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\lfoot{R\'evisions ECE1 }
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\rfoot{ Page \thepage / 10}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Huge R\'{e}visions ECE1}
par Pierre Veuillez
\end{center}
\section{\textbf{DENOMBREMENT}}
Il faut savoir reconna\^{\i}tre les 3 situations suivantes qui sont utiles
en cas d'\'{e}quiprobabilit\'{e}:
\begin{description}
\item[Combinaisons] :
$p$ choix simultan\'{e}es parmi $n$ objets. (ni ordre ni r\'{e}p\'{e}tition)
Les tirages sont les combinaisons de $p$ objets parmi n.
il y a $C_{n}^{p}$ tirages possibles.
Si $0\leq p\leq n,\quad \displaystyle C_{n}^{p}={\frac{n!}{p!(n-p)!}.}$
Sinon, $C_{n}^{p}=0$.
C'est aussi le produit des $p$ premiers entier \`{a} partir de $n$ divis\'{e}
par le produit des $p$ derniers: $\displaystyle C_{7}^{3}=\frac{7\cdot
6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}$.
$C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p}$. pour tout entier $n$ et $p.$
$C_{n}^{0}=1$ pour tout entier $n$
$C_{n}^{1}=n$ pour tout entier $n\geq 1$
Pour $p$ et $n\in \mathbb{Z},\quad C_{n}^{p+1}=C_{n}^{p}+C_{n}^{p+1},$ ou
bien $C_{n}^{p}=C_{n}^{p-1}+C_{n}^{p}$.
\item[Listes] :
$p$ tirages successifs parmi $n$ objets avec remise (tirages avec ordre et r%
\'{e}p\'{e}tition possible)
Les tirages sont les listes de $p$ objets parmi $n$.
Il y a $n^{p}$ tirages possibles.
\item[Arrangements] :
$p$ tirages successifs parmi $n$ objets sans remise (ordre et pas de r\'{e}p%
\'{e}titions possibles).
Les tirages sont les listes de $p$ objets distincts parmi $n$ (ou
arrangements de $p$ objets parmi $n$).
Il y a $A_{n}^{p}$ tirages possibles.
\begin{itemize}
\item Si $0\leq p\leq n$ alors $\displaystyle A_{n}^{p}=\frac{n!}{\left(
n-p\right) !}.$
\item C'est aussi le produit des $p$ premiers entiers \`{a} partir de $n.$
\end{itemize}
\item Dans les autres cas: \textquotedblright les r\'{e}sultats sont caract%
\'{e}ris\'{e}s par$\ldots "$.
\end{description}
\section{\textbf{PROBABILITES}}
\begin{description}
\item[Conditionnement] :
La probabilit\'{e} conditionnelle doit d'abord \^{e}tre cherch\'{e}e en
traduisant le conditionnement dans l'exp\'{e}rience.
\begin{description}
\item[Exemple 1] : On lance un d\'{e}. Le r\'{e}sultat est $D$. Puis on
lance $D$ fois une pi\`{e}ce. Soit $X$ le nombre de pile obtenus. $%
p(X=i/D=n)=$? C'est la probabilit\'{e} d'obtenir $i$ $Pile$ quand on lance $n
$ fois la pi\`{e}ce. Donc $X$ suit une loi binomiale de param\`{e}tres $n$
et 1/2
\item[Exemple 2] : On lance une pi\`{e}ce, puis deux, puis trois.. jusqu'%
\`{a} ce que l'on obtienne au moins un pile. Loi du nombre $N$ de lancers?:
$(N=n)=F_{1}\cap F_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$. Donc $%
p(N=n)=p(F_{1}).p(F_{2}/F_{1})\ldots p(P_{n}/F_{1}\cap F_{2}\cap \ldots \cap
F_{n-1})$
Et $F_{1}\cap F_{2}\cap \ldots \cap F_{n-1}$ indique que que d'une part on
effectue bien le ni\`{e}me lancer et qu'on le fait d'autre part avec $n$ pi%
\`{e}ces.
\end{description}
\item[Traduction] :
Il faut savoir d\'{e}terminer les \'{e}v\`{e}nements dont on peut conna\^{\i}%
tre facilement la probabilit\'{e} ou la probabilit\'{e} conditionnelle. (le r%
\'{e}sultat de chaque tirage dans des tirages successifs...)
Leur donner des noms (avec \'{e}ventuellement des indices ou des variables al%
\'{e}atoires).
Enfin traduire les questions avec ces notations. Penser \`{a} pr\'{e}ciser l'%
\'{e}tendue des valeurs des indices en termes \emph{de r\'{e}union ou
d'intersection}.
Si on ne conna\^{\i}t que la probabilit\'{e} conditionnelle et que l'on
cherche la probabilit\'{e} a priori, penser aux probabilit\'{e}s totales.
La langue vernaculaire peut causer des erreurs: confusion entre \emph{et} et
\emph{ou}, entre la \emph{n\'{e}gation} et le \emph{contraire}. Par exemple
: Les r\'{e}sultat possibles sont $Pile$ et $Face$. $Blanc$ est le contraire
de $Noir$.
\item[Erreurs] :
Quand on a envie d'\'{e}crire un \emph{\'{e}v\'{e}nement conditionn\'{e} }%
(alors que seule une probabilit\'{e} peut l'\^{e}tre) c'est qu'il faut \'{e}%
crire une intersection. En en prenant la probabilit\'{e} :
$p\left( A\cap B\right) =p\left( A\right) \cdot p\left( B/A\right) \,$la
probabilit\'{e} conditionnelle appara\^{\i}tra.
Le \emph{premier} pile au $n^{i\grave{e}me}$ lancer signifie que l'on a non
seulement $Pile$ au $n^{i\grave{e}me}$ mais \'{e}galement qu'il n'y en a pas
eu avant.
\item[Crible] :
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\ldots $.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)$ si $A$ et $B$ sont incompatibles.
$\displaystyle p(\bigcup_{i=0}^{\infty }A_{i})=\lim_{N\rightarrow +\infty
}p(\bigcup_{i=0}^{N}A_{i})$ et si les $A_{i}$sont incompatibles $%
\displaystyle p(\bigcup_{i=0}^{\infty }A_{i})=\sum_{i=0}^{\infty }p(A_{i})$
\item[Probabilit\'{e}s compos\'{e}es] :
$p(A\cap B\cap C)=p(A)\cdot p(B/A)\cdot p(C/A\cap B)\ldots $
On peut \'{e}crire cette formule dans n'importe quel ordre. Mais pour
pouvoir interpr\`{e}ter les conditionnements, il faut souvent suivre la
chronologie de l'exp\'{e}rience
$p(A\cap B\cap C)=p(A)\cdot p(B).\cdot p(C)$ si $A,\,B$ et $C$ sont ind\'{e}%
pendants.
$\displaystyle p(\bigcap_{i=0}^{\infty }A_{i})={\lim_{N\rightarrow +\infty }}%
p(\bigcap_{i=0}^{N}A_{i})$
\item[Probabilit\'{e}s totales] :
On l'utilise quand la (probabilit\'{e} de la) r\'{e}alisation de l'\'{e}v%
\'{e}nement $A$ \emph{d\'{e}pend de} celles des \'{e}v\'{e}nements $%
B_{1},\,B_{2},\,\dots $
Il faut d'abord citer le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\`{e}nement (constitu%
\'{e} par les diff\'{e}rents conditionnements possibles). C'est lui qui
indice la somme
$p(A)=p(A/B1).p(B1)+p(A/B2).p(B2)+\ldots $ o\`{u} $B_{1},\,B_{2},\,\dots $
est un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\`{e}nements.
On peut aussi passer par la loi marginale \`{a} partir de la loi du couple. $%
p\left( X=i\right) =\sum_{j}p\left( X=i\cap Y=j\right) $
On conna\^{\i}t parfois la loi conditionn\'{e}e d'une variable al\'{e}atoire.
Mot cl\'{e}: \textbf{d\'{e}pend de}
\item[Bayes] :
C'est l'autre fa\c{c}on de calculer une probabilit\'{e} conditionnelle. (la d%
\'{e}finition math\'{e}matique de la probabilit\'{e} conditionnelle)
$\displaystyle p(A/B)={\frac{p(A\cap B)}{p(B)}}={\frac{p(A).p(B/A)}{p(B)}}$
On l'utilise quand on conna\^{\i}t la probabilit\'{e} conditionn\'{e} dans
l'autre sens. (typiquement la probabilit\'{e} du pass\'{e} conditionn\'{e}e
par le futur)
Pour calculer $p\left( B/A\right) $ on traduit le conditionnement dans l'exp%
\'{e}rience.
Pour calculer $p\left( B\right) $ on souvent recours \`{a} la formule des
probabilit\'{e}s totales.
\item[Exercice 1] : On lance ind\'{e}finiment une pi\`{e}ce.
\begin{enumerate}
\item Quel est le contraire de (n'avoir que des \textquotedblright
pile\textquotedblright ).
\item Avoir au moins un \textquotedblright pile\textquotedblright : codage.
\item Premier \textquotedblright pile\textquotedblright\ au ni\'{e}me
tirage: codage.
\item Deuxi\`{e}me \textquotedblright pile\textquotedblright\ au ni\'{e}me
tirage: codage et probabilit\'{e}. (penser \`{a} la loi binomiale)
\item Premier changement Pile/Face au $n$i\`{e}me tirage.
\end{enumerate}
\item[Exercice 2] D\'{e}nombrement. Dans un jeux de 32 cartes, combien y
a-t-il de fa\c{c}ons de choisir 3 cartes qui soient (successifs/simultan\'{e}%
s, avec/sans remise)
\begin{enumerate}
\item des as?
\item de m\^{e}me valeur?
\item des tr\`{e}fles?
\item de valeurs diff\'{e}rentes?
\item au moins deux de m\^{e}me valeur?
\end{enumerate}
\end{description}
\section{\textbf{VARIABLES ALEATOIRE}}
\begin{description}
\item[Erreurs] :
une variable al\'{e}atoire n'est pas un \'{e}v\`{e}nement.
Une variable al\'{e}atoire n'est pas un nombre : le nombre de $Pile$ en 10
lancers n'est pas connu avant de faire l'exp\'{e}rience. Pour le conna\^{\i}%
tre il faudra conditionner.
\item[Loi] :
il faut donner \`{a} la fois les valeurs prises par la variable al\'{e}%
atoire et la probabilit\'{e} qu'elle prenne chacune de ces valeurs. Quand on
veut utiliser la loi, il faut d'abord v\'{e}rifier que l'on est bien dans $%
X(\Omega )$.
Si $N$ est une variable al\'{e}atoire, $p\left( X=N\right) $ n'est pas donn%
\'{e} par la loi de $X$. Il faut passer par $p\left( X=n/N=n\right) $ puis
revenir \`{a} $p\left( X=N\right) $ par la formule des probabilit\'{e}s
totales ou par la d\'{e}composition $\displaystyle\left( X=N\right)
=\bigcup_{n\in X\left( \Omega \right) }\left( X=n\cap N=n\right) $
\item[Traduction] :
(Le plus grand $\leq n)$ = (tous $\leq n)$ ou (le plus petit $\geq n)=($
tous $\geq n)$
(le $n^{ieme}$ arrive au plus tard \`{a} l'instant $t)$ = (\`{a} l'instant $t
$ il y en a au moins $n$ pr\'{e}sents$).$
Quand on construit un \'{e}v\'{e}nement \`{a} partir de deux V.A., il faut
les traduire en se ramenant \`{a} ceux dont on conna\^{\i}t la probabilit%
\'{e} (loi ou fonction de r\'{e}partition).
$\displaystyle(X=Y)=\bigcup_{i}(X=i\cap Y=i);\quad (Xi);$\quad $\left( X+Y=k\right) =\bigcup_{i}\left( X=i\cap Y=k-i\right) $
Les valeurs de l'indice devant \^{e}tre telles que les \'{e}v\'{e}nements
soient possible. Pour les d\'{e}terminer, on r\'{e}sout, $i\in X\left(
\Omega \right) $ et $k-i\in Y\left( \Omega \right) $.
\item[Loi conditionnelle] :
Quand les conditions de l'exp\'{e}rience d\'{e}pendent d'un r\'{e}sultat pr%
\'{e}c\'{e}dent, on ne dispose alors que de la loi conditionnelle. On
utilise alors les probabilit\'{e}s totales pour trouver la loi a priori. Si
les valeurs prises d\'{e}pendent du contitonnement, prendre garde lors de la
sommation (d\'{e}couper).
Il faut reconna\^{\i}tre les lois usuelles:
\item[Bin\^{o}miale] :
Nombre de succ\`{e}s pour un nombre $n$ d'exp\'{e}riences d\'{e}termin\'{e}
et ind\'{e}pendantes ayant toutes la m\^{e}me probabilit\'{e} de succ\`{e}s.
Mots cl\'{e}s: Nombre de, $n$ exp\'{e}riences, ind\'{e}pendantes, probabilit%
\'{e} p.
\item[G\'{e}om\'{e}trique] :
Rang du premier succ\`{e}s (ou nombre d'exp\'{e}rience pour) pour une suite
infinie d'exp\'{e}riences ind\'{e}pendantes ayant toutes la m\^{e}me
probabilit\'{e} de succ\`{e}s.
Mots cl\'{e}s: Rang ou Nombre d'exp\'{e}riences, suite infinie d'exp\'{e}%
riences, ind\'{e}pendantes, probabilit\'{e} p.
\item[Hyperg\'{e}om\'{e}trique] :
Nombre de succ\`{e}s pour des tirages sans remise (successifs ou simultan%
\'{e}es).
Mots cl\'{e}s: Nombre de, $n$ tirages \emph{sans remise ou simultan\'{e}s} ,
$N$ objets, proportion $p$ de type 1.
\item[Exercice 1] :
On lance un d\'{e}. Soit $D$ son num\'{e}ro. On Lance ensuite $D$ fois une pi%
\`{e}ce \'{e}quilibr\'{e}e. Soit $X$ le nombre de \textquotedblright
pile\textquotedblright\ obtenu. Quelle est sa loi? On a obtenu 3
\textquotedblright pile\textquotedblright , quelle est la probabilit\'{e}
d'avoir eu $5$?
\item[Exercice 2] :
Deux urnes $A$ et $B$ contiennent au d\'{e}part 1 boule rouge et une verte
chacune. On r\'{e}p\`{e}te ind\'{e}finiment: on tire au hasard une boule de
chaque urne et on les \'{e}change. Soit $R_{n}$et $V_{n}$ les variables al%
\'{e}atoires \'{e}gales au nombres de boules rouges et verte dans l'urne $A%
\grave{a}$ l'issue $dun$ i\`{e}me \'{e}change. Comment obtenir les lois de $%
R_{n}$et $V_{n}$?
\end{description}
\section{\textbf{INEGALITES}}
\begin{description}
\item[Utilisation] :
Elles permettent d'obtenir des limites par encadrement ou
minoration/majoration, de d\'{e}terminer des signes, des pr\'{e}cision
(quand on majore l'\'{e}cart entre deux quantit\'{e}s) .
\item[Pour les in\'{e}quations tr\`{e}s simples] (p.ex $\exp (x)>1)$.
On peut r\'{e}soudre de fa\c{c}on directe en manipulant simultan\'{e}ment
les deux cot\'{e}s de l'in\'{e}galit\'{e}. Il faut proc\'{e}der par \'{e}%
quivalence. Les fonctions strictement croissantes ou d\'{e}croissantes le
permettent. Penser \`{a} justifier que les deux membres de l'in\'{e}galit%
\'{e}s sont dans l'intervalle o\`{u} l'on conna\^{\i}t le sens de variation
de la fonction. Pour les produits et quotient, justifier le signe du
facteur. penser que la racine d'un carr\'{e} est la valeur absolue.
\item[On se ram\`{e}ne] sinon \`{a} l'\'{e}tude du signe de la diff\'{e}%
rence.
Pour les fonctions \textit{polyn\^{o}me de degr\'{e} 2}, en connaissant les
racines de l'\'{e}quation, on obtient le signe de l'expression.
On conna\^{\i}t le signe d'un produit ou d'un quotient. Si l'on parvient
\`{a} \textit{factoriser} une expression en des termes de signe connu, par
un tableau de signe on obtient son signe.
Pour le signe d'une fonction quelconque, on \'{e}tudie son sens de variation
et ses valeurs aux extrema. On en d\'{e}duit (bijectivit\'{e}) l'existence
des points o\`{u} la fonction s'annule. (Les racines peuvent \^{e}tre \'{e}%
videntes). On d\'{e}termine alors (sens de variation +racines) le signe de
la fonction. Si le sens de variation et les racines de la fonction sont \'{e}%
videntes, on peut en profiter$!(\exp (x)-1>0)$
\item[Exercice 1] :
R\'{e}soudre $\displaystyle e^{x}>\ln (x)+e$. (Pour le signe de $e^{x}-1/x$,
factoriser, puis \'{e}tudier)
\item[Exercice 2] :
Signe de $\displaystyle{\frac{1}{e{\ }^{x}}}-{\frac{x+1}{e^{x}-2}}$.
\item[Pour les sommes, int\'{e}grales et limites] :
souvent, on encadre d'abord le contenu et on somme, int\`{e}gre ou passe
\`{a} la limite dans les in\'{e}galit\'{e}s.
\end{description}
\section{\textbf{LIMITES}}
\begin{description}
\item[D'abord] , il faut regarder si la forme est ind\'{e}termin\'{e}e ou
non.
Pour cela, il convient de conna\^{\i}tre les limites des fonctions usuelles
ainsi que les op\'{e}rations sur les limites.
Un fonction \textit{continue} en un point a pour limite sa valeur en ce
point.
\item[Si on dispose d'in\'{e}galit\'{e}s] :
on peut obtenir l'existence et la valeur de la limite par encadrement,
minoration ou majoration.
\item[Si la forme est ind\'{e}temin\'{e}e] :
On se ram\`{e}ne par changement de variable $h=x-a$ en $0$ o\`{u} l'on
dispose de nombreux outils.
On factorise dans chaque partie de l'expression la quantit\'{e} pr\'{e}%
dominantes. Il faut pour cela conna\^{\i}tre les \'{e}chelles de comparaison
ln, puissance, exponentielle, en 0 et \`{a} l'infini. On simplifie les
puissances, et on se ram\`{e}ne aux \'{e}chelles de comparaisons ou aux \'{e}%
quivalents usuels.
S'il y a des \textit{exponentielles} que l'on ne peut pas comparer, on passe
toutes les parties sous forme exponentielle.
S'il y a des formes ind\'{e}termin\'{e}es dues \`{a} des \textit{logarithmes}
ou des racines on factorise d'abord \`{a} l'int\'{e}rieur puis on d\'{e}%
veloppe \`{a} l'ext\'{e}rieur. ($\ln \left( ab\right) =\ln \left( -a\cdot
-b\right) =\ln \left( -a\right) +\ln \left( -b\right) $ si $a<0$ et $b<0)$
L'\'{e}tape suivante en cas d'\'{e}chec de la factorisation est le d\'{e}%
veloppement limit\'{e} (connus en 0, changement de variable $h=t-a)$ qui ram%
\`{e}ne toutes les fonctions \`{a} des expressions polyn\^{o}mes (au reste pr%
\`{e}s).
\item[Exercice 1] :
D\'{e}terminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty $ de $\displaystyle %
e^{x}-\ln (e^{x}-x^{2})$;
de $\displaystyle e^{(x^{2_{)}}}-e^{x}-x^{2}$;
\item[Exercice 2] :
D\'{e}terminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty $ de $\displaystyle%
\left( \ln (e^{x}-1)-x\right) .x$;
D\'{e}terminer la limite quand $x$ tend vers 1 de $\left( \ln (1+x)-\ln
(2)\right) /(x-1)$.
\end{description}
\section{\textbf{SENS DE VARIATIONS}}
\begin{description}
\item[Utilisation] :
Le sens de variation des fonctions permet de transformer des in\'{e}galit%
\'{e}s par \'{e}quivalence. Il ne permet pas d'en obtenir ex nihilo.
\item[Bijection] :
Le sens de variation plus la continuit\'{e} donne la bijectivit\'{e} (une
unique solution \`{a} l'\'{e}quation $f(x)=cst$ si $cst$ appartient bien
\`{a} l'intervalle d'arriv\'{e}e).
\item[Rreciproque] :
Une fonction continue strictement monotone a une \textit{r\'{e}ciproque}:
$g$ est la r\'{e}ciproque de $f$ de I dans $f(I)=J$ si:
pour tout $x$ de $I,g(f(x))=x$ et tout $y$ de $J,\quad f(g(y))=y$.
$g$ est la r\'{e}ciproque de $f$ de $I$ dans $J$ si
$f$ est d\'{e}finie de $I$ dans $J$, si $g$ est d\'{e}finie de $J$ dans I et
si pour tout $x$ de $I$ et $y$ de $J,\quad f(x)=y\Leftrightarrow x=g(y).$
(c'est ce qui permet de d\'{e}terminer l'expression d'une r\'{e}ciproque).
\item[Exercice ] :
$f(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. R\'{e}ciproque?
On peut conclure pour les cas \'{e}l\'{e}mentaires par les sens de variation
d'une compos\'{e}e.
\item[Suites] :
Une suite croissante et major\'{e}e est convergente. Une suite croissante et
non major\'{e}e tend vers $+\infty $
\item[D\'{e}monstration] :
\item[Dans les cas simples] :
On peut conna\^{\i}tre directement le sens de variations des fonction
usuelles ou des compos\'{e}es simples.
\item[En g\'{e}n\'{e}ral] , l\`{a} o\`{u} la fonction est d\'{e}rivable, on d%
\'{e}termine le signe de la d\'{e}riv\'{e}e. (Pour l'\'{e}tude du signe voir
ci-dessus)
\item[Suites] :
Pour les suites $u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) $ le sens de variation de $f$
permet par r\'{e}currence d'obtenir celui de $u.$
Pour les suites implicites, $f\left( u_{n}\right) =n,$ ou $f_{n}\left(
u_{n}\right) =0$ on compare les images et on revient \`{a} la suite gr\^{a}%
ce au sens de variation de $f.$
\end{description}
\section{\textbf{SYMBOLE $\Sigma $}}
\begin{description}
\item[Indice] :
On rep\`{e}re pour commencer la \emph{variable }de sommation et les
constantes.
$\displaystyle\sum_{i=m}^{n}u_{i}$ est d\'{e}finie pour $m\leq n$. L'indice $%
i$ est muet et peut \^{e}tre remplac\'{e} par n'importe quel autre symbole.
\item[R\'{e}f\'{e}rences] :
On conna\^{\i}t pour tout entier $n$, et pour $m\leq
n,\sum_{i=m}^{n}1=n-m+1,\sum_{i=0}^{n}i,\quad \sum_{i=0}^{n}i^{2},$\quad $%
\sum_{i=0}^{n}i^{3}$ et $\sum_{i=0}^{n}q^{i}$ pour $q\neq 1$.
\item[R\'{e}currences] :
Quand la valeur de la somme jusqu'\`{a} $n$ est donn\'{e}e par l'\'{e}nonc%
\'{e}, on peut d\'{e}montrer le r\'{e}sultat par r\'{e}currence:
Pour calculer $\sum_{i=0}^{n+1}u_{i}$on d\'{e}compose, $%
\sum_{i=0}^{n+1}u_{i}=\sum_{i=0}^{n}u_{i}+u_{n+1}$et on utilise la valeur de
$\sum_{i=0}^{n}u_{i}$connue par hypoth\`{e}se de r\'{e}currence.
\item[Calcul] :
l'objectif il est de se ramener aux sommes connues.
Quand l'expression \`{a} sommer d\'{e}pend de l'indice (ce qui arrive
souvent avec la formule des probabilit\'{e}s totales), on d\'{e}coupe la
somme pour n'avoir qu'une seule formule dans la plage d'indices.
On peut substituer tout entier \`{a} la borne sup\'{e}rieure des formules.
Les constantes (par rapport \`{a} l'indice de sommation) en facteur de
l'ensemble des termes de la somme peuvent \^{e}tre factoris\'{e}s devant la
somme.
Si l'indice inf\'{e}rieur n'est pas $0,\sum_{i=2}^{n}u_{i}=%
\sum_{i=0}^{n}u_{i}-u_{0}-u_{1}$.
S'il en manque d'avantage, $\sum_{i=m}^{n}u_{i}=\sum_{i=0}^{n}u_{i}-%
\sum_{i=0}^{m-1}u_{i}$
Si la puissance n'est pas $i,\quad q^{i/2}=(q^{1/2})^{i},\quad
1/q^{i}=(1/q)^{i},\quad a^{2i}/b^{i}=\left( a^{2}/b\right) ^{i}$
L'\'{e}criture factorielle des coefficients du bin\^{o}me permet des
simplification
Si on a des produits, on peut les d\'{e}velopper, et s\'{e}parer en
plusieurs sommes.
\item[In\'{e}galit\'{e}s] :
si on nous a fait d\'{e}montrer pr\'{e}alablement une in\'{e}galit\'{e} (%
\emph{v\'{e}rifier qu'elle est valables pur tous les indices de la somme)}
on doit en faire la somme.
\item[Erreur] :
une somme de produits n'est pas le produit des sommes.
\end{description}
\section{\textbf{SUITES}}
\begin{description}
\item[Sont \`{a} connaitre] :
Les suites (\emph{raison constante}), arithm\'{e}tiques, g\'{e}om\'{e}%
triques, arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}triques, r\'{e}currentes lin\'{e}aires
du second ordre \`{a} coefficients constants.
Les sommes partielles de $1,k,k^{2},k^{3},q^{k}$sont \`{a} conna\^{\i}tre.
\item[Pour les suites $u_{n+1}=f(u_{n})$] :
On \'{e}tudie la fonction et on en d\'{e}duit les propri\'{e}t\'{e}s de la
suite:
$u_{n}\in I$ (que l'on traduit ,en in\'{e}galit\'{e}), se d\'{e}montre par r%
\'{e}currence
$f(x)\geq x$ sur $I$: si l'on sait que $u_{n}\in I$ (\`{a} d\'{e}montrer
auparavant par r\'{e}currence) alors (sans r\'{e}currence) $u_{n+1}\geq u_{n}
$.
$f$ croissante sur $I$: permet de d\'{e}montrer par r\'{e}currence: $a\leq
u_{n}\leq u_{n+1}\leq b$ ou $a\leq u_{n+1}\leq u_{n}\leq b$
Les solutions de $f(x)=x$: si $u_{n}$tend vers $\ell $ (croissante major\'{e}%
e) et que $f$ est continue en $\ell $ (ce qui suppose que l'on connaisse la
position de $\ell :$ on l'obtient par passage \`{a} la limite dans les in%
\'{e}galit\'{e}s sur $u_{n}$) alors $f(\ell )=\ell $. Et par \'{e}limination
on d\'{e}duit la seule valeur de $\ell $ possible.
\item[Exemple 1] :
$u_{n+1}=\ln (u_{n})+1$.
$f(x)=x$ a pour unique solution $x=1$ (\'{e}tude des variations de $f(x)-x$)
On montre \textit{par l'absurde} que si $u_{0}<1,la$ suite n'est plus d\'{e}%
finie \`{a} partir d'une certaine valeur de n.
\emph{Si} pour tout $n,\,u_{n}$est d\'{e}finie (i.e. $u_{n}>0$) alors par r%
\'{e}currence on montre que $u_{n+1}\leq u_{n}<1$. Comme la suite est par
hypoth\`{e}se minor\'{e}e par 0, elle est convergente. Soit $\ell $ sa
limite. $\ell \leq u_{0}<1($suite d\'{e}croissante).
\emph{Si }$f$ est continue en $\ell $, i.e. $\ell >0,\emph{alors}$ $f(\ell
)=\ell $ et $\ell =1$ (absurde car $\ell <1$)
\emph{donc }$\ell =0$. Or si $u_{n}$ tend vers $0,\,u_{n+1}=f(u_{n})$ tend
vers $-\infty $.(limite de $f$ en 0) et vers 0 en m\^{e}me temps. Ce qui est
\emph{contradictoire}$.$
\emph{Donc }$u_{n}$n'est pas toujours positive. Soit $n_{0}$ tel que $%
u_{n_{0}}\leq 0$, alors $u_{n_{0}+1}$ n'est plus d\'{e}fini.
\item[Exemple 2] :
Si $f(x)=x$ pour $\alpha $ et $\beta $ la r\'{e}currence sera du type $%
\alpha \leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq \beta $. d'o\`{u} la suite croissante et
major\'{e}e converge vers $\ell $ et $\alpha \leq \ell \leq \beta $.
Pour \textit{\'{e}liminer} $\alpha $: comme la suite est croissante, pour
tout $n,\quad u_{n}\geq u_{0}>\alpha $. et par passage \`{a} la limite, $%
\ell \geq u_{0}>\alpha $. Donc $\ell \neq \alpha $ et $\ell =\beta $.
\item[Pour les suites implicites] : $u_{n}$telles que $f(u_{n})=n$ ou $%
f_{n}\left( u_{n}\right) =0$
On a l'existence et l'unicit\'{e} de $u_{n}$par bijectivit\'{e}.
Le sens de variation de la suite est obtenu en prenant l'image par $f:n\leq
n+1$ donc $f(u_{n})\leq f(u_{n+1})$ d'o\`{u} $u_{n}\geq ou\leq u_{n+1}$%
suivant le sens de variation de $f;$
On peut aussi utiliser la r\'{e}ciproque $u_{n}=f^{-1}(n)$ dont on conna%
\^{\i}t les propri\'{e}t\'{e}s par sym\'{e}trie.
Dans le cas $f_{n}\left( u_{n}\right) =0,$ on compare $f_{n+1}\left(
x\right) $ et $f_{n}\left( x\right) $ pour $x$ fix\'{e} et on compare en
cascade : $f_{n+1}\left( u_{n}\right)