
\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}


\begin{center}
{\Huge M\'{e}mento suites}

par Pierre Veuillez
\end{center}

\section*{Suites usuelles.}

Reconna\^{\i}tre le type de suite puis r\'{e}soudre. \newline
\textbf{N.B. }les coefficients doivent \^{e}tre constants par rapport \`{a} $%
n$

\subsection*{Arithm\'{e}tique.}

$\forall n\in \mathbb{N}:$ $u_{n+1}=u_{n}+r$ pour tout $n\geqslant n_{0}$
alors $u_{n}=u_{n_{0}}+\left( n-n_{0}\right) r$

\subsection*{G\'{e}om\'{e}trique}

$\forall n\in \mathbb{N}:u_{n+1}=q\cdot u_{n}$ pour tout $n\geqslant n_{0}$
alors $u_{n}=u_{n_{0}}+q^{\left( n-n_{0}\right) }$

\subsection*{Arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique .}

$\forall n\in \mathbb{N}:u_{n+1}=q\cdot u_{n}+r$

On doit d'abord r\'{e}soudre $c=q\cdot c+r$ puis on fait le changement de
suite $v_{n}=u_{n}-c$ dont on constate qu'elle est g\'{e}om\'{e}trique. D'o%
\`{u} la valeur de $v_{n}$ puis celle de $u_{n}$

\subsection*{R\'{e}currente lin\'{e}aire du second ordre \`{a} coefficients
constants}

$\forall n\in \mathbb{N}:$ $u_{n+2}=a\cdot u_{n+1}+b\cdot u_{n}$

Soit $\left( E\right) :x^{2}=ax+b$ l'\'{e}quation caract\'{e}ristique.

\textbf{Th\'{e}or\`{e}me }

\begin{itemize}
\item si $\left( E\right) $ a deux racines distinctes $\alpha $ et $\beta $ $%
(\Delta >0)$alors il existe des constantes $A$ et $B$ telle que pour tout
entier $n:u_{n}=A\cdot \alpha ^{n}+B\cdot \beta ^{n}$

\item si $\left( E\right) $ a une seule racine $\alpha $ ($\Delta =0$) alors
il existe des constantes $A$ et $B$ telle que pour tout entier $%
n:u_{n}=\left( A+nB\right) \cdot \alpha ^{n}$

\item si $\left( E\right) $ n'a pas de racine : hors programme.
\end{itemize}

On d\'{e}termine les valeurs de $A$ et $B$ en \'{e}crivant la relation pour $%
u_{0}$ et $u_{1}$

\subsection*{Factorielle (coefficients non constants)}

$\forall n\in \mathbb{N}:u_{n+1}=\left( n+1\right) \cdot u_{n}$ et $u_{0}=1$
alors $u_{n}=n!$

\newpage

\section*{Suites r\'{e}currentes $u_{n+1}=f(u_{n})$}

\subsection*{Outils sur les suites}

\subsubsection*{Croissante}

D\'{e}finition : une suite est croissante si pour tout entier $%
n:u_{n+1}\geqslant u_{n}.$

D\'{e}monstration par r\'{e}currence avec le sens de variation de $f$ ou par
le signe de $f\left( x\right) -x$

\subsubsection*{Major\'{e}e}

D\'{e}finition : une suite est major\'{e}e s'il existe une \textbf{constante 
}$M$ telle que pour tout entier $n:u_{n}\leqslant M$

D\'{e}monstration : par r\'{e}currence avec le sens de variation de $f.$

\subsubsection*{Convergence}

Th\'{e}or\`{e}me : une suite croissante et major\'{e}e est convergente.

\subsubsection*{Divergente}

Th\'{e}or\`{e}me : une suite croissante et non major\'{e}e tend vers $%
+\infty .$

D\'{e}monstration : pour montrer la non majoration, on raisonne par
l'absurde.

\subsubsection*{In\'{e}galit\'{e}}

Th\'{e}or\`{e}me : si pour tout entier $n:u_{n}<M$ et que $u$ a une limite $%
\ell $ alors $\ell \leqslant M$

N.B.\textbf{\ }les in\'{e}galit\'{e}s s'\'{e}largissent \`{a} la limite

\smallskip Utilisation : pour situer la limite, on situe les termes de la
suite.

\subsubsection*{Limite}

Th\'{e}or\`{e}me: si $\left| k\right| <1$ alors $k^{n}\rightarrow 0$ quand $%
n\rightarrow +\infty $

\smallskip Utilisation avec l'IAF.

\subsection*{Outils sur les fonctions}

\subsubsection*{Croissance}

D\'{e}finition : $f$ croissante sur $I$ signifie que

\textbf{si }$x$ et $y$ appartiennent \`{a} $I$ alors : si $x\leqslant y$
alors $f\left( x\right) \leqslant f\left( y\right) $

\smallskip

S'utilise dans les r\'{e}currence $a\leqslant u_{n}\leqslant b$ alors $%
f\left( a\right) \leqslant f\left( u_{n}\right) \leqslant f\left( b\right) $
et $a\leqslant f\left( a\right) \leqslant u_{n+1}\leqslant f\left( b\right)
\leqslant b$

\smallskip

S'utilise dans les r\'{e}currence $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ alors $f\left(
u_{n}\right) \leqslant f\left( u_{n+1}\right) $ et $u_{n+1}\leqslant u_{n+2}$

\textbf{si} on sait d\'{e}j\`{a} que $u_{n}$ et $u_{n+1}$ appartiennent \`{a}
$I,$ \textbf{sinon}, on le rajoute dans l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence

\subsubsection*{Continuit\'{e}}

D\'{e}finition : $f$ continue en $\ell $ signifie que $f\left( x\right)
\rightarrow f\left( \ell \right) $ quand $x\rightarrow \ell $

\smallskip

Utilisation Th\'{e}or\`{e}me : si $u_{n}\rightarrow \ell $ et que $f$ est
continue en $\ell $ alors $f\left( \ell \right) =\ell $ ($\ell $ est une
solution de $f\left( x\right) =x$ )

Pour savoir que $f$ est continue en $\ell ,$ on situe $\ell .$

S'il y a plusieurs solutions, on proc\`{e}de par \'{e}limination en situant $%
\ell $ dans un intervalle.

\subsubsection*{Signe de $f\left( x\right) -x$}

S'obtient par factorisation ou par \'{e}tude des variations et th\'{e}or\`{e}%
me de bijection pour $f\left( x\right) -x=0$ (ou par r\'{e}solution).

\textbf{Attention} $f\left( x\right) =x$ ne se r\'{e}sout pas par bijectivit%
\'{e} de $f.$

\smallskip

Utilisation la limite $\ell $ est solution de $f\left( x\right) =x$ si $f$
est continue en $\ell .$

\smallskip

Utilisation $f\left( x\right) \leqslant x$ sur $I$ et \textbf{si }$u_{n}\in
I $ (a d\'{e}montrer au pr\'{e}alable) alors $f\left( u_{n}\right) \leqslant
u_{n}$ et $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ sans r\'{e}currence.

\subsubsection*{In\'{e}galit\'{e} de accroissements finis}

Th\'{e}or\`{e}me : si $f$ est d\'{e}rivable sur $I$ et que $\left\vert
f^{\prime }\right\vert \leqslant k$ sur $I$ et que $x$ et $y\in I$

alors $\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| \leqslant k\left|
x-y\right| $

\smallskip

Utilisation : $\alpha $ solution de $f\left( x\right) =x.$ On v\'{e}rifie 
\textbf{d'abord} que $\alpha $ et $u_{n}\in I$ et on a alors $\left| f\left(
u_{n}\right) -f\left( \alpha \right) \right| $ $\leqslant k\left|
u_{n}-\alpha \right| $ soit $\left| u_{n+1}-\alpha \right| \leqslant k\left|
u_{n}-\alpha \right| .$

D'o\`{u}, par r\'{e}currence $\left| u_{n}-\alpha \right| \leqslant
k^{n}\left| u_{0}-\alpha \right| $

et par encadrement ($0\leqslant \left| u_{n}-\alpha \right| $ ) $%
u_{n}-\alpha \rightarrow 0$ et $u_{n}\rightarrow \alpha $

\subsection*{Programmation}

\subsubsection*{Affectation}

On affecte successivement tous les termes de la suite dans une m\^{e}me
variable.

\subsubsection*{Une fonction}

$f\left( x\right) =e^{x}-1/x$ est programm\'{e}e par

\texttt{function f(x:real):real;}

\texttt{begin f:=exp(x)-1/x end;}

\subsubsection*{Condition d'arr\^{e}t.}

\begin{itemize}
\item par l'indice : \texttt{for i:=1 to n do u:=f(u) ;}

\item par l'IAF : $\left| u_{n}-\alpha \right| \leqslant k^{n}$ d\'{e}%
terminer une valeur approch\'{e}e de $\alpha $ \`{a} $\varepsilon $ pr\`{e}s

se programme \texttt{repeat u:=f(u);P:=P*k until P\TEXTsymbol{<}= eps;}

\item par bijection : $g\left( x\right) =f\left( x\right) -x<0$ avant $%
\alpha $ et $g\left( x\right) >0$ apr\`{e}s $\alpha .$

$u_{n}$ donnera une valeur approch\'{e}e \`{a} $\varepsilon $ pr\`{e}s si $%
u_{n}\leqslant \alpha <u_{n}+\varepsilon $ (test\'{e} sur $g\left( x\right) $
)

se programme \texttt{repeat u:=f(u) until u+eps-f(u+eps)\TEXTsymbol{>}0;}
\end{itemize}

\newpage

\section*{Suites implicites $f_{n}\left( u_{n}\right) =0$}

On ne conna\^{\i}t pas $u_{n}$ mais seulement son image $f_{n}\left(
u_{n}\right) $.

On a l'existence et l'unicit\'{e} de $u_{n}$ par bijectivit\'{e}.

On prouve les propri\'{e}t\'{e}s de $u_{n}$ en passant par les images.

\subsection*{Outils sur les fonctions.}

\subsubsection*{Bijection.}

\textbf{Pr\'{e}ciser que }$0$ appartient \`{a} l'intervalle image pour
conclure que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =0$ a une unique solution

\subsubsection*{Croissance stricte}

Th\'{e}or\`{e}me : si $f$ est strictement croissante sur $I$ et que $x$ et $%
y $ $\in I$ alors

$f\left( x\right) \leqslant f\left( y\right) \Longleftrightarrow x\leqslant
y $ (si $f\left( x\right) \leqslant f\left( y\right) $ alors $x\leqslant y$ )

Utilisation : pour comparer $u_{n}$ et $u_{n+1}$ \`{a} partir de leurs
images.

\subsubsection*{Comparaison}

M\'{e}thode on compare $f_{n}\left( x\right) $ et $f_{n+1}\left( x\right) $
par factorisation de $f_{n+1}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) .$

\subsection*{Sens de variation de $u_{n}$}

$f_{n}\left( x\right) \leqslant f_{n+1}\left( x\right) $ sur $I$ et $u_{n}$ $%
\in I$ alors $f_{n}\left( u_{n}\right) \leqslant f_{n+1}\left( u_{n}\right) $%
. Or $f_{n}\left( u_{n}\right) =0=f_{n+1}\left( u_{n+1}\right) $ donc $%
f_{n+1}\left( u_{n+1}\right) \leqslant f_{n+1}\left( u_{n}\right) .$

Et comme $f_{n+1}$ est d\'{e}croissante sur $J$ et que $u_{n}$ et $u_{n+1}$
en sont \'{e}l\'{e}ments, $u_{n+1}\geqslant u_{n}$

Sans r\'{e}currence !

\subsection*{Dans le cas $f\left( u_{n}\right) =n,$}

On peut aussi utiliser la r\'{e}ciproque.

\smallskip

Th\'{e}or\`{e}me : $f$ continue et strictement croissante sur $I=\left[ a,b%
\right] $ alors elle est bijective de $I$ dans $J=\left[ f\left( a\right)
,f\left( b\right) \right] $

Elle a alors une r\'{e}ciproque $f^{-1}$ qui est continue et strictement
croissante de $J$ dans $I$.

\smallskip

On a les propri\'{e}t\'{e}s de $f$ ''par sym\'{e}trie'' (limite, asymptote,
tangente) en inversant les r\^{o}les des abscisses et des ordonn\'{e}es.

$u_{n}=f^{-1}(n)$ dont on conna\^{\i}t les propri\'{e}t\'{e}s par sym\'{e}%
trie.

\end{document}
