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\begin{document}
\begin{center}
{\LARGE M\'{e}mento Int\'{e}grales\vspace{-0.5cm}}
\end{center}
\section{Calcul de primitive}
Existe si la fonction est continue sur un intervalle. Se teste en la d\'{e}%
rivant. Constantes multiplicatives. Impossible en g\'{e}n\'{e}ral avec les
fonctions usuelles. Pas de produits sauf $f\left( u\left( x\right) \right)
\cdot u^{\prime }\left( x\right) $ d\'{e}riv\'{e}e du contenu.
Transformer les produits/quotient : d\'{e}velopper en somme, regrouper en
puissance ou en exponentielle, IPP
\section{Relation entre int\'{e}grale}
\subsection{R\'{e}currence}
$I_{n+1}$ en fonction de $I_{n}$ : Par IPP en \ d\'{e}rivant la puissance.
\textbf{N.B.} pour primitiver $u\left( x\right) =e^{-x^{2}}$ ... il faut
garder un $x$ en r\'{e}serve : $u\left( x\right) =xe^{-x^{2}}$
\subsection{Changement de variable}
Indiqu\'{e} par l'\'{e}nonc\'{e}, ou chercher les correspondances, aux
bornes et dans le contenu.
Permet de faire passer un param\`{e}tre dans les bornes pour \'{e}tudier
l'int\'{e}grale en fonction des bornes.
\textbf{N.B. }plus facile quand l'ancienne variable est fonction de la
nouvelle.
\section{Limite}
\subsection{in\'{e}galit\'{e}s (majoration, minoration, encadrement)}
Sur le contenu d'abord, int\'{e}gration de l'in\'{e}galit\'{e} suivant
l'ordre des bornes.
\textbf{N.B. Une majoration en }$\displaystyle \frac{1}{n+1}$ est obtenue
par int\'{e}gration de $\left( \cdots \right) ^{n},$ qu'il faut donc
conserver dans le majorant.
\textbf{N.B valeur absolue} $\left \vert \int \right \vert \leq \int
\left
\vert {}\right \vert $ \textbf{si }les bornes sont en ordre croissant.
\subsection{Convergence d'int\'{e}grale impropre}
Suivant l'\'{e}nonc\'{e} :
\begin{itemize}
\item Convergence et calcul, int\'{e}grale partielle, primitive puis limite.%
\newline
(IPP et changement de variable sur l'int\'{e}grale partielle)
\item Convergence par comparaison de fonctions positives. Factorisation du pr%
\'{e}pond\'{e}rant pour obtenir un \'{e}quivalent simple.\newline
\textbf{Astuce : }d\'{e}couper une exponentielle $x^{n}e^{-x}=\left(
x^{n}e^{-x/2}\right) e^{-x/2}=o\left( e^{-x/2}\right) $\newline
R\'{e}f\'{e}rences : exponentielles et Riemann.
\end{itemize}
\section{Fonction des bornes}
Une fonction continue sur un intervalle a une primitive.
Si l'int\'{e}grale converge, $\displaystyle F\left( x\right) =\int_{-\infty
}^{x}f\left( t\right) ~dt$ est continue sur $\left] -\infty ,a\right]
\mathbb{\ }$\ et $C^{1}$ l\`{a} o\`{u} $f$ est continue.
\section{Sommes / S\'{e}ries}
\subsection{Bornes constantes}
$\displaystyle \sum_{k}\int_{a}^{b}f_{k}\left( t\right) dt=\displaystyle%
\int_{a}^{b}\sum_{k}f_{k}\left( t\right) dt$ (lin\'{e}arit\'{e})
\subsection{Bornes t\'{e}lescopiques}
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\int_{k}^{k+1}f\left( t\right)
dt=\int_{0}^{n+1} $ $f\left( t\right) dt$ (Chasles, contenu constant)
\subsection{Comparaison s\'{e}ries/int\'{e}grale}
Hypoth\`{e}ses : $f$ d\'{e}croissante et positive sur $\left[ 1,+\infty %
\right[ $ alors $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty }$ et $\displaystyle%
\int_{1}^{+\infty }f\left( t\right) dt$ sont de m\^{e}me nature (permet de
faire des IPP)
\end{document}