\documentclass[a4paper]{article}
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\begin{document}
\section*{Synth\`{e}se Applications lin\'{e}aires}
par Pierre Veuillez
\subsection*{Montrer que $f$ est une applications lin\'{e}aire de $E$ dans $%
F $.}
\begin{itemize}
\item D\'{e}finition :
D\'{e}finie sur $E$ \`{a} valeurs dans $F.$ ($f\left( u\right) $ calculable
et $f\left( u\right) \in F$)\newline
Pour tout $u$ et $v$ de $E$ et $\alpha $ et $\beta $ r\'{e}els, $f\left(
\alpha u+\beta v\right) =\alpha f\left( u\right) +\beta f\left( v\right) $
Il faut ici choisir l'\'{e}criture de $u$ et $v$ en fonction de la d\'{e}%
finition de $f.$
\item Th\'{e}or\`{e}me : Si pour tout $u$ de $E,$ les coordonn\'{e}es de
l'image sont $\mathrm{mat}_{\mathcal{C}}\left( f\left( u\right) \right)
=M\cdot \mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( u\right) $ \ alors $f$ est
l'application lin\'{e}aire associ\'{e}e \`{a} la matrice $M$ de la base $%
\mathcal{B}$ dans la base $\mathcal{C}$ donc $f$ est une application lin\'{e}%
aire.
\end{itemize}
\subsection*{D\'{e}terminer la matrice de $f\in \mathcal{L}\left( E,F\right)
$}
\begin{itemize}
\item Th\'{e}or\`{e}me : Si pour tout $u$ de $E,$ les coordonn\'{e}es de
l'image sont $\mathrm{mat}_{\mathcal{C}}\left( f\left( u\right) \right)
=M\cdot \mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( u\right) $ \ alors $f$ est
l'application lin\'{e}aire associ\'{e}e \`{a} la matrice $M$ de la base $%
\mathcal{B}$ dans la base $\mathcal{C}$ donc sa matrice de $\mathcal{B}$
dans $\mathcal{C}$ est $M$
\item D\'{e}finition : On calcule les images des vecteurs de la base $%
\mathcal{B}$, puis leurs coordonn\'{e}es, puis on met ces coordonn\'{e}es en
colonne.
\end{itemize}
\subsection*{Liens avec les matrices :}
\begin{itemize}
\item $f\left( u\right) $ se calcule via les ccordonn\'{e}es de $u$ par : $%
\mathrm{coord}_{\mathcal{B}}\left( f\left( u\right) \right) =\mathrm{mat}_{%
\mathcal{B}}\left( f\right) \mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( u\right) $
d'op\`{u} l'image.
\textbf{N.B. }attention au choix de la base !
exo type : ESC 2006
\item Formule de changement de base pour $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $.%
\newline
Utilisation : on a d\'{e}termin\'{e} la matrice de $f$ dans une base $%
\mathcal{B}$ et dans une base $\mathcal{C}$ de $E$ et on en d\'{e}duit
$\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( f\right) =\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left(
\mathcal{C}\right) \mathrm{mat}_{\mathcal{C}}\left( f\right) \mathrm{mat}_{%
\mathcal{C}}\left( \mathcal{B}\right) $ \ ("montrer que $A=P\cdot B\cdot
P^{-1}$" \ ou $A=P^{-1}\cdot B\cdot P$)
avec $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{C}\right) $ et $\mathrm{mat}%
_{\mathcal{C}}\left( \mathcal{B}\right) $ matrices de passage inverses l'une
de l'autre.
\item Si $f$ est bijective, la matrice de sa r\'{e}ciproque est $\mathrm{mat}%
_{\mathcal{B}}\left( f^{-1}\right) =\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left(
f\right) ^{-1}$ l'inverse de sa matrice.
\item La matrice associ\'{e}e \`{a} une combinaison d'applications lin\'{e}%
aires est la combinaison des matrices.
\item La matrice associ\'{e}e \`{a} une compos\'{e}e est le produit de leurs
matrices. (C'est l'origine de la formule de changement de base)
\end{itemize}
\subsection*{Bijectivit\'{e} de $f\in \mathcal{L}\left( E\right) $ avec $E$
de dimension finie.}
sont \'{e}quivalents :
$f$ injective ; $f$ surjective ; $f$ bijective ; $\ker \left( f\right)
=\left\{ 0\right\} $ (si $f\left( u\right) =0$ alors $u=0$ ) ; $\func{Im}%
\left( f\right) =E$ ; $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( f\right) $
inversible ; colonnes de $\mathrm{mat}_{\mathcal{B}}\left( f\right) $ libres.
\subsection*{D\'{e}terminer le noyau de $f\in \mathcal{L}\left( E,F\right) $}
\begin{itemize}
\item $u$ appartient au noyau si et seulement si $f\left( u\right) =0$
\item On d\'{e}termine une base du noyau en r\'{e}solvant $f\left( u\right)
=0$ (\'{e}criture de $u$ \`{a} adapter \`{a} la d\'{e}finition de $f$ ) et
en param\`{e}trant.
\item C'est un sous espace vectoriel de $E$
\end{itemize}
\subsection*{D\'{e}terminer l'image de $f\in \mathcal{L}\left( E,F\right) $}
\begin{itemize}
\item On montre que $v$ est dans l'image en cherchant et en trouvant $u\in E$
tel que $f\left( u\right) =v$ (\'{e}criture de $u$ \`{a} adapter \`{a} la d%
\'{e}finition de $f$)
\item Base : on a sa dimension $n$ par le th\'{e}or\`{e}me du rang et la
dimension du noyau et on en a une famille libre sous la forme $f\left(
e_{1}\right) \cdots f\left( e_{n}\right) $ o\`{u} les $e_{i}$ sont des
vecteurs d'une base de $E.$
\item Pour en avoir des \'{e}quations cart\'{e}siennes, on r\'{e}sout $%
f\left( v\right) =\left( x,y,z\right) $ d'inconnue $v$. \
Les conditions portant sur $\left( x,y,z\right) $ restantes, donnent des
\'{e}quations de $\func{Im}\left( f\right) $
\item Base : $\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right)
\right) $ -o\`{u} les $e_{i}$ sont les vecteurs d'une base de $E$- sont g%
\'{e}n\'{e}rateurs de l'image.
Si ils ne sont pas libres, l'un est combinaison des autres et ceux l\`{a}
sont encore g\'{e}n\'{e}rateurs.
\item C'est un sous espace vectoriel de $F$
\end{itemize}
\end{document}