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\documentclass[12pt]{article}
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%TCIDATA{TCIstyle=apierre/apierre.lat,vide,article}

%TCIDATA{Created=Thu Mar 27 20:24:06 2003}
%TCIDATA{LastRevised=Mon Mar 22 23:09:27 2004}

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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\lfoot{R\'evisions} 
\cfoot{Limites}
\rfoot{ Page \thepage / 2}
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\begin{document}


\begin{center}
{\LARGE Revisions Limites}
\end{center}

\begin{description}
\item[$\leftarrow $]  \textbf{Constantes, variables.}

Quand $x\rightarrow +\infty $ de $x-n\ln \left( x\right) $ ($n\in \Bbb{N}$ )

\item[$\leftarrow $]  \textbf{Pr\'{e}pond\'{e}rants, N\'{e}gligeables.
Factorisation; Changement de variable}

\begin{itemize}
\item  D\'{e}terminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty $ de $%
\displaystyle
e^{x}-\ln (2e^{x}-x^{2})$

\item  D\'{e}terminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty $ de $%
\displaystyle
e^{x^{2}}-x$

\item  D\'{e}terminer la limite quand $x\rightarrow 1$ de $\ln \left(
x\right) /\left( e^{x}-e\right) $
\end{itemize}

\item[$\leftarrow $]  \textbf{D\'{e}veloppements limit\'{e}s.}

\begin{itemize}
\item  On consid\`{e}re la fonction $G$ d\'{e}finie sur $\Bbb{R}$ par $%
\left\{ {{\ 
\begin{array}{l}
{G\left( {t}\right) =}{0\,\,}\text{{si}}{\,\,t<1} \\ 
{G\left( {t}\right) =}\displaystyle {1-\frac{{2ln\left( {t}\right) }}{{t^{2}}%
}\,\,-\frac{{1}}{{t^{2}}}\,}\text{{si}}{\,\,t\ge 1}
\end{array}
}}\right. $

\item  Montrer que $G$ est de classe $C^{1}$sur $\Bbb{R}$

\item  Soit $\displaystyle
f\left( x\right) =\frac{x}{e^{x}-1}$ si $x\ne 0$ et $f\left( 0\right) =1.$
Montrer que $f$ est d\'{e}rivable en $0.$ Montrer que cette d\'{e}riv\'{e}e
est continue en $0.$
\end{itemize}

\item[$\mathbf{\leftrightarrow }$]  \textbf{Equivalents.
Factorisation;Changement de variable}

\begin{itemize}
\item  D\'{e}terminer la limite quand $x\rightarrow 1$ de $\ln \left(
x\right) /\left( e^{x}-e\right) $

\item  On suppose que $n\ln \left( n\right) <v_{n}<2n.\ln (n)$ pour tout
entier $n\ge 3.$ Montrer : $\ln (v_{n})\thicksim \ln (n)$

\item  On a $\displaystyle
p\left( D+I_{n}>\theta \right) =\frac{1}{n}\left( \frac{\displaystyle
1-e^{-\alpha \theta }}{\displaystyle
1-e^{-{\alpha \theta /n}}}\right) $. D\'{e}terminer : $\displaystyle
\lim_{n\rightarrow +\infty }p\left( D+I_{n}>\theta \right) $
\end{itemize}

\item[$\mathbf{\leftrightarrow }$]  \textbf{\ In\'{e}galit\'{e}s, variations.%
}

\begin{itemize}
\item  Montrer que pour tout $x>0:$ $\displaystyle f\left( x\right) =\ln
\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x}<0$

\item  Soit $u$ d\'{e}finie par : $u_{0}=4$ et $\forall n\in \Bbb{N}$, $%
u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+2}$ et $f\left( x\right) =\sqrt{x+2}.$

R\'{e}soudre $f\left( x\right) \le x$. En d\'{e}duire que la suite $u$ est
d\'{e}croissante et convergente.
\end{itemize}

\item[$\mathbf{\leftrightarrow }$]  \textbf{Continuit\'{e}}

\begin{itemize}
\item  Soit la suite $u$ d\'{e}fnie ci-dessus. D\'{e}terminer sa limite.

\item  Soit $\displaystyle
f_{k}\left( x\right) =\frac{\ln \left( x\right) ^{k}}{x-1}$ si $x\ne 1$ et $%
f_{k}\left( 1\right) =0.$ Montrer que si $k\ge 2,$ $k\in \Bbb{N}$ alors $%
f_{k}$ est continue en $1$

Qu'en est-il pour $k=1?$
\end{itemize}

\item[$\mathbf{\leftrightarrow }$]  \textbf{S\'{e}ries}

\begin{itemize}
\item  Montrer que la s\'{e}rie $\displaystyle
\sum_{k\ge 2}\ln \left( 1+\frac{1}{k}\right) $ diverge en d\'{e}veloppant le 
$\ln $

\item  D\'{e}terminer un \'{e}quivalent de $\displaystyle
\ln \left( 1+\frac{1}{x^{2}}\right) $ en $+\infty $ et en d\'{e}duire que la
s\'{e}rie $\displaystyle
\sum_{k\ge 2}\ln \left( 1+\frac{1}{k^{2}}\right) $ converge
\end{itemize}

\item[$\mathbf{\leftrightarrow }$]  \textbf{Int\'{e}grales impropres}

Etudier la convergence et calculer $\displaystyle
\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{t^{2}}\ln \left( t\right) dt$

\item[$\mathbf{\leftrightarrow }$]  \textbf{Branches infinies.}

Soit $f\left( x\right) =xe^{\frac{1}{x}}$

\begin{itemize}
\item  Etudier les variations de $f$ et ses branches infinies. Tracer sa
courbe repr\'{e}sentative.

\item  Montrer que $f$ est bijective de $\left[ 1,+\infty \right[ $ sur un
intervalle que l'on pr\'{e}cisera.

\item  Montrer que sa r\'{e}ciproque v\'{e}rifie : $f^{-1}\left( x\right)
-x\rightarrow -1$ quand $x$ $\rightarrow +\infty $
\end{itemize}

\item[$\rightarrow $]  \textbf{\ D\'{e}rivabliti\'{e}}

Soit $\displaystyle
f_{k}\left( x\right) =\frac{\ln \left( x\right) ^{k}}{x-1}$ si $x\ne 1$ et $%
f_{k}\left( 1\right) =0.$ Montrer que si $k$ est un entier $k\ge 2$ alors $%
f_{k}$ est d\'{e}rivable en $1$ et d\'{e}terminer sa d\'{e}riv\'{e}e.

\item[$\rightarrow $]  \textbf{Fonctions de r\'{e}partition de VADensit\'{e}}

Soit $F\left( x\right) =e^{x}/2$ si $x\le 0$ et $F\left( x\right)
=1-e^{-x}/2 $ si $x>0.$ Montrer que $F$ est la fonction de r\'{e}partition
d'une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e} et d\'{e}terminer la
densit\'{e} de cette variable al\'{e}atoire. Calculer son esp\'{e}rance si
elle en a une.

Soit $X$ une telle variabnle al\'{e}atoire et $Y=\left| X\right| .$ Montrer
que $Y$ est une variable \`{a} densit\'{e} et d\'{e}terminer sa densit\'{e}.
\end{description}

\end{document}
