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\begin{document}

\begin{center}
{\Huge EDHEC eco 2011}
\end{center}

\section*{Exercice 1}

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par :
$\displaystyle{f(x)=\dfrac{2}{x^{2}}\int_{0}^{x} \dfrac{t}{e^{t}+1}dt}$ si
$x>0$ et $f(0)=\dfrac{1}{2}.$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall x\in]0,+\infty\lbrack,$ $\forall t\in\left[
0,x\right]  ,$ $\dfrac{1}{e^{x}+1}\leq\dfrac{1}{e^{t}+1}\leq\dfrac{1}{2}.$

\item Etablir alors que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :
$\dfrac{1}{e^{x}+1}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{2}.$

\item En déduire que la fonction $f$ est continue (à droite) en 0.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $]0,+\infty\lbrack,$ puis
vérifier que, pour tout réel $x$ strictement positif, on peut écrire :
$f^{\prime}(x)=-\dfrac{4}{x^{3}}g(x),$ où $g$ est une fonction que l'on déterminera.

\item Etudier les variations, puis le signe de la fonction $g.$ En déduire que
$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+}.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $t$ positif, on a : $\dfrac{t}{e^{t}+1}%
\leq1.$

\item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

On désigne par $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré
inférieur ou égal à 2 et on note $\mathcal{B}$ la base $\left(  e_{0}%
,e_{1},e_{2}\right)  $ de $E,$ où pour tout réel $x,$ on a : $e_{0}\left(
x\right)  =1,$ $e_{1}\left(  x\right)  =x$ et $e_{2}\left(  x\right)  =x^{2}%
.$\newline On considère l'application, notée $f,$ qui à toute fonction
polynômiale $P$ appartenant à $E,$ associe la fonction polynômiale $f(P)$
définie par :
\[
\forall x\in\mathbb{R},\ \left(  f\left(  P\right)  \right)  \left(  x\right)
=2xP\left(  x\right)  -\left(  x^{2}-1\right)  P^{\prime}\left(  x\right)  .
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une application linéaire.

\item En écrivant, pour tout réel $x,$ $P(x)=a+bx+cx^{2},$ définir
explicitement $(f(P))(x)$ puis en déduire que $f$ est un endomorphisme de $E.
$

\item Ecrire $f(e_{0}),$ $f(e_{1})$ et $f(e_{2})$ comme des combinaisons
linéaires de $e_{0},$ $e_{1}$ et $e_{2},$ puis en déduire la matrice $A$ de
$f$ dans la base $\mathcal{B}.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\operatorname*{Im}f=\operatorname{vect}\left(  e_{1}%
,e_{0}+e_{2}\right)  $ et donner la dimension de $\operatorname{Im}f.$

\item Déterminer $\operatorname{Ker}f.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les valeurs propres
de $A.$

\item En déduire que $f$ est diagonalisable et donner les sous-espaces propres
de $f.$

\item Vérifier que les sous-espaces propres de $f,$ autres que
$\operatorname*{Ker}f,$ sont inclus dans $\operatorname{Im}f.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

On désigne par $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de $n$
urnes, numérotées de $1$ à $n,$ contenant chacune $n$ boules. On répète $n$
épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire une
urne au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns
des autres.\newline Pour tout $i$ de $\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ on note
$X_{i}$ la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'urne numérotée $i$
contient toujours $n$ boules au bout de ces $n$ épreuves, et qui prend la
valeur 0 sinon.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $i$ et tout $k,$ éléments de $\{1,2,...,n\},$ on note
$U_{i,k}$ l'événement "l'urne numéro $i$ est choisie à la $k^{\text{ème}}$
épreuve".\newline Ecrire l'événement $(X_{i}=1)$ à l'aide de certains des
événements $U_{i,k},$ puis montrer que :
\[
\forall i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  ,\ P(X_{i}=1)=\left(  1-\dfrac{1}%
{n}\right)  ^{n}.
\]


\item Justifier également que, si $i$ et $j$ sont deux entiers distincts,
éléments de $\{1,2,...,n\},$ on a :
\[
P\left(  \left[  X_{i}=1\right]  \cap\left[  X_{j}=1\right]  \right)  =\left(
1-\dfrac{2}{n}\right)  ^{n}.
\]


\item Comparer $\left(  1-\dfrac{2}{n}\right)  $ et $\left(  1-\dfrac{1}%
{n}\right)  ^{2}$ et en déduire que, si $i$ et $j$ sont deux entiers
distincts, éléments de $\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ alors les variables
$X_{i}$ et $X_{j}$ en sont pas indépendantes.
\end{enumerate}

\item On pose $\displaystyle{Y_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{i}.}$

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance de $Y_{n},$ notée $E(Y_{n}).$

\item En déduire $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{E(Y_{n})}{n}%
}$ et donner un équivalent de $E(Y_{n})$ lorsque $n$ est au voisinage de
$+\infty.$
\end{enumerate}

\item Pour tout $i$ de $\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ on note $N_{i}$ la
variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans l'urne numérotée
$i$ à la fin de ces $n$ épreuves.

\begin{enumerate}
\item Donner sans calcul la loi de $N_{i}$ ainsi que la valeur de $E(N_{i}).$

\item Que vaut le produit $N_{i}X_{i}$ ?

\item Les variables $N_{i}$ et $X_{i}$ sont-elles indépendantes ?
\end{enumerate}

\item Compléter le programme informatique suivant pour qu'il simule
l'expérience décrite au début de cet exercice et affiche les valeurs prises
par $X_{1}$ et $N_{1}$ pour une valeur de $n$ entrée par l'utilisateur.

\texttt{Program\ edhec\_2011;}

\texttt{Var\ x1,\ n1,\ n,\ k,\ tirage,\ hasard\ :\ integer;}

\texttt{Begin}

\texttt{\hspace*{1cm}Randomize;}

\texttt{\hspace*{1cm}%
Writeln('donnez\ un\ entier\ naturel\ n\ supérieur\ ou\ égal\ à\ 2');}

\texttt{\hspace*{1cm}Readln(n);}

\texttt{\hspace*{1cm}n1:=0;\ x1:=1;}

\texttt{\hspace*{1cm}For\ k:=1\ to\ n\ do}

\texttt{\hspace*{1cm}begin}

\texttt{\hspace*{2cm}hasard\ :=\ random(n)+1;}

\texttt{\hspace*{2cm}%
if\ hasard\ =\ 1\ then\ begin\ x1\ :=--------;\ n1:=\ --------;\ end;}

\texttt{\hspace*{1cm}end;}

\texttt{\hspace*{1cm}Writeln(x1,n1);}

\texttt{End.}
\end{enumerate}

\section*{Problème}

\textbf{Notations et objectifs}

On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y,$ définies sur un espace
probabilisé $\left(  \Omega,\mathcal{A},P\right)  ,$ et indépendantes.

On suppose que $X$ est une variable à densité et on note $F_{X}$ sa fonction
de répartition.

On suppose par ailleurs que la loi de $Y$ est donnée par
$P(Y=1)=P(Y=-1)=\dfrac{1}{2}.$

L'indépendance de $X$ et $Y$ se traduit par les égalités suivantes, valables
pour tout réel $x$ :
\[
P\left(  \left[  X\leq x\right]  \cap\left[  Y=1\right]  \right)  =P\left(
X\leq x\right)  P\left(  Y=1\right)  \quad\text{et }\quad P\left(  \left[
X\leq x\right]  \cap\left[  Y=-1\right]  \right)  =P\left(  X\leq x\right)
P\left(  Y=-1\right)  .
\]
On pose $Z=XY$ et on admet que $Z$ est, elle-aussi, une variable aléatoire
définie sur $(\Omega,\mathcal{A},P).$

On se propose d'établir deux résultats utiles pour la suite dans la partie 1,
puis d'en déduire la loi de la variable aléatoire $Z$ en fonction de la loi de
$X$ dans les parties 2 et 3.

\subsection*{Partie 1 : expression de la fonction de répartition de $Z$ en
fonction de celle de $X.$}

\begin{enumerate}
\item Rappeler l'expression des fonctions de répartition d'une variable
aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a,b]$ (avec $a<b$) et d'une variable
aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (avec $\lambda>
0$).

\item En utilisant le système complet d'événements $\{(Y=1),(Y=-1)\},$ montrer
que la fonction de répartition $F_{Z}$ de la variable aléatoire $Z$ est donnée
par :
\[
\forall x\in\mathbb{R},\ F_{Z}(x)=\dfrac{1}{2}\left(  F_{X}(x)-F_{X}%
(-x)+1\right)  .
\]

\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2 : étude de deux premiers exemples.}

\begin{enumerate}
\item On suppose que la loi de $X$ est la loi normale centrée réduite.\newline
Reconnaître la loi de $Z.$

\item On suppose que la loi de $X$ est la loi uniforme sur $[0,1].$

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression de $F_{X}(-x)$ selon les valeurs prises par $x.$

\item Déterminer $F_{Z}(x)$ pour tout réel $x,$ puis reconnaître la loi de
$Z.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 3 : étude du cas où la loi de $X$ est la loi exponentielle
de paramètre 1.}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction de répartition $F_{Z}$ de la variable aléatoire
$Z$ est définie par :
\[
F_{Z}(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{cl}%
1-\frac{1}{2}e^{-x} & \text{ si } x \geq0\\
\frac{1}{2}e^{x} & \text{ si } x < 0
\end{array}
\right.
\]


\item En déduire que $Z$ est une variable aléatoire à densité.

\item Etablir alors qu'une densité de $Z$ est la fonction $f_{Z}$ définie pour
tout réel $x$ par :
\[
f_{Z}(x)=\dfrac{1}{2}e^{-|x|}.
\]


\item Donner la valeur de l'intégrale $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}%
xe^{-x}dx.}$

\item Montrer que $f_{Z}$ est une fonction paire et en déduire l'existence et
la valeur de $E(Z).$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de l'intégrale $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}%
x^{2}e^{-x}dx.}$

\item En déduire l'existence et la valeur de $E(Z^{2}),$ puis donner la valeur
de la variance de $Z.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $E(X)E(Y)$ et comparer avec $E(Z).$ Quel résultat
retrouve-t-on ainsi ?

\item Exprimer $Z^{2}$ en fonction de $X,$ puis en déduire de nouveau la
variance de $Z.$
\end{enumerate}

\item Soit $U$ et $V$ des variables aléatoires suivant respectivement la loi
de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$ et la loi uniforme sur $[0,1[.$

\begin{enumerate}
\item On pose $Q=-\ln(1-V)$ et on admet que $Q$ est une variable aléatoire.
Déterminer la fonction de répartition de $Q$ et en déduire la loi suivie par
la variable aléatoire $Q.$

\item On pose $R=2U-1$ et on admet que $R$ est une variable aléatoire.
Déterminer $R(\Omega)$ et donner la loi suivie par la variable $R.$

\item Informatique.

En tenant compte des résultats des questions 5a) et 5b), écrire en
\texttt{Turbo Pascal} une déclaration de fonction dont l'entête est
\texttt{function z:real;} pour qu'elle simule la loi de $Z.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}