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\lfoot{Memento probabilit\'es discr\`etes}
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\begin{document}


\begin{center}
{\Huge M\'{e}mento de probabilit\'{e}s discr\`{e}tes}

par Pierre Veuillez
\end{center}

\section*{Pr\'{e}alables :}

Passer du temps pour avoir en t\^{e}te toutes les donn\'{e}es de l'\'{e}nonc%
\'{e} : signification des notations et conditions de l'exp\'{e}rience.

Prendre des notations adapt\'{e}es et standard : majuscules pour les \'{e}v%
\'{e}nements et les variables al\'{e}atoires, minuscules pour leurs
probabilit\'{e}s.

Quand il y a r\'{e}p\'{e}tition de l'exp\'{e}rience, noter en indice le num%
\'{e}ro de l'exp\'{e}rience.

\section*{Traduction}

\subsection*{Formalisation de la langue :}

Tous, aucun, jamais, toujours, le premier : $\bigcap $ la probabilit\'{e}
est le produit des probabilit\'{e}s (ind\'{e}pendants) conditionn\'{e}s par
les pr\'{e}c\'{e}dents (en g\'{e}n\'{e}ral)

$\displaystyle
\mathrm{P}\left( \bigcap_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) =\lim_{N\rightarrow
+\infty }\left( \mathrm{P}\left( \bigcap_{k=1}^{N}A_{k}\right) \right) $

au moins un, ou : $\bigcup $ la probabilit\'{e} est la somme ou la somme de
la s\'{e}rie (incompatible) le crible (petites r\'{e}unions) ou l'\'{e}v\'{e}%
nement contraire.

si $A$ alors $B$ : $A\subset B$ et $\mathrm{P}\left( A\right) \le \mathrm{P}%
\left( B\right) $

Si $A$ : on parle alors de probabilit\'{e}s conditionnelle sachant $A.$

\subsection*{Concr\'{e}tisation :}

les probabilit\'{e}s conditionnelles se calculent le plus souvent par
traduction du conditionnement.

On reconna\^{\i}t alors souvent une loi usuelle, ou bien une m\^{e}me
situation avec un d\'{e}calage.

Ce n'est que lorsque l'on ne peut pas que l'on passe par la formule de Bayes.

\section*{Les situations usuelles :}

\subsection*{Esp\'{e}rance}

$E\left( X\right) =\sum_{k\in X\left( \Omega \right) }k\mathrm{P}\left(
X=k\right) $ ou somme de s\'{e}rie si convergence absolue.

$E\left( f\left( X\right) \right) =\sum_{k}f\left( k\right) \mathrm{P}\left(
X=k\right) $ si convergence absolue (th\'{e}or\`{e}me de transfert)

$E\left( \sum_{i}X_{i}\right) =\sum_{i}E\left( X_{i}\right) $ si chacune
existe (cf Bernouilli)

$E\left( f\left( X,Y\right) \right) =\sum_{i}\sum_{j}f\left( i,j\right) 
\mathrm{P}\left( X=i\cap Y=j\right) $ si convergence absolue

$E\left( X\cdot Y\right) =E\left( X\right) E\left( Y\right) $ si ind\'{e}%
pendants.

$V\left( aX+b\right) =a^{2}V\left( X\right) $ et $V\left( X+Y\right)
=V\left( X\right) +V\left( Y\right) $ si ind\'{e}pendants.

\subsection*{Quand l'exp\'{e}rience se d\'{e}roule en deux temps,}

et que les conditions du second temps d\'{e}pendent du r\'{e}sultat du
premier.

En particulier quand le second temps d\'{e}pend de la valeur d'une variable
al\'{e}atoire d\'{e}finie dans le premier temps !

En particulier quand on reconna\^{\i}t une loi usuelle, \`{a} condition de
conna\^{\i}tre le r\'{e}sultat du premier temps.

\subsubsection*{Probabilit\'{e}s totales}

On donne comme syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nement tous les r\'{e}%
sultats possibles du premier temps, (typiquement, $\left( N=n\right) _{n\in 
\mathbb{N}^{*}}$ ) et on applique la formule des probabilit\'{e}s totales (%
\textbf{index\'{e}e par le syst\`{e}me complet})

\subsubsection*{Loi marginale}

On d\'{e}termine la loi du couple puis on a la loi de l'une comme loi
marginale en sommant sur l'autre param\`{e}tre

\subsection*{Quand l'exp\'{e}rience suivante d\'{e}pend du r\'{e}sultat pr%
\'{e}c\'{e}dent : $C_{n+1}=M\cdot C_{n}$}

Le SCE est form\'{e} des r\'{e}sultats possibles \`{a} l'\'{e}tape $n$.

Leurs probabilit\'{e}s sont mises en matrice colonne $C_{n}$

On applique les probabilit\'{e}s totales pour la probabilit\'{e} de chacun
des valeurs suivantes.

Et on \'{e}crit la matrice colonne des r\'{e}sultat sous forme de produit
matricielle $C_{n+1}=M\cdot C_{n}$.

L'\textbf{esp\'{e}rance} -qui est une somme de produit- peut aussi s'\'{e}%
crire en produit ligne des valeurs *colonne.des probabilit\'{e}s.

\subsection*{Quand on r\'{e}p\`{e}te une m\^{e}me exp\'{e}rience \`{a} deux
issues (\'{e}chec ou succ\`{e}s)}

\subsubsection*{le rang $X$ du premier succ\`{e}s est donn\'{e}}

\begin{itemize}
\item par une loi g\'{e}om\'{e}trique $\mathcal{G}\left( p\right) $ si on
fait une \textbf{suite} (infinie) d'exp\'{e}riences \textbf{ind\'{e}%
pendantes }qui ont toutes la m\^{e}me probabilit\'{e} $p$ de succ\`{e}s

\item par une loi g\'{e}om\'{e}trique $\mathcal{G}\left( p\right) $ si le
rang du premier succ\`{e}s est \textbf{sans m\'{e}moire} (tant que l'on a 
\'{e}chec, la probabilit\'{e} de succ\`{e}s reste la m\^{e}me : $p$)

\item dans les autres cas, par $\left( X=k\right)
=\bigcap_{i=1}^{k-1}E_{i}\cap S_{k}$ et suivant que les exp\'{e}riences sont
ind\'{e}pendantes ou non, la probabilit\'{e} sera le produit des probabilit%
\'{e}s ou la formule des probabilit\'{e}s compos\'{e}e.
\end{itemize}

\subsubsection*{le nombre $X$ de succ\`{e}s est donn\'{e}}

\begin{itemize}
\item par une loi binomiale $\mathcal{B}\left( n,p\right) $ si$X$ est le 
\textbf{nombre de succ\`{e}s} en un nombre entier $n$ (\textbf{fix\'{e}},
pas une variable al\'{e}atoire) d'exp\'{e}riences \textbf{ind\'{e}pendantes }%
et ayant toutes la \textbf{m\^{e}me probabilit\'{e} de succ\`{e}s }$p.$

\item par une loi hyperg\'{e}om\'{e}trique $\mathcal{H}\left( N,n,p\right) $%
si $X$ est le \textbf{nombre de r\'{e}sultats favorables }succ\`{e}s en $n$
tirages \textbf{simultan\'{e}s} ou \textbf{successifs sans remise }parmi $N$
objets \'{e}quiprobables dont la proportions de favorables est $p.$

\item par des variables de \textbf{Bernouilli}

si $X_{i}$ compte le nombre de succ\`{e}s lors de la $i^{\grave{e}me}$ exp%
\'{e}rience (0 ou 1 succ\`{e}s) alors $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ donnera le
nombre total de succ\`{e}s en $n$ exp\'{e}riences.

Elles permettent d'avoir facilement l'esp\'{e}rance (mais pas la loi)

\item Erreur : le nombre d'exp\'{e}rience avant le premier succ\`{e}s se
rapporte au premier succ\`{e}s et non pas au nombre d'\'{e}chec.

\item Erreur : Si le nombre d'exp\'{e}rience est donn\'{e} par une variable
al\'{e}atoire $N$, on ne retrouve la loi usuelle que sur les probabilit\'{e}%
s sachant $N=n$.\newpage
\end{itemize}

\section*{Lois usuelles :}

\subsubsection*{G\'{e}om\'{e}trique}

$X\hookrightarrow \mathcal{G}\left( p\right) $ si $X\left( \Omega \right) =%
\left[ \left[ 1,+\infty \right[ \right[ $ et pour tout $k\in \left[ \left[
1,+\infty \right[ \right[ :\mathrm{P}\left( X=k\right) =\left( 1-p\right)
^{k-1}p$

$E\left( X\right) =\frac{1}{p}$ et $V\left( X\right) =\frac{1-p}{p^{2}}$

\`{a} noter : $\mathrm{P}\left( X>k\right) =\left( 1-p\right) ^{k}$ (que des 
\'{e}checs jusqu'\`{a} $k$ )

\subsubsection*{Bernouilli}

$X\hookrightarrow \mathcal{B}\left( 1,p\right) $ si $X\left( \Omega \right)
=\left\{ 0;1\right\} $ et $\mathrm{P}\left( X=1\right) =p$

$E\left( X\right) =p$ et $V\left( X\right) =p(1-p)$

\`{a} noter : une somme de variable de Bernouilli est le nombre total de succ%
\`{e}s.

\subsubsection*{Binomiale}

$X\hookrightarrow \mathcal{B}\left( n,p\right) $ si si $X\left( \Omega
\right) =\left[ \left[ 0,n\right] \right] $ et pour tout $k\in \left[ \left[
0,n\right] \right] :\mathrm{P}\left( X=k\right) =\binom{n}{k}p^{k}\left(
1-p\right) ^{n-k}$

$E\left( X\right) =n\,p$ et $V\left( X\right) =np\left( 1-p\right) $

\`{a} noter : Si $X\hookrightarrow \mathcal{B}\left( n,p\right) $ et $%
Y\hookrightarrow \mathcal{B}\left( m,p\right) $ \textbf{ind\'{e}pendantes }%
de \textbf{m\^{e}me param\`{e}tre} de succ\`{e}s $p$ alors $%
X+Y\hookrightarrow \mathcal{B}\left( n+m,p\right) $.

\subsubsection*{Poisson}

$X\hookrightarrow \mathcal{P}\left( \alpha \right) $ si si $X\left( \Omega
\right) =\mathbb{N}$ et pour tout $k\in \mathbb{N}:\mathrm{P}\left(
X=k\right) =\frac{e^{-\alpha }\alpha ^{k}}{k!}$

$E\left( X\right) =\alpha $ et $V\left( X\right) =\alpha $

\`{a} noter : Si $X\hookrightarrow \mathcal{P}\left( \alpha \right) $ et $%
Y\hookrightarrow \mathcal{P}\left( \beta \right) $ \textbf{ind\'{e}pendantes 
} alors $X+Y\hookrightarrow \mathcal{P}\left( \alpha +\beta \right) $.

\subsubsection*{Hyperg\'{e}om\'{e}trique}

$X\hookrightarrow \mathcal{H}\left( N,n,p\right) $ avec $a=Np$ (nombre de
favorables) et $b=n\left( 1-p\right) $ nombre de d\'{e}favorables

$\mathrm{P}\left( X=k\right) =\frac{\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{N}{n}}
$ pour tout $k\in \left[ \left[ \max \left( 0,n-b\right) ;\min \left(
a,n\right) \right] \right] =X\left( \Omega \right) $ les bornes se
retrouvent par les conditions sur les coefficients du bin\^{o}me. ($0\le
k\le a$ et $0\le n-k\le b$)

$E\left( X\right) =n\,p$ comme pour la loi binomiale.

\subsubsection*{Uniforme}

$X\hookrightarrow \mathcal{U}_{\left[ \left[ 1,n\right] \right] }$ si $%
X\left( \Omega \right) =\left[ \left[ 1,n\right] \right] $ et pour tout $%
k\in \left[ \left[ 1,n\right] \right] :\mathrm{P}\left( X=k\right) =\frac{1}{%
n}$

$E\left( X\right) =\frac{n+1}{2}$ et $V\left( X\right) =\frac{n^{2}-1}{12}$

\`{a} noter : Si $X\hookrightarrow \mathcal{U}_{\left[ \left[ a,b\right] %
\right] }$ ((valeurs de $\left[ \left[ a,b\right] \right] $ \'{e}%
quiprobables) alors $Y=X-a+1\hookrightarrow \mathcal{U}_{\left[ 1,b-a+1%
\right] }$ ce qui permet de calculer son esp\'{e}rance $\frac{a+b}{2}$ et sa
variance.

\subsection*{Approximations}

\begin{itemize}
\item Convergence en loi (les probabilit\'{e}s donn\'{e}es par une loi
tendent vers celles donn\'{e}es par une autre)

$\mathcal{H}\left( N,n,p\right) \rightarrow \mathcal{B}\left( n,p\right) $
quand $N\rightarrow +\infty $

$\mathcal{B}\left( n,\alpha /n\right) \rightarrow \mathcal{P}\left( \alpha
\right) $ quand $n\rightarrow +\infty $

\item Approximation : $\mathcal{H}\left( N,n,p\right) \simeq \mathcal{B}%
\left( n,p\right) \simeq \mathcal{P}\left( np\right) $ (tous de m\^{e}me esp%
\'{e}rance)

\item In\'{e}galit\'{e} Bienaym\'{e}-Tchebichev $\displaystyle\mathrm{P}%
\left( \left| X-m\right| >\varepsilon \right) \leq \frac{V\left( X\right) }{%
\varepsilon ^{2}}$ avec $m=E\left( X\right) $ et si $X$ a une esp\'{e}rance
et une variance.

\item Loi faible des grands nombres : les $X_{i}$ de m\^{e}me loi ayant une
esp\'{e}rance $m$ et une variance alors

$\mathrm{P}\left( \left| M_{n}-m\right| >\varepsilon \right) \rightarrow 0$
quand $n\rightarrow +\infty $
\end{itemize}

\section*{Programmation}

\subsection*{Compteur}

un compteur, est initialis\'{e} \`{a} 0 avant les boucles : \texttt{c:=0;}
et il est augment\'{e} de 1 chaque fois qu'il le faut : \texttt{c:=c+1;}

\subsection*{Accumulateur}

Un accumulateur est initialis\'{e} \`{a} 0 (sommes) ou 1 (produit ou
puissance) et il est augment\'{e} (somme) ou multipli\'{e} (produit)de la
quantit\'{e} \`{a} chaque fois \texttt{S:=S+?;} ou \texttt{P:=P*?; }

\subsection*{Tirage}

\texttt{randomize;} initialise le g\'{e}n\'{e}rateur de nombre al\'{e}atoire.

\texttt{random;} donne un nombre au hasard de [0,1[ suivant une loi uniforme.

\textsl{N.B. }\fbox{\textrm{(}\texttt{random\TEXTsymbol{<}x) }a une
probabilit\'{e} de $x$ pour tout $x\in \left[ 0,1\right] $}

\textsl{N.B. }\fbox{\texttt{(x\TEXTsymbol{<}random\TEXTsymbol{<}x+y) }a une
probabilit\'{e} de $y$ pour tout $x$ et $x+y\in \left[ 0,1\right] $}

\texttt{random(a);} donne un nombre al\'{e}atoire de l'intervalle [0,a[ si a
est un r\'{e}el ou de [[0,a-1]] si a est un entier, suivant une loi uniforme

\textsl{N.B. }\fbox{Pour simuler un lancer de d\'{e} : \texttt{%
D:=randomize(6)+1}}\texttt{\ }(dans [[0,5]]+1 donc dans [[1,6]] )

Pour avoir un \'{e}v\'{e}nement de probabilit\'{e} 0,28 : \texttt{if (random%
\TEXTsymbol{<}0,28) then...}

\subsection*{Rang du premier succ\`{e}s, nombre de succ\`{e}s, total des r%
\'{e}sultats.}

Pour obtenir le rang du premier succ\`{e}s, on a besoin d'un \textbf{compteur%
} pour le nombre d'exp\'{e}rience, et de \textbf{r\'{e}p\'{e}ter }l'exp\'{e}%
rience \textbf{jusqu'\`{a} }obtenir le succ\`{e}s.

Pour obtenir en plus la somme des r\'{e}sultats du d\'{e}, on utilise un 
\textbf{accumulateur} de somme.

Pour conna\^{\i}tre le nombre de 2 obtenus entre temps, il faut un second
compteur.

\texttt{var c,c2,S,D:integer;}

\texttt{begin}

\texttt{randomize}

\texttt{c:=0;S:=0;c2:=0;}

\texttt{repeat}

\hspace{1cm}D\texttt{:=random(6)+1;}

\hspace{1cm}\texttt{c:=c+1;S:=S+D;}

\hspace{1cm}\texttt{if (D=2) then c2:=c2+1;}

\texttt{until D=6;}

\texttt{writeln(c,' ',S,' ',c2)}

\texttt{end.}

\end{document}
