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\lfoot{Variables \'a densit\'e}
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\begin{document}


\begin{center}
{\Huge M\'{e}mento variables \`{a} densit\'{e}}

par Pierre Veuillez
\end{center}

\section*{De la densit\'{e} \`{a} la variable al\'{e}atoire :}

\subsection*{Probabilit\'{e}}

\begin{itemize}
\item $f$ est une densit\'{e} si $f$ est continue sauf en un nombre fini de
points, positive et $\int_{-\infty }^{+\infty }$.$f\left( t\right) dt=1$
\end{itemize}

Revoir le calcul des int\'{e}grales impropres.

\begin{itemize}
\item La fonction de r\'{e}partition de $X$ est $F\left( x\right) =p\left(
X\le x\right) $

\item Pour une variable $X$ de densit\'{e} $f$ on a

\begin{itemize}
\item pour tout $x\in \mathbb{R}:p\left( X\le x\right) =F\left( x\right)
=\int_{-\infty }^{x}f\left( t\right) dt$

\item pour tout $x\in \mathbb{R}:p\left( X>x\right) =1-F\left( x\right)
=\int_{x}^{+\infty }f\left( t\right) dt$

\item \textbf{si }$a\le b$ alors $p\left( a\le X\le b\right) =F\left(
b\right) -F\left( a\right) =\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt$ et vaut 0 si $%
a>b$
\end{itemize}
\end{itemize}

Quand $f$ est donn\'{e}es par diff\'{e}rentes formules suivant l'intervalle,
on obtient une formule diff\'{e}rente sur chaque intervalle.

\subsection*{Esp\'{e}rance}

Pour une variable $X$ de densit\'{e} $f$,

\begin{itemize}
\item $X$ a une esp\'{e}rance si $\int_{-\infty }^{+\infty }$.$tf\left(
t\right) dt$ converge. On a alors $E\left( X\right) =\int_{-\infty
}^{+\infty }$.$tf\left( t\right) dt$

\item $X$ a une variance si $X$ a une esp\'{e}rance et si $\int_{-\infty
}^{+\infty }$.$t^{2}f\left( t\right) dt$ converge. \newline
On a alors $E\left( X^{2}\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }$.$t^{2}f\left(
t\right) dt$

\item Pour une variable $X$ de densit\'{e} $f$, et $g$ continue sauf en un
nombre fini de points, $Y=g\left( X\right) $ a une esp\'{e}rance si $%
\int_{-\infty }^{+\infty }$.$g\left( t\right) f\left( t\right) dt$ est
absolument convergente et on a alors $E\left( g\left( X\right) \right)
=\int_{-\infty }^{+\infty }$.$g\left( t\right) f\left( t\right) dt$
\end{itemize}

\section*{De la variable \`{a} la densit\'{e} :}

\subsection*{Si $F$ est une fonction de r\'{e}partition (i.e. $F\left(
x\right) =p\left( X\le x\right) $ ),}

Elle est la fonction de r\'{e}partition d'une variable \`{a} densit\'{e} si
et seulement si : elle est continue et de classe $C^{1}$ sauf en un nombre
fini de points

La densit\'{e} est alors $f=F^{\prime }$ l\`{a} o\`{u} $F$ est d\'{e}rivable.

Pour montrer qu'une fonction est continue :

\begin{itemize}
\item somme, produit $\dots $ de fonctions continues.

\item L\`{a} o\`{u} ces th\'{e}or\`{e}mes ne s'appliquent pas (quand la
formule change d\'{e}pend de l'intervalle) $f$ est continue en $a$ si $%
f\left( x\right) \rightarrow f\left( a\right) $ quand $x\rightarrow a$
\end{itemize}

Pour montrer qu'une fonction est $C^{1}$; on reste formel autant que
possible, et

La somme, compos\'{e}es ... de fonction $C^{1}$ est $C^{1}$

\subsection*{Quand une V.A. $Y$ est d\'{e}finie \`{a} partir d'une autre $%
Y=f\left( X\right) ,$}

Pour d\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition de $Y$ on r\'{e}sout $%
G\left( x\right) =\mathrm{P}\left( f\left( X\right) \leq x\right) $ pour
exprimer la fonction de r\'{e}partition de $Y$ en fonction de celle de $X.$

La fonction de r\'{e}partition de $X$ v\'{e}rifie les crit\`{e}res de
fonction de r\'{e}partition de variable \`{a} densit\'{e}.

Puis on v\'{e}rifie les 2 crit\`{e}res (continue sur $\mathbb{R}$ et $C^{1}$
sauf en un nombre fini de points) et on d\'{e}rive enfin.

Il ne faut pas chercher \`{a} revenir aux int\'{e}grales, mais rester formel.

\section*{Interpr\'{e}tation.}

\subsection*{Pour les lois de $\min $ et $\max $ on proc\`{e}de par :}

\begin{itemize}
\item le plus petit est plus grand que $x$ s'ils sont tous plus grand que $x 
$ (intersection)

(ECRICOME 2003)

\item le plus grand est plus petit que $x$ s'ils sont tous plus petits que .$%
x.$
\end{itemize}

\subsection*{Pour une dur\'{e}es de fonctionnement $X$}

il faut interpr\'{e}ter : (voir \textbf{\ ECRICOME\ 2001})

\begin{itemize}
\item $X\ge t$ signifie que la machine fonctionne (encore) \`{a} l'instant $%
t.$

\item $X<t$ signifie qu'elle est en panne \`{a} l'instant $t.$

\item Le nombre de machine en panne \`{a} un instant donn\'{e} suivra
souvent une loi binomiale (revoir les conditions , l'esp\'{e}rance et la
variance)
\end{itemize}

\subsection*{Pour la partie enti\`{e}re,}

comme elle ne prend que des valeurs enti\`{e}res, on n'\'{e}tudie plus la
fonction de r\'{e}partition mais directement la loi (exo 22 feuille)

\begin{itemize}
\item on a $\left[ X\right] \le X<\left[ X\right] +1$ et ou encore $\left( %
\left[ X\right] =n\right) =\left( n\le X<n+1\right) $

\item Les in\'{e}galit\'{e}s sur la partie enti\`{e}re se manipulent de fa%
\c{c}on beaucoup moins naturelle : \`{a} \'{e}viter (ce n'est pas une
fonction strictement croissante) :

$\left( \left[ X\right] \le x\right) =\left( X<\left[ x\right] +1\right) $
et $\left( x\le \left[ X\right] \right) =\left( \left[ x\right] -1<X\right) $
\end{itemize}

\subsection*{Lois usuelles : conna\^{\i}tre les densit\'{e}s, esp\'{e}rances
et variances.}

\begin{itemize}
\item pour la loi exponentielle caract\'{e}ris\'{e}e par le fait qu'elle est
sans m\'{e}moire.

\item pour la loi Normales, r\'{e}f\'{e}rer le changement de variable et la
convergence de la somme centr\'{e}e r\'{e}duite de variables ind\'{e}%
pendantes de m\^{e}me esp\'{e}rance et variance (rare).

La somme ou la moyenne $S$ de variables d\textbf{e m\^{e}me loi}, d'esp\'{e}%
rance $m$ et de variance $v,$ \textbf{centr\'{e}e r\'{e}duite} converge en
loi vers la loi $\mathcal{N}\left( 0,1\right) :\displaystyle
S^{*}=\frac{S-m}{\sqrt{v}}\widetilde{\hookrightarrow }\mathcal{N}\left(
0,1\right) $ c'est \`{a} dire que $\mathrm{P}\left( \mathcal{S}^{*}\le
x\right) \simeq \Phi \left( x\right) $
\end{itemize}

\end{document}
