Mémento variables à densité

par Pierre Veuillez

De la densité à la variable aléatoire :

Probabilité

Revoir le calcul des intégrales impropres.

Quand f est données par différentes formules suivant l'intervalle, on obtient une formule différente sur chaque intervalle.

Espérance

Pour une variable X de densité f ,

De la variable à la densité :

Si F est une fonction de répartition (i.e. F ( x ) = p ( X x ) ),

Elle est la fonction de répartition d'une variable à densité si et seulement si : elle est continue et de classe C 1 sauf en un nombre fini de points

La densité est alors f = F là où F est dérivable.

Pour montrer qu'une fonction est continue :

Pour montrer qu'une fonction est C 1 ; on reste formel autant que possible, et

La somme, composées ... de fonction C 1 est C 1

Quand une V.A. Y est définie à partir d'une autre Y = f ( X ) ,

Pour déterminer la fonction de répartition de Y on résout G ( x ) = P ( f ( X ) x ) pour exprimer la fonction de répartition de Y en fonction de celle de X .

La fonction de répartition de X vérifie les critères de fonction de répartition de variable à densité.

Puis on vérifie les 2 critères (continue sur et C 1 sauf en un nombre fini de points) et on dérive enfin.

Il ne faut pas chercher à revenir aux intégrales, mais rester formel.

Interprétation.

Pour les lois de min et max on procède par :

Pour une durées de fonctionnement X

il faut interpréter : (voir ECRICOME 2001)

Pour la partie entière,

comme elle ne prend que des valeurs entières, on n'étudie plus la fonction de répartition mais directement la loi (exo 22 feuille)

Lois usuelles : connaître les densités, espérances et variances.