( n,p\right) $ quand $n$
tend vers $+\infty $ mais que le produit $n\cdot p$ reste constant $=\alpha $
(ou tend vers cette constante)

C'est la loi qui (empiriquement) mod\'{e}lise bien les fr\'{e}quentations
(nombre de clients \`{a} une caisse dans une journ\'{e}e, nombre d'\'{e}l%
\`{e}ves en ECE1 une ann\'{e}e donn\'{e}e ...)

\item[D\'{e}finition] $X$ suit une loi de Poisson de param\`{e}tre $\alpha $
si $X\left( \Omega \right) =\mathbb{N}$ et pour tout entier $k\in \mathbb{N}%
:P\left( X=k\right) =\displaystyle
\frac{\alpha ^{k}e^{-\alpha }}{k!}$

On a alors $E\left( X\right) $ $=\alpha $ et $V\left( X\right) =\alpha $

\item[Somme] une somme de variable al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes suivants
des lois de Poisson en est encore une de param\`{e}tre la somme des param%
\`{e}tres
\end{description}

\newpage

\subsection{Couple de variables}

\begin{description}
\item[Lois marginales] On peut retrouver les lois de $X$ et de $Y$ \`{a}
partir de la loi du couple : 
\begin{equation*}
P\left( X=x\right) =\sum_{y\in Y\left( \Omega \right) }P\left( X=x\cap
Y=y\right)
\end{equation*}
dans le cas d'un nombre infini de valeurs pour $Y,$ la s\'{e}rie est
convergente et $P\left( X=x\right) $ est la somme de la s\'{e}rie.

\item[Attention] Quand la loi du couple est donn\'{e}e par plusieurs
formules, il faut d\'{e}composer la somme pour pouvoir substituer.

\item[Esp\'{e}rance] Si $f$ est une application qui \`{a} un couple de r\'{e}%
el $\left( x,y\right) $ associe $f\left( x,y\right) ,$ d\'{e}finie sur $%
X\left( \Omega \right) \times Y\left( \Omega \right) $ alors 
\begin{equation*}
E\left( f\left( X,Y\right) \right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right)
}\sum_{y\in Y\left( \Omega \right) }f\left( x,y\right) P\left( X=x\cap
Y=y\right)
\end{equation*}

On a en particulier pour le calcul de la covariance : 
\begin{equation*}
E\left( X\cdot Y\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }\sum_{y\in
Y\left( \Omega \right) }x\cdot y\cdot P\left( X=x\cap Y=y\right) 
\end{equation*}

Elle permet aussi d'obtenir, si $X\;$et $Y$ sont deux variables al\'{e}%
atoires $E\left( X+Y\right) =E\left( X\right) +E\left( Y\right) $

Et si $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes, $E\left( X\cdot Y\right) =E\left(
X\right) \cdot E\left( Y\right) $

\item[Covariance] Outre les lois marginales, l'int\'{e}r\^{e}t des couples
de variables al\'{e}atoires et de pouvoir calculer la variance d'une somme
via la covariance.

La covariance est $\mathrm{Cov}\left( X,Y\right) =E\left[ \left( X-E\left(
X\right) \right) \left( Y-E\left( Y\right) \right) \right] =E\left( X\cdot
Y\right) -E\left( X\right) \cdot E\left( Y\right) $ (dans le cas discret
infini, elle existe si les esp\'{e}rances existent et donc si les s\'{e}ries
sont absolument convergentes)

Cette covariance se comporte bien avec la somme et le produit par des
constantes : \newline
$\mathrm{Cov}\left( aX+b,cY+d\right) =ac\mathrm{Cov}\left( X,Y\right) $

Si $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes alors $\mathrm{Cov}\left( X,Y\right)
=0. $ la r\'{e}ciproque est fausse.

\item[Variance] C'est LA formule pour la variance d'une somme $V\left(
X+Y\right) =V\left( X\right) +V\left( Y\right) +2\mathrm{Cov}\left(
X,Y\right) $ (c'est la formule du bin\^{o}me ou le carr\'{e} est remplac\'{e}
par la variance et le produit par la covariance)

et plus g\'{e}n\'{e}ralement pour une somme de $n$ variables al\'{e}atoires
: 
\begin{equation*}
V\left( \sum_{i=1}^{n}X_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}V\left( X_{i}\right)
+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\ne i}^{n}\mathrm{Cov}\left( X_{i},X_{j}\right)
\end{equation*}
\end{description}

\end{document}
