Mémento suites

par Pierre Veuillez

Suites usuelles.

Reconnaître le type de suite puis résoudre.
N.B. les coefficients doivent être constants par rapport à n

Arithmétique.

n : u n + 1 = u n + r pour tout n n 0 alors u n = u n 0 + ( n n 0 ) r

Géométrique

n : u n + 1 = q u n pour tout n n 0 alors u n = u n 0 + q ( n n 0 )

Arithmético-géométrique .

n : u n + 1 = q u n + r

On doit d'abord résoudre c = q c + r puis on fait le changement de suite v n = u n c dont on constate qu'elle est géométrique. D'où la valeur de v n puis celle de u n

Récurrente linéaire du second ordre à coefficients constants

n : u n + 2 = a u n + 1 + b u n

Soit ( E ) : x 2 = a x + b l'équation caractéristique.

Théorème

On détermine les valeurs de A et B en écrivant la relation pour u 0 et u 1

Factorielle (coefficients non constants)

n : u n + 1 = ( n + 1 ) u n et u 0 = 1 alors u n = n !


Suites récurrentes u n + 1 = f ( u n )

Outils sur les suites

Croissante

Définition : une suite est croissante si pour tout entier n : u n + 1 u n .

Démonstration par récurrence avec le sens de variation de f ou par le signe de f ( x ) x

Majorée

Définition : une suite est majorée s'il existe une constante M telle que pour tout entier n : u n M

Démonstration : par récurrence avec le sens de variation de f .

Convergence

Théorème : une suite croissante et majorée est convergente.

Divergente

Théorème : une suite croissante et non majorée tend vers + .

Démonstration : pour montrer la non majoration, on raisonne par l'absurde.

Inégalité

Théorème : si pour tout entier n : u n < M et que u a une limite alors M

N.B. les inégalités s'élargissent à la limite


Utilisation : pour situer la limite, on situe les termes de la suite.

Limite

Théorème: si | k | < 1 alors k n 0 quand n +


Utilisation avec l'IAF.

Outils sur les fonctions

Croissance

Définition : f croissante sur I signifie que

si x et y appartiennent à I alors : si x y alors f ( x ) f ( y )


S'utilise dans les récurrence a u n b alors f ( a ) f ( u n ) f ( b ) et a f ( a ) u n + 1 f ( b ) b


S'utilise dans les récurrence u n u n + 1 alors f ( u n ) f ( u n + 1 ) et u n + 1 u n + 2

si on sait déjà que u n et u n + 1 appartiennent à I , sinon, on le rajoute dans l'hypothèse de récurrence

Continuité

Définition : f continue en signifie que f ( x ) f ( ) quand x


Utilisation Théorème : si u n et que f est continue en alors f ( ) = ( est une solution de f ( x ) = x )

Pour savoir que f est continue en , on situe .

S'il y a plusieurs solutions, on procède par élimination en situant dans un intervalle.

Signe de f ( x ) x

S'obtient par factorisation ou par étude des variations et théorème de bijection pour f ( x ) x = 0 (ou par résolution).

Attention f ( x ) = x ne se résout pas par bijectivité de f .


Utilisation la limite est solution de f ( x ) = x si f est continue en .


Utilisation f ( x ) x sur I et si u n I (a démontrer au préalable) alors f ( u n ) u n et u n + 1 u n sans récurrence.

Inégalité de accroissements finis

Théorème : si f est dérivable sur I et que | f | k sur I et que x et y I

alors | f ( x ) f ( y ) | k | x y |


Utilisation : α solution de f ( x ) = x . On vérifie d'abord que α et u n I et on a alors | f ( u n ) f ( α ) | k | u n α | soit | u n + 1 α | k | u n α | .

D'où, par récurrence | u n α | k n | u 0 α |

et par encadrement ( 0 | u n α | ) u n α 0 et u n α

Programmation

Affectation

On affecte successivement tous les termes de la suite dans une même variable.

Une fonction

f ( x ) = e x 1 / x est programmée par

function f(x:real):real;

begin f:=exp(x)-1/x end;

Condition d'arrêt.


Suites implicites f n ( u n ) = 0

On ne connaît pas u n mais seulement son image f n ( u n ) .

On a l'existence et l'unicité de u n par bijectivité.

On prouve les propriétés de u n en passant par les images.

Outils sur les fonctions.

Bijection.

Préciser que 0 appartient à l'intervalle image pour conclure que l'équation f n ( x ) = 0 a une unique solution

Croissance stricte

Théorème : si f est strictement croissante sur I et que x et y I alors

f ( x ) f ( y ) x y (si f ( x ) f ( y ) alors x y )

Utilisation : pour comparer u n et u n + 1 à partir de leurs images.

Comparaison

Méthode on compare f n ( x ) et f n + 1 ( x ) par factorisation de f n + 1 ( x ) f n ( x ) .

Sens de variation de u n

f n ( x ) f n + 1 ( x ) sur I et u n I alors f n ( u n ) f n + 1 ( u n ) . Or f n ( u n ) = 0 = f n + 1 ( u n + 1 ) donc f n + 1 ( u n + 1 ) f n + 1 ( u n ) .

Et comme f n + 1 est décroissante sur J et que u n et u n + 1 en sont éléments, u n + 1 u n

Sans récurrence !

Dans le cas f ( u n ) = n ,

On peut aussi utiliser la réciproque.


Théorème : f continue et strictement croissante sur I = [ a , b ] alors elle est bijective de I dans J = [ f ( a ) , f ( b ) ]

Elle a alors une réciproque f 1 qui est continue et strictement croissante de J dans I .


On a les propriétés de f ''par symétrie'' (limite, asymptote, tangente) en inversant les rôles des abscisses et des ordonnées.

u n = f 1 ( n ) dont on connaît les propriétés par symétrie.