Corrig\e R\evisions Limites par Pierre veuillez
Constantes, variables.
Quand
Corrigé:
Prépondérants, Négligeables. Factorisation; Changement de variable
Déterminer la limite quand
Corrigé :
On factorise d'abord à l'interrieur puis on développe le
Déterminer la limite quand
Corrigé :
On peut au choix tout rentre dans
l'
Donc
En mettant tout en
et enfin avec
Déterminer la limite quand
Corrigé :
On a une forme indéterminée.
Attention : quand on n'est ninen 0 ni
en+
Soit
Remarque : en général pour déterminer les
limites on factorise d'abord à l'interrieur des fonction (pour
le
Au contraire, avec une exponentielle, on ne peut déveopper qu'une somme :
Donc pour une FI avec
Développements limités.
On considère la fonction
Montrer que
Corrigé :
En
pour
pour
pour
Donc
Soit
Corrigé :
On revient (pour changer un peu) au taux d'acroissement :
(remarquez ici, quel'on peut utiliser dans le même calcul à la fois le DL et les équivalents.
Equivalents. Factorisation;Changement de variable
Déterminer la limite quand
On suppose que
Corrigé :
On a donc
et en divisant par
Et par encadrement
On a
Corrigé :
Quand
On reconnait une forme
car
Par le DL :
Inégalités, variations.
Montrer que pour tout
Corrigé :
Donc
Et comme
Soit
Résoudre
Corrigé :
Pour
Pour
Donc les solutions de
De même on obtient que
Pour utiliser cette inégalité avec
Soit
Donc pour tout entier
Donc comme
Comme elle est minorée par
Attention : on ne connait pas asa limite. On sait seulement
que
Continuité
Soit la suite
Corrigé :
Comme
Comme
Comme
Soit
Corrigé :
Il faut ici montrer que
On a ici une forme indéterminée. On effectue donc le changement de
variable
Donc si
Si
Séries
Montrer que la série
Corrigé :
Donc la somme partielle :
quand
Déterminer un équivalent de
Corrigé :
Comme
Or la série
Intégrales impropres
Etudier la convergence et calculer
Corrigé :
Comme
Pour
On a donc
Donc
Branches infinies.
Soit
Etudier les variations de
Montrer que
Montrer que sa réciproque vérifie :
Corrigé :
la droite d'équation
En
En
donc bijective de
Comme
Dérivablitié
Soit
Corrigé :
Pour la dérivablité en
Pour
Pour
Pour
donc
Fonctions de répartition de VADensité
Soit
Soit
Corrigé :
En
En
et en
Donc
donc
Donc
On a pour tout
Donc si
et si
Donc
Donc
et si
Donc