\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,fancyhdr,lastpage}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=Latex.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, May 06, 2011 22:12:03}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}

\providecommand{\U}[1]{\protect \rule{.1in}{.1in}}
\setlength \parindent{0pt}
\setlength \voffset{-2cm}
\setlength \headheight{0cm}
\setlength \headsep{0.1cm}
\setlength \textheight{26cm}
\setlength \hoffset{-2.5cm}
\setlength \textwidth{18cm}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\lfoot{Corrig\'e EDHEC Eco 2011}
\cfoot{}
\rfoot{ Page \thepage / 8}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\pagestyle{fancy}

\input{tcilatex}

\begin{document}


\textbf{Corrig\'{e} EDHEC Eco 2011 }par Pierre Veuillez

\section*{Exercice 1}

On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$ par : $%
\displaystyle f\left( x\right) =\frac{2}{x^{2}}\int_{0}^{x}\frac{t}{e^{t}+1}%
dt$ si $x>0$ et $f\left( 0\right) =\dfrac{1}{2}$

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On construit l'in\'{e}galit\'{e} :

Pour tout $x>0$ et $0\leq t\leq x$ on a $e^{0}\leq e^{t}\leq e^{x}$ car $axp$
est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

donc $2=e^{0}+1\leq e^{t}+1\leq e^{x}+1$ et (tout est strictement positif)

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ $ et $%
\forall t\in \left[ 0;x\right] $ $\dfrac{1}{e^{x}+1}\leq \dfrac{1}{e^{t}+1}%
\leq \dfrac{1}{2}$}

\item On travaille alors sur le contenu de l'int\'{e}grale :

pour tout $x>0$ et $t\in \left[ 0;x\right] ,$ on a $t\geq0$ donc

$\dfrac{t}{e^{x}+1}\leq \dfrac{t}{e^{t}+1}\leq \dfrac{t}{2}$ et les bornes 
\'{e}tant $0\leq x$ on a donc

$\displaystyle \int_{0}^{x}\dfrac{t}{e^{x}+1}dt\leq \int_{0}^{x}\dfrac{t}{%
e^{t}+1}dt\leq \int_{0}^{x}\dfrac{t}{2}dt$ soit

$\dfrac{1}{e^{x}+1}\left[ \frac{t^{2}}{2}\right] _{0}^{x}\leq \int_{0}^{x}%
\dfrac{t}{e^{t}+1}dt\leq \dfrac{x^{2}}{2}$ et en multipliant par $\dfrac {2}{%
x^{2}}\geq0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{pour tout $x>0:\dfrac{1}{e^{x}+1}\leq f\left(
x\right) \leq \dfrac{1}{2}$}

\item et par encadrement, quand $x\rightarrow0:$ $\dfrac{1}{e^{x}+1}%
\rightarrow \dfrac{1}{2}$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$f\left( x\right) \rightarrow \dfrac{1}{2}%
=f\left( 0\right) $ quand $x\rightarrow0$ et $f$ continue en $0$}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item La fonction $h:t\rightarrow \frac{t}{e^{t}+1}$ est continue sur $%
\mathbb{R}$ donc $H:x\rightarrow \int_{0}^{x}\frac{t}{e^{t}+1}dt$ est une
primitive $C^{1}$ de $h$ sur $\mathbb{R}$ et a pour d\'{e}riv\'{e}e $%
H^{\prime}\left( x\right) =h\left( x\right) $

Donc pour $x^{2}\neq0,$ $f$ est $C^{1}$ comme produit de fonction $C^{1}$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$f$ est $C^{1}$ sur $\left] 0;+\infty \right[ $}

de plus 
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =\frac{-4}{x^{3}}H\left( x\right) +\frac {2}{%
x^{2}}h\left( x\right) \\
& =\frac{-4}{x^{3}}\left[ H\left( x\right) -\frac{1}{2}xh\left( x\right) %
\right]
\end{align*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
avec $\displaystyle g\left( x\right) =\int_{0}^{x}\frac{t}{e^{t}+1}dt-\frac{1%
}{2}\frac{x^{2}}{e^{x}+1}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ \\ 
$\displaystyle f^{\prime}\left( x\right) =\frac{-4}{x^{3}}g\left( x\right) $
pour tout $x>0$%
\end{tabular}
}

\item $g$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ et 
\begin{align*}
g^{\prime}\left( x\right) & =\frac{x}{e^{x}+1}-\frac{1}{2}\frac{2x\left(
e^{x}+1\right) -x^{2}e^{x}}{\left( e^{x}+1\right) ^{2}} \\
& =\frac{x}{2\left( e^{x}+1\right) ^{2}}\frac{2\left( e^{x}+1\right)
-2\left( e^{x}+1\right) +xe^{x}}{\left( e^{x}+1\right) ^{2}} \\
& =\frac{x^{2}e^{x}}{2\left( e^{x}+1\right) ^{2}}
\end{align*}

et on a donc 
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$x$ & $0$ &  & $+\infty$ \\ \hline
$g^{\prime}\left( x\right) $ & $0$ & $+$ &  \\ \hline
$g\left( x\right) $ & $0$ & $\nearrow+$ &  \\ \hline
$f^{\prime}\left( x\right) $ & $?$ & $-$ &  \\ \hline
$f\left( x\right) $ & $\frac{1}{2}$ & $\searrow$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular}
et par continuit\'{e} (en $0$)

\textsl{Conclusion : }\fbox{$f$ est strictement d\'{e}croissante sur $%
\mathbb{R}_{+}$}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $\displaystyle \frac{t}{e^{t}+1}-1=\frac{t-e^{t}-1}{e^{t}+1}$
pour tout $t\geq0$

$h\left( t\right) =t-e^{t}-1$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}^{+}$ et $%
h^{\prime}\left( t\right) =1-e^{t}$ donc

\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
$t$ & $0$ &  & $+\infty$ \\ \hline
$h^{\prime}\left( t\right) =1-e^{t}$ & $0$ & $\searrow-$ &  \\ \hline
$h\left( t\right) $ & $-2$ & $\searrow-$ &  \\ \hline
\end{tabular}
et $h\left( t\right) <0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\frac{t}{e^{t}+1}\leq1$ pour tout $t\geq0$}

\item Pour tout $x>0,$ les bornes en ordre croissant donc 
\begin{align*}
0 & \leq \int_{0}^{x}\frac{t}{e^{t}+1}dt\leq \int_{0}^{x}1dt\text{ et }%
\frac {2}{x^{2}}>0\text{ donc } \\
0 & \leq \frac{2}{x^{2}}\int_{0}^{x}\frac{t}{e^{t}+1}dt\leq \frac{2}{x}%
\rightarrow0\text{ }
\end{align*}

et par encadrement \textsl{Conclusion : }\fbox{$f\left( x\right) $ tend vers 
$0$ quand $x$ tend vers $+\infty$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textsl{Bilan : quelques points de contr\^{o}les. bien}

\section*{Exercice 2}

On d\'{e}signe par $E$ l'espace vectoriel des fonctions polyn\^{o}miale de
degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2 et on note $\mathcal{B}$0 la
base $\left( e_{0},e_{1}e_{2}\right) $ de $E$, o\`{u} pour tout r\'{e}el $x$%
, on a : $e_{0}\left( x\right) =1,\ e_{1}\left( x\right) =x$ et $e_{2}\left(
x\right) =x^{2}$

On consid\`{e}re l'application, not\'{e}e $f$, qui \`{a} toute fonction polyn%
\^{o}miale $P$ appartenant \`{a} $E$ associe la fonction polyn\^{o}miale $%
f\left( P\right) $ d\'{e}finie par :%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\mathbb{\quad}\left( f\left( P\right) \right) \left(
x\right) =2xP\left( x\right) -\left( x^{2}-1\right) P^{\prime }\left(
x\right) . 
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $P$ et $Q$ de $E$ et $et$ $\beta$ r\'{e}els : $\forall x\in 
\mathbb{R},$%
\begin{align*}
\left( f\left( \alpha P+\beta Q\right) \right) \left( x\right) & =2x\left(
\alpha P+\beta Q\right) \left( x\right) -\left( x^{2}-1\right) \left( \alpha
P+\beta Q\right) ^{\prime}\left( x\right) \\
& =\alpha \left( 2xP\left( x\right) -\left( x^{2}-1\right) P^{\prime }\left(
x\right) \right) +\beta \left( 2xQ\left( x\right) -\left( x^{2}-1\right)
Q^{\prime}\left( x\right) \right) \\
& =\alpha f\left( P\right) \left( x\right) +\beta f\left( P\right) \left(
x\right)
\end{align*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{ $f\left( \alpha P+\beta Q\right) =\alpha
f\left( P\right) +\beta f\left( P\right) $ et $f$ est une application lin%
\'{e}aire.}

\item Soit $P\left( x\right) =a+bx+cx^{2}$ pour tout $x$ r\'{e}els alors $%
P^{\prime}\left( x\right) =b+2cx$

\begin{align*}
f\left( P\right) \left( x\right) & =2x\left( a+bx+cx^{2}\right) -\left(
x^{2}-1\right) \left( b+2cx\right) \\
& =b+2\left( c+a\right) x+bx^{2}
\end{align*}
Donc pour tout $P$ $\in E$, $f\left( P\right) \in E$ et $f$ est une
application de $E$ dans $E$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$f\in \mathcal{L}\left( E\right) $}

\item Pour tout $x$ $\in \mathbb{R}:$

$e_{0}^{\prime}\left( x\right) =0$ donc $f\left( e_{0}\right) \left(
x\right) =2x$ donc $f\left( e_{0}\right) =2e_{1}$

$e_{1}^{\prime}\left( x\right) =1$ donc $f\left( e_{1}\right) \left(
x\right) =2x^{2}-\left( x^{2}-1\right) =1+x^{2}$ donc $f\left( e_{1}\right)
=e_{0}+e_{2}$

$e_{2}^{\prime}\left( x\right) =2x$ donc $f\left( e_{2}\right) \left(
x\right) =2x^{3}-\left( x^{2}-1\right) 2x=2x$ donc $f\left( e_{2}\right)
=2e_{1}$

On a alors les coordonn\'{e}es des images et

Donc $A=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 
2 & 0 & 2 \\ 
0 & 1 & 0%
\end{pmatrix}
$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a $\func{Vect}\left( f\right) =\func{Vect}\left( f\left(
e_{0}\right) ;f\left( e_{1}\right) ;f\left( e_{2}\right) \right) =\func{Vect}%
\left( 2e_{1};e_{0}+e_{2}\right) =\func{Vect}\left( e_{1};e_{0}+e_{2}\right) 
$

Et comme la famille $\left( e_{1};e_{0}+e_{2}\right) $ est libre (deux
vecteurs non proportionnels), elle est libre et g\'{e}n\'{e}ratrice de $%
\func{Im}\left( f\right) ,$ c'en est donc une base et

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\dim \left( \func{Im}\left( f\right) \right) =2$%
}

\item On a alors (th\'{e}or\`{e}me du rang) $\dim \left( \ker \left(
f\right) \right) =\dim \left( E\right) -\dim \left( \func{Im}\left( f\right)
\right) =1$

et comme $f\left( e_{0}-e_{2}\right) =f\left( e_{0}\right) -f\left(
e_{2}\right) =0$ alors $\left( e_{0}-e_{2}\right) $ est une famille libre ($1
$ vecteur non nul) de $1$ vecteur de $\ker \left( f\right) ,$ donc une base
de $\ker \left( f\right) $

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\limfunc{Ker}\left( f\right) =\func{Vect}\left(
e_{0}-e_{2}\right) $}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $A-\alpha I=%
\begin{pmatrix}
-\alpha & 1 & 0 \\ 
2 & -\alpha & 2 \\ 
0 & 1 & -\alpha%
\end{pmatrix}%
\begin{array}{c}
L_{1}+\frac{1}{2}L_{2}\rightarrow L_{2} \\ 
L_{1}\leftrightarrow L_{2} \\ 
L_{3}\rightarrow L_{3}%
\end{array}
$ non inversible

$\Longleftrightarrow%
\begin{pmatrix}
2 & -\alpha & 2 \\ 
0 & 1-\alpha^{2}/2 & \alpha \\ 
0 & 1 & -\alpha%
\end{pmatrix}%
\begin{array}{c}
L_{1}\rightarrow L_{1} \\ 
L_{1}-\left( 1-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) L_{3}\leftrightarrow L_{3} \\ 
L_{3}\leftrightarrow L_{2}%
\end{array}
$

$\Longleftrightarrow%
\begin{pmatrix}
2 & -\alpha & 2 \\ 
0 & 1 & -\alpha \\ 
0 & 1 & \alpha+\alpha \left( 1-\frac{\alpha^{2}}{2}\right)%
\end{pmatrix}
$

Donc $A-\alpha I$ est non inversible si et seulement si $\alpha \left(
4-\alpha^{2}\right) =0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{Donc les valeurs propres de $A$ sont 0, $2$ et $%
-2$}

\item Et comme $A,$ d'ordre 3, poss\`{e}de 3 valeurs propres distinctes,
elle donc diagonalisable.

\textsl{Conclusion : }\fbox{$f$ est diagonalisable}

La somme des dimensions des sous espaces \'{e}tant inf\'{e}rieure \`{a} 3,
ils sont chacun de dimension 1.

le sous espace associ\'{e} \`{a} 0 est $E_{0}=\limfunc{Ker}\left( f\right) =%
\func{Vect}\left( e_{0}-e_{1}\right) $

$\left( A-2I\right) \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}
\right) =0\Longleftrightarrow \left \{ 
\begin{array}{c}
-2x+y=0 \\ 
2x-2y+2z=0 \\ 
y-2z=0%
\end{array}
\right. \Longleftrightarrow \left \{ 
\begin{array}{c}
y=2x \\ 
z=x%
\end{array}
\right. $

donc le sous espace associ\'{e} \`{a} $2$ est $E_{2}=\func{Vect}\left(
e_{1}+2e_{2}+e_{3}\right) $

$\left( A+2I\right) \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}
\right) =0\Longleftrightarrow \left \{ 
\begin{array}{c}
2x+y=0 \\ 
2x+2y+2z=0 \\ 
y+2z=0%
\end{array}
\right. \Longleftrightarrow \left \{ 
\begin{array}{c}
y=-2x \\ 
z=x%
\end{array}
\right. $

donc le sous espace associ\'{e} \`{a} $-2$ est $E_{-2}=\func{Vect}\left(
e_{1}-2e_{2}+e_{3}\right) $

\item les sous-espaces propres de $f$, autres que $\limfunc{Ker}\left(
f\right) $, sont $E_{2}$ et $E_{-2}.$

Et comme $e_{1}+2e_{2}+e_{3}=\left( e_{1}+e_{3}\right) +2e_{2}\in \func{Im}%
\left( f\right) $ donc $E_{2}\subset \func{Im}\left( f\right) $

et de m\^{e}me pour $e_{1}-2e_{2}+e_{3}=\left( e_{1}+e_{3}\right) -2e_{2}$

\textsl{Conclusion : }\fbox{les sous-espaces propres de $f$, autres que $%
\limfunc{Ker}\left( f\right) $, sont inclus dans $\limfunc{Ker}\left(
f\right) $.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textsl{Bilan : application lin\'{e}aire sans pr\'{e}ciser les ensembles :
douteux. demande de la finesse}

\section*{Exercice 3}

On d\'{e}signe par $n$ un entier naturel sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.
On dispose de $n$ urnes, num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} $n$, contenant
chacune $n$ boules. On r\'{e}p\`{e}te $n$ \'{e}preuves, chacune consistant 
\`{a} choisir une urne au hasard et \`{a} en extraire une boule au hasard.
On suppose que les choix des urnes sont ind\'{e}pendants les uns des autres.

Pour tout $i$ de $\left \{ 1,2,...,n\right \} $, on note $X_{i}$ la variable
al\'{e}atoire prenant la valeur $1$ si l'urne num\'{e}rot\'{e}e $1$ contient
toujours $n$ boules au bout de ces $n$ \'{e}preuves, et qui prend la valeur $%
0$ sinon.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ et pour tout $k$, \'{e}l\'{e}ments de $\left \{
1,2,...,n\right \} $ on note $U_{i,k}$ l'\'{e}v\'{e}nement \guillemotleft\ %
l'urne num\'{e}ro $i$ est choisie \`{a} la $k^{\grave{e}me}$ \'{e}preuve%
\guillemotright .

$\left( X_{i}=1\right) $ signifie que l'urne $i$ contient encore ses $n$
boules apr\`{e}s les $n$ tirages, donc qu'elle n'a jamais \'{e}t\'{e}
choisie.

$\left( X_{i}=1\right) =\bigcap_{k=1}^{n}\overline{U_{i,k}}$ \'{e}v\'{e}%
nement ind\'{e}pendants donc 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( X_{i}=1\right) & =\prod_{k=1}^{n}\mathrm{P}\left( \overline{%
U_{i,k}}\right) \\
& =\prod_{k=1}^{n}\left( \frac{n-1}{n}\right) \text{ urnes \'{e}quiprobables}
\\
& =\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{align*}

\item $\left( X_{i}=1\right) \cap \left( X_{j}=1\right) $ signifie qu'aucune
des deux urnes $i$ et $j$ n'ont \'{e}t\'{e} choisies.

A chaque tirage, la probabilit\'{e} en est de $\dfrac{n-2}{n}$ (urnes \'{e}%
quiprobables) donc, pour tout $i\neq j$ de $\left \{ 1,2,...,n\right \} $ 
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( X_{i}=1\cap X_{j}=1\right) & =\left( \dfrac{n-2}{n}\right)
^{n} \\
& =\left( 1-\dfrac{2}{n}\right) ^{n}
\end{align*}

\item $\left( 1-\dfrac{2}{n}\right) -\left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{2}=-%
\dfrac{1}{n^{2}}$ donc $1-\dfrac{2}{n}\neq \left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{2}$
et $\left( 1-\dfrac{2}{n}\right) ^{n}\neq \left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{2n}$

et comme $\mathrm{P}\left( X_{i}=1\right) \mathrm{P}\left( X_{j}=1\right)
=\left( 1-\dfrac{1}{n}\right) ^{2n}\neq \left( 1-\dfrac{2}{n}\right) ^{n}$

Donc $\mathrm{P}\left( X_{i}=1\right) \mathrm{P}\left( X_{j}=1\right) \neq 
\mathrm{P}\left( X_{i}=1\cap X_{j}=1\right) $

\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
si $i$ et $j$ sont deux entiers naturels distincts, \\ 
$X_{i}$ et $X_{j}$ ne sont pas ind\'{e}pendantes.%
\end{tabular}
}
\end{enumerate}

\item On pose $Y_{n}=\dsum \limits_{i=1}^{n}X_{i}$

\begin{enumerate}
\item $X_{i}$ est une variable de Bernoulli donc $E\left( X_{i}\right) =%
\mathrm{P}\left( X_{i}=1\right) $ donc $E\left( Y_{n}\right) =\dsum
\limits_{i=1}^{n}E\left( X_{i}\right) $ et

\textsl{Conclusion : }\fbox{$E\left( Y_{n}\right) =n\left( 1-\frac{1}{n}%
\right) ^{n}$}

\item On a alors 
\begin{align*}
\frac{1}{n}E\left( Y_{n}\right) & =\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{n} \\
& =\exp \left[ n\ln \left( 1-\frac{1}{n}\right) \right]
\end{align*}
et comme $\ln \left( 1+x\right) \sim x$ quand $x\rightarrow0$ alors $n\ln
\left( 1-\frac{1}{n}\right) \sim-n\frac{1}{n}$ donc $n\ln \left( 1-\frac{1}{n%
}\right) \rightarrow-1$ et $\frac{1}{n}E\left( Y_{n}\right) \rightarrow
e^{-1}$

ou encore $\dfrac{E\left( Y_{n}\right) }{n/e}\rightarrow1$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$E\left( Y_{n}\right) \sim \dfrac{n}{e}$}

$Y_{n}$ compte le nombre d'urne restant intactes. Donc, en moyenne, le tiers
($e=3$) environ des urnes reste intouch\'{e}es.
\end{enumerate}

\item Pour tout $i$ de $\left \{ 1,2,...,n\right \} $, on note $N_{i}$ la
variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules manquantes dans l'urne
num\'{e}rot\'{e}e $i$ \`{a} la fin de ces $n$ \'{e}preuves.

\begin{enumerate}
\item $N_{i}$ est le nombre de fois o\`{u} l'urne $i$ a \'{e}t\'{e} choisie
en $n$ \'{e}preuves ind\'{e}pendantes, la probabilit\'{e} \`{a} chacune \'{e}%
tant de $\frac{1}{n}$ donc

\textsl{Conclusion : }\fbox{$N_{i}\hookrightarrow \mathcal{B}\left( n,\frac {%
1}{n}\right) $ donc $E\left( N_{i}\right) =n\frac{1}{n}=1$}

\item $X_{i}$ vaut $0$ si l'urne $i$ a \'{e}t\'{e} choisie au moins une fois
et $N_{i}$ vaut $0$ si elle n'a jamais \'{e}t\'{e} choisie

\textsl{Conclusion : }\fbox{$N_{i}X_{i}=0$}

\item Les variables $N_{i}$ et $X_{i}$ ne sont pas ind\'{e}pendantes, en
effet $E\left( N_{i}X_{i}\right) =0\neq E\left( N_{i}\right) E\left(
X_{i}\right) $
\end{enumerate}

\item Compl\'{e}ter le programme informatique suivant pour qu'il simule l'exp%
\'{e}rience d\'{e}crite au d\'{e}but de cet exercice et affiche les valeurs
prises par $X_{1}$ et $N_{1}$ pour une valeur de $n$ entr\'{e}e par
l'utilisateur.
\end{enumerate}

\texttt{Program edhec 2011 ;}

\texttt{Var\qquad x1, n1, n, k, tirage, hasard: integer; }

\texttt{Begin}

\texttt{Randomize ; // initialisation du g\'{e}n\'{e}rateur}

\texttt{Writeln(`donnez un entier naturel n sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a}
2') ; }

\texttt{Readln(n) ; // saisit le nombre d'exp\'{e}rience et d'urne}

\texttt{nl:=0; x1:= 1 ; // n1 est un compteur}

\texttt{For k:=1 to n do // on fait n fois }

\texttt{begin}

\qquad \texttt{hasard : = random(n) + 1 ; // choix d'un numero d'urne}

\texttt{\hspace*{1cm}If hasard = 1\qquad then\qquad}

\texttt{\hspace*{1cm}begin }

\texttt{\hspace*{2cm}xl:=0; // on a choisi au moins une fois l'urne 1}

\texttt{\hspace*{2cm}nl:=n1+1; // on compte une boule manquante de plus}

\texttt{\hspace*{1cm}end ; }

\texttt{end ;}

\texttt{Writeln(xl, nl); }

\texttt{End.}

\textsl{Bilan : bel exercice, d\'{e}compositions, interpr\'{e}tations }

\textsl{le programme aurait pu \^{e}tre plus lacunaire.}

\section*{Probl\`{e}me}

Notations et objectifs

On consid\`{e}re deux variables al\'{e}atoires $X$ et $Y$, d\'{e}finies sur
un espace probabilis\'{e} $\left( \Omega,\mathcal{A},\mathrm{P}\right) $, et
ind\'{e}pendantes.

On suppose que $X$ est une variable \`{a} densit\'{e} et on note $F_{X}$ sa
fonction de r\'{e}partition.

On suppose par ailleurs que la loi de $Y$ est donn\'{e}e par : $\mathrm{P}%
\left( Y=1\right) =\mathrm{P}\left( Y=-1\right) =\dfrac{1}{2}$

L'ind\'{e}pendance de $X$ et $Y$ se traduit par les \'{e}galit\'{e}s
suivantes, valables pour tout r\'{e}el $x$ :

\begin{equation*}
P\left( \left[ X\leq x\right] \cap \left[ Y=1\right] \right) =P\left( X\leq
x\right) P\left( Y=1\right) \text{ et }P\left( \left[ X\leq x\right] \cap %
\left[ Y=-1\right] \right) =P\left( X\leq x\right) P\left( Y=-1\right) 
\end{equation*}

On pose $Z=XY$ et on admet que $Z$ est, elle aussi, une variable al\'{e}%
atoire d\'{e}finie sur $\left( \Omega,\mathcal{A},\mathrm{P}\right) $.

On se propose d'\'{e}tablir deux r\'{e}sultats utiles pour la suite dans la
partie 1, puis d'en d\'{e}duire la loi de la variable al\'{e}atoire $Z$ en
fonction de la loi de $X$ dans les parties 2 et 3.

\subsection*{Partie 1 : expression de la fonction de r\'{e}partition de $Z$
en fonction de celle de $X$}

\begin{enumerate}
\item Si $X\hookrightarrow \mathcal{U}_{\left[ a,b\right] }$ alors une densit%
\'{e} est $f_{X}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
\frac{1}{b-a} & \text{si }x\in \left[ a,b\right] \\ 
0 & \text{sinon}%
\end{array}
\right. $

Donc sa fonction de r\'{e}partition est $F_{X}\left( x\right) =\int
_{-\infty}^{x}f\left( t\right) dt=\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x<a \\ 
\dfrac{x-a}{b-a} & \text{si }x\in \left[ a,b\right] \\ 
1 & \text{si }x>b%
\end{array}
\right. $

Et si $X\hookrightarrow \varepsilon \left( \lambda \right) $ alors $%
F_{X}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x<0 \\ 
1-e^{-\lambda x} & \text{si }x\geq0%
\end{array}
\right. $

\item $\left( \left( Y=1\right) ,\left( Y=-1\right) \right) $ est un syst%
\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements, donc, pour tout $x\in \mathbb{R}:$%
\begin{align*}
\mathrm{P}\left( Z\leq x\right) & =\mathrm{P}\left( Y=1\right) \mathrm{P}%
_{Y=1}\left( Z\leq x\right) +\mathrm{P}\left( Y=-1\right) \mathrm{P}%
_{Y=-1}\left( Z\leq x\right) \\
& =\mathrm{P}\left( Y=1\right) \mathrm{P}_{Y=1}\left( X\leq x\right) +%
\mathrm{P}\left( Y=-1\right) \mathrm{P}_{Y=-1}\left( -X\leq x\right) \\
& =\mathrm{P}\left( Y=1\right) \mathrm{P}\left( X\leq x\right) +\mathrm{P}%
\left( Y=-1\right) \mathrm{P}\left( -X\leq x\right) \text{ ind\'{e}pendance}
\\
& =\frac{1}{2}\left[ \mathrm{P}\left( X\leq x\right) +\mathrm{P}\left(
X\geq-x\right) \right] \\
& =\frac{1}{2}\left[ F_{X}\left( x\right) +1-F_{X}\left( -x\right) \right]
\end{align*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall x\in \mathbb{R},\quad F_{Z}\left(
x\right) =\frac{1}{2}\left( F_{X}\left( x\right) -F_{X}\left( -x\right)
+1\right) $}
\end{enumerate}

\textsl{Bilan : Les fonctions de r\'{e}partitions des lois usuels
doivent-elles \^{e}tre connues ?}

\subsection*{Partie 2 : \'{e}tude de deux premiers exemples}

\begin{enumerate}
\item On suppose que la loi de $X$ est la loi normale centr\'{e}e r\'{e}%
duite.

Sa fonction de r\'{e}partition est donc $F_{X}=\Phi$ avec $\Phi \left(
-x\right) =1-\Phi \left( x\right) $ pour tout $x$ r\'{e}el.

Donc $\forall x\in \mathbb{R},\quad F_{Z}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left(
\Phi \left( x\right) -\left( 1-\Phi \left( x\right) \right) +1\right) =\Phi
\left( x\right) $

\textsl{Conclusion : }\fbox{$Z$ suit \'{e}galement une loi $\mathcal{N}%
\left( 0,1\right) $}

\item On suppose que la loi de $X$ est la loi uniforme sur $\left[ 0,1\right]
$

\begin{enumerate}
\item On a $F_{X}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x<0 \\ 
x & \text{si }x\in \left[ 0,1\right] \\ 
1 & \text{si }x>1%
\end{array}
\right. $ donc $F\left( -x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x>0 \\ 
-x & \text{si }x\in \left[ -1,0\right] \\ 
1 & \text{si }x<-1%
\end{array}
\right. $

\item et $F_{Z}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( F_{X}\left( x\right)
-F_{X}\left( -x\right) +1\right) =\cdots$

\begin{itemize}
\item si $x<-1:\frac{1}{2}\left( 0-1+1\right) =0$

\item si $\left[ -1,0\right] :\frac{1}{2}\left( 0--x+1\right) =\frac {1+x}{2}
$

\item si $\left[ 0,1\right] :\frac{1}{2}\left( x-0+1\right) =\frac{x+1}{2}$

\item si $x>1:\frac{1}{2}\left( 1-0+1\right) =1$
\end{itemize}

Finalement $F_{Z}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x<-1 \\ 
\frac{x+1}{2} & \text{si }x\in \left[ -1,1\right] \\ 
1 & \text{si }x>1%
\end{array}
\right. $

et on reconna\^{\i}t a fonction de r\'{e}partition de $Z\hookrightarrow 
\mathcal{U}_{\left[ -1,1\right] }$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 3 : \'{e}tude du cas o\`{u} la loi de $X$ est la loi
exponentielle de param\`{e}tre $1$.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a $F_{X}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x<0 \\ 
1-e^{-x} & \text{si }x\geq0%
\end{array}
\right. $ et $F_{X}\left( -x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x>0 \\ 
1-e^{x} & \text{si }x\leq0%
\end{array}
\right. $ donc

$F_{Z}\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( F_{X}\left( x\right) -F_{X}\left(
-x\right) +1\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
\frac{1}{2}\left( 0-\left( 1-e^{x}\right) +1\right) =\frac{1}{2}e^{x} & 
\text{si }x<0 \\ 
\frac{1}{2}\left( 1-e^{-x}-0+1\right) =1-\frac{1}{2}e^{-x} & \text{si }x\geq0%
\end{array}
\right. $

\item La fonction de r\'{e}partition de $Z$ est continue et $C^{1}$ sur $%
\left] -\infty,0\right[ $ et $\left[ 0,+\infty \right[ $

En $0^{-}:F_{Z}\left( x\right) =\frac{1}{2}e^{x}\rightarrow \frac{1}{2}$ et $%
F_{Z}\left( 0\right) =1-\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}$ donc $F_{Z}$ continue
en $0^{-}$ et donc sur $\mathbb{R}.$

Donc $Z$ est une variable \`{a} densit\'{e}.

\textbf{N.B. }Il \'{e}tait plus simple de raisonner sur $F_{Z}\left(
x\right) =\frac{1}{2}\left( F_{X}\left( x\right) -F_{X}\left( -x\right)
+1\right) $\newline
et comme $F_{X}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $C^{1}$ sur $\mathbb{R}%
\backslash \left \{ 0,1\right \} $ comme fonction de r\'{e}partition de
variable \`{a} densit\'{e} alors $F_{Z}$ \'{e}galement.

\item une densit\'{e} de $Z$ est $F_{Z}^{\prime}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
\frac{1}{2}e^{x} & \text{si }x<0 \\ 
\frac{1}{2}e^{-x} & \text{si }x\geq0%
\end{array}
\right. =\frac{1}{2}e^{-\left \vert x\right \vert }$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On reconna\^{\i}t dans $\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx$ l'esp\'{e}rance
d'une loi $\varepsilon \left( 1\right) $ donc $\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=%
\frac{1}{1}=1$

\item Pour tout $x\in \mathbb{R},$ $-x\in \mathbb{R}$ et $f_{Z}\left(
-x\right) =\frac{1}{2}e^{-\left \vert -x\right \vert }=\frac{1}{2}e^{-\left
\vert x\right \vert }=f_{z}\left( x\right) $

Donc $f_{Z}$ est bien paire, et la fonction $x\rightarrow xf_{Z}\left(
x\right) $ est impaire.

Or $\int_{0}^{+\infty}xf_{Z}\left( x\right) dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2}%
xe^{-x}dx$ converge, donc $\int_{-\infty}^{0}xf_{Z}\left( x\right) dx$
converge et lui est oppos\'{e}e.

Finalement $\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{Z}\left( x\right) dx=0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$Z$ a une esp\'{e}rance et $E\left( Z\right) =0$}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Avec $X\hookrightarrow \exp \left( 1\right) $ on a $E\left(
X^{2}\right) =V\left( X\right) +E\left( X\right) ^{2}=2$ et $E\left(
X^{2}\right) =\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-x}dx$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-x}dx=2$}

\item Donc $\int_{0}^{+\infty}x^{2}f_{Z}\left( x\right) dx=\frac{1}{2}%
\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-x}dx=1$ et par parit\'{e} $\int_{-%
\infty}^{0}x^{2}f_{Z}\left( x\right) dx=1$

Donc $\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f_{Z}\left( x\right) dx$ converge et vaut
2

\textsl{Conclusion : }\fbox{%
\begin{tabular}[t]{l}
$Z^{2}$ a une esp\'{e}rance et $E\left( Z^{2}\right) =2$ \\ 
$Z$ a une variance et $V\left( Z\right) =E\left( Z^{2}\right) -E\left(
Z\right) ^{2}=2$%
\end{tabular}
}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a $E\left( Y\right) =-1\mathrm{P}\left( Y=-1\right) +1\mathrm{P}%
\left( Y=1\right) =0$ donc $E\left( Y\right) =0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$E\left( X\right) E\left( Y\right) =0=E\left(
Z\right) $}

On retrouve le r\'{e}sultat connu pour deux variables discr\`{e}tes ind\'{e}%
pendantes : l'esp\'{e}rance du produit est le produit des esp\'{e}rances.

\item On a $Z^{2}=X^{2}Y^{2}$ avec $Y^{2}=1$ donc $Z^{2}=X^{2}$

On a donc $E\left( Z^{2}\right) =E\left( X^{2}\right) =V\left( X\right)
+E\left( X\right) ^{2}=2$ et $V\left( Z\right) =E\left( Z^{2}\right) =2$
\end{enumerate}

\item Soit $U$ et $V$ des variables al\'{e}atoires suivant respectivement la
loi de Bernoulli de param\`{e}tre $\frac{1}{2}$ et la loi uniforme sur $%
\left[ 0,1\right[ $

\begin{enumerate}
\item On pose $Q=-\ln \left( 1-V\right) $ et on admet que $Q$ est une
variable al\'{e}atoire.

Pour tout $x$ $\in \mathbb{R}:$%
\begin{align*}
Q & \leq x\Longleftrightarrow-\ln \left( 1-V\right) \leq x \\
& \Longleftrightarrow1-V\geq e^{-x} \\
& \Longleftrightarrow V\leq1-e^{-x}
\end{align*}
Donc $F_{Q}\left( x\right) =\mathrm{P}\left( Q\leq x\right) =F_{V}\left(
1-e^{-x}\right) $

$F_{V}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $C^{1}$ sur $\mathbb{R}\backslash
\left \{ 0,1\right \} $ donc (compos\'{e}e) $F_{Q}$ est continue sur $%
\mathbb{R}$ et $C^{1}$ en $x$ tel que $1-e^{-x}\neq1$ (toujours) et $\neq0$
(sur $\mathbb{R}^{\ast})$

Donc $Q$ est une variable \`{a} densit\'{e} et une densit\'{e} de $Q$ est
donn\'{e}e par \newline
$f_{Q}\left( x\right) =F_{V}^{\prime}\left( 1-e^{-x}\right) \left(
--e^{-x}\right) =e^{-x}f_{V}\left( 1-e^{-x}\right) $

avec $1-e^{-x}<0\Longleftrightarrow x<0$ et $1-e^{-x}<1$ toujours donc

$f_{Q}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
0 & \text{si }x<0\text{ (}1-e^{-x}<0\text{) } \\ 
e^{-x} & \text{si }x\geq0\text{ (}1-e^{-x}\in \left[ 0,1\right] \text{)}%
\end{array}
\right. $

\textsl{Conclusion : }\fbox{$Q\hookrightarrow \varepsilon \left( 1\right) $}

\item On pose $R=2U-1$ et on admet que $R$ est une variable al\'{e}atoire.

$U\left( \Omega \right) =\left \{ 0,1\right \} $ donc $\left( 2U-1\right)
\left( \Omega \right) =\left \{ -1,1\right \} $ avec

$\mathrm{P}\left( R=1\right) =\mathrm{P}\left( U=1\right) =\frac{1}{2}$ et $%
\mathrm{P}\left( R=-1\right) =\mathrm{P}\left( U=0\right) =\frac{1}{2}$ (m%
\^{e}me loi que le $Y$ de la partie $1$)

\item Informatique.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

En tenant compte des r\'{e}sultats des questions 5.a) et 5.b), \'{e}crire en
Turbo Pascal une d\'{e}claration de fonction dont l'en-t\^{e}te est

\texttt{function z : real ;} pour qu'elle simule la loi de $Z$.

Il faut remettre les morceaux bout \`{a} bout :

$V\hookrightarrow \mathcal{U}_{\left[ 0,1\right[ }$ est simul\'{e}e par 
\texttt{random}

et $Q=-\ln \left( 1-V\right) $ suit $\varepsilon \left( 1\right) $ a la m%
\^{e}me loi que $X$

$U$ est simul\'{e} par \texttt{random(2)}

et $R=2U-1$ a la m\^{e}me loi que $Y$ et ind\'{e}pendant de $X$

\texttt{randomize }est ex\'{e}cut\'{e}e une seule fois dans le programme
principal.

\texttt{function z : real ;}

\texttt{var V, X, U, Y,Z;}

\texttt{begin}

\texttt{\hspace*{1cm}V:=random; X:=-ln(1-V)}$;$

\texttt{\hspace*{1cm}U:=random(2);Y:=2*U-1;}

\texttt{\hspace*{1cm}Z:=X*Y;}

\texttt{end;}

\textsl{Bilan : exercice n\'{e}cessitant de la r\'{e}flexion. Un joli PASCAL
de bon niveau de difficult\'{e}.}

\end{document}