Revisions Inégalités

Variations

Variations

Factorisation

limites

Sommes

Montrer que pour n 2 on a k = 1 n 1 k 2 k = 2 n 1 k ( k 1 ) + 1

Corrigé :

Pour comparer les sommes, on compare les contenus :

Pour comparer 1 k 2 et 1 k ( k 1 ) on étudie le signe de leur différence : 1 k 2 1 k ( k 1 ) = 1 k 2 ( k 1 ) < 0 pour k > 1

Attention :pour faire la somme des inégalité, elles doivent être vraie sur tout l'intervalle de sommation.

ici, on a un problème en k = 1. On décopose donc le problème :

Pour tout k 2 on a 1 k 2 1 k ( k 1 ) donc k = 2 n 1 k 2 k = 2 n 1 k ( k 1 )

et k = 1 n 1 k 2 = k = 2 n 1 k 2 + 1 k = 2 n 1 k ( k 1 ) +

Intégrales

Pour n montrer 0 0 1 x n e x x 1 n + 1

Corrigé :pour encadrer l'intégrale, on encadre son contenu :

Attention ici on veut 1 n + 1 . Il provient de la primitivation de x n (toujours dansles exercices de concours) . Il fautdonc conserver ce x n dans le majorant, et doncn'encadrer que e x :

Pour 0 x 1 on a 0 e x e 0 car x e x est décroissante sur et donc 0 x n e x x n car x n 0

Donc comme 0 1 (ordre des bornes ) 0 1 0 x 0 1 x n e x 0 1 x n x = [ x n + 1 n + 1 ] 0 1 donc
0 I n 1 n + 1

Récurrence

Inégalité des acroissements finis

Probabilités

Si deux événements vérifient A B alors p ( A ) p ( B )

Densité

f est une densitée si f \dots

Valeurs approchées

Dire que a = α à ϵ près signifie que l'écart | a α | ϵ .

Une telle majorationpeut êre obtenue directement par l'inégalité des acroissement finis.

On doit aussi parfois la transformer en a ϵ α a + ϵ (on a | x | y y x y )

Et cette dernière peut se tester par exemple sur les images si α est solution de f ( x ) = 0 et que f est strictement croissante