Corrig\e R\evisions Limites par Pierre veuillez

Constantes, variables.

Quand x + de x n ln ( x ) ( n )

Corrigé: x n ln ( x ) = x ( 1 n ln ( x ) / x ) et comme x ln ( x ) alors x ( 1 n ln ( x ) / x ) +

Prépondérants, Négligeables. Factorisation; Changement de variable

Développements limités.

On considère la fonction G définie sur par { G ( t ) = 0    si    t < 1 G ( t ) = 1 2 l n ( t ) t 2    1 t 2 si    t 1

Corrigé :

Equivalents. Factorisation;Changement de variable

Inégalités, variations.

Continuité


Séries

Intégrales impropres

Etudier la convergence et calculer 1 + 1 t 2 ln ( t ) t

Corrigé :

Comme t 1 t 2 ln ( t ) est continue sur [ 1 , + [ cette intégrale est impropre en + uniquement.

Pour M 1 , on calcule 1 M 1 t 2 ln ( t ) t en intégrant par parties :

u ( t ) = 1 / t 2 : u ( t ) = 1 / t : v ( t ) = ln ( t ) : v ( t ) = 1 / t avec u et v de classe C 1 sur [ 1 , + [

On a donc 1 M 1 t 2 ln ( t ) t = [ 1 t ln ( t ) ] 1 M 1 M 1 t 1 t t = ln ( M ) M + 0 + [ 1 t ] 1 M = ln ( M ) M 1 M + 1 1 car M ln ( M ) quand M +

Donc 1 + 1 t 2 ln ( t ) t converge et vaut 1

Branches infinies.

Soit f ( x ) = x e 1 x

Corrigé :

Dérivablitié

Soit f k ( x ) = ln ( x ) k x 1 si x 1 et f k ( 1 ) = 0. Montrer que si k est un entier k 2 alors f k est dérivable en 1 et déterminer sa dérivée.

Corrigé :

Pour la dérivablité en 0 , on revient au taux d'acroissement : pour x 1 on pose h = x 1 0 f k ( x ) f k ( 1 ) x 1 = ln k ( x ) ( x 1 ) 2 = ln ( 1 + h ) k h 2 = ln ( 1 + h ) 2 h 2 ln ( 1 + h ) k 2 Et comme ln ( 1 + h ) h quand h 0 alors ln ( 1 + h ) 2 h 2 1

Fonctions de répartition de VADensité

Soit F ( x ) = e x / 2 si x 0 et F ( x ) = 1 e x / 2 si x > 0. Montrer que F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité et déterminer la densité de cette variable aléatoire. Calculer son espérance si elle en a une.

Soit X une telle varianle aléatoire et Y = | X | . Montrer que Y est une variable à densité et déterminer sa densité.

Corrigé :

Donc F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité X dont la densité est f ( x ) = F ( x ) = e x / 2 0 si x < 0 et e x / 2 0 si x > 0.