Sommes et séries

Synthèse sommes finies

Définitions

k = a b u k est défini pour a b ; k = a b u k = u a + u a + 1 + + u b pour les petites sommes.
k = 0 n + 1 u k = k = 0 n u k + u n + 1 et k = 0 0 u k = u 0 pour les récurrences.

Opérations

Chasles

(découpage horizontal) Valable uniquement si toutes les bornes sont en ordre croissant !

Linéarité

(découpage vertical) Somme de sommes.

Factorisation

des constantes par rapport à l'indice de sommation.

Réindexation

Change les deux bornes et le contenu. Mais ce n'est pas le meilleur moyen pour rectifier les bornes.
Pour x 1 , calculer ( 1 x ) k = 0 n k x k et en déduire k = 0 n k x k .

Dérivation

Pour les sommes finie ! x x 0 se dérive en x 0.
Calculer k = 1 n k x k 1

Simplification diagonale

Il faut avoir exactement k = 0 n u k + 1 u k = u n + 1 u 0

Inégalités

Montrer que pour tout k 2 : 1 k 2 1 k 1 1 k en déduire un majorant de k = 1 n 1 k 2

Sommes usuelles

k = a b 1 = b a + 1 si b a

k = 0 n k = n ( n + 1 ) 2 : k = 0 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

k = 0 n k 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4

pour a b : k = a b q k = { b a + 1  si  q = 1 q a 1 q b a + 1 1 q si  q 1
k = 0 n ( n k ) a k b n k = ( a + b ) n

Méthodes

Constantes

si elles sont en facteur ! k = 0 n 2 k + 1

Borne supérieure

k = 0 n + 2 k 2

Borne inférieure

k = 3 n k 2

Puissance manquante

k = 0 n ( n k )

Puissance en puissance k

k = 0 n q 2 k

Puissance en produit par une constante

k = 0 n q k + 1

Produit en puissance

k = 0 n 2 k 3 k

Produit en somme

k = 0 n ( k + 1 ) ( k + 2 )

Binôme

Où doit on retrouver l'indice de sommation ? Où retrouve-t-on la puissance ? Calculer k = 0 n ( n 1 k + 1 )
Ecriture factorielle de ( n k ) uniquement si 0 k n .
( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) n ! uniquement si n 0
Transformation du coefficient : symétrie ( n k ) = ( n n k ) , Pascal ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) , par factorielle k ( n k ) = n ( n 1 k 1 )

Formule changeante

Jusqu'à un indice (apparaît souvent en probabilités) k = 0 3 n | n k | .
Suivant la parité k = 0 k  pair n k 2 : k = 0 2 n k ( 1 ) k

Sommes doubles

Basiques

Distinguer variables et constantes. i = 0 n j = 0 i i j

Permutation de sommes

i = 1 n j = i n somme pour tous les couples d'entiers ( i , j ) tels que :
1 i n et i j n ; que l'on regarde comme 1 i j n ;
puis mettre j en premier 1 j n et 1 i j ; pour trouver j = 1 n i = 1 j
Calculer i = 1 n j = i n i j

Cours séries

Définition

Série

notée k 1 u k : série de terme général ( u k ) k 1 et de premier indice 1.

Série convergente

signification ?

Somme de la série

notée k = 1 + u k est ?

Aboslue convergente

Si elle est absolument convergente alors elle est convergente.
Contre exemple ?
Intérêt : critères de convergence.

Usuelles

Géométriques et dérivées

Convergent si | q | < 1 et divergent sinon.
k = 0 ++ q k = 1 1 q : k = 1 ++ k q k 1 = 1 ( 1 q ) 2 :
k = 2 ++ k ( k 1 ) q k 2 = 2 ( 1 q ) 3
: k = 0 ++ k q k = q ( 1 q ) 2 : k = 0 ++ k 2 q k = q ( q + 1 ) ( 1 q ) 3

Exercice

Démontrer les deux premières.

Exponentielles

convergent k = 0 + x k k ! = e x

Classique

n = 0 + ( n k ) 2 k n ! ressemble à une somme binomiale mais ...

Riemann

k 1 1 k α converge si α > 1 et diverge si α 1.

Opérations

Méfiance

Chercher l'erreur :
k = 0 + 2 k = 2 0 + k = 1 + 2 k = 1 + 2 k = 1 + 2 k 1 = 1 + 2 k = 0 + 2 k
Donc ( 1 2 ) k = 0 + 2 k = 1
et k = 0 + 2 k = 1 somme de termes positifs !
Conclusion ?\dotfill
.\dotfill
Prudence : on repart de la somme partielle.

Critères de convergence pour les séries à termes positifs.

Rappel

Une suite croissante et ............ est convergente,
une suite croissante et non .........tend vers + .

Lemme

Une série à termes positifs est croissante. (Signification ? Le démontrer).
Que peut-on en déduire suivant qu'elle est majorée ou non.

Théorème

Si pour tout k 0 : 0 u k v k alors
si k 0 v k converge alors k 0 u k converge (par majoration de termes positifs)
si k 0 u k diverge alors k 0 v k diverge (par minoration de termes positifs)

Preuve

Les sommes partielles vérifient les mêmes inégalités.
Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration.

Théorème

Si v n 0 et u n 0 et que u n = o ( v n ) alors
si k 0 v k converge alors k 0 u k converge (par majoration de termes positifs)
si k 0 u k diverge alors k 0 v k diverge (par minoration de termes positifs)

Preuve

Que signifie u n = o ( v n ) ? et il existe un rang n 0 à partir duquel 0 u n / v n 1 et u n v n .
On est alors ramené au théorème précédent.

Théorème

Si u n v n et que v n 0 alors k 0 u k converge si et seulement si k 0 v k converge. (par équivalence de termes positifs)

Preuve

Que signifie u n v n ? et il existe un rang n 0 à partir duquel 1 2 u n v n 3 2 d'où 1 2 v n u n 3 2 v n et la convergence ou la divergence par application du premier théorème.

Méthode

Un équivalent est une série de référence.
Sinon, on fait apparaître un terme qui tend vers 0 fois une série de référence.

Exercice

Montrer que la série de terme général ( ( 1 ) k ln ( k ) e k ) k 1 converge.