EDHEC eco 2011

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur ℝ + par : f ⁡ ( x ) = 2 x 2 ⁢ ∫ 0 x t e t + 1 ⁢ ⅆ t si x > 0 et f ⁡ ( 0 ) = 1 2 .

1. 1. Montrer que : ∀ x ∈ ] 0 , + ∞ [ , ∀ t ∈ [ 0 , x ] , 1 e x + 1 ≤ 1 e t + 1 ≤ 1 2 .

   2. Etablir alors que, pour tout réel x strictement positif, on a : 1 e x + 1 ≤ f ⁡ ( x ) ≤ 1 2 .

   3. En déduire que la fonction f est continue (à droite) en 0.

2. 1. Montrer que f est de classe C 1 sur ] 0 , + ∞ [ , puis vérifier que, pour tout réel x strictement positif, on peut écrire : f ′ ⁡ ( x ) = − 4 x 3 ⁢ g ⁡ ( x ) , où g est une fonction que l'on déterminera.

   2. Etudier les variations, puis le signe de la fonction g . En déduire que f est décroissante sur ℝ + .

3. 1. Montrer que, pour tout réel t positif, on a : t e t + 1 ≤ 1.

   2. En déduire la limite de f ⁡ ( x ) lorsque x tend vers + ∞ .

Exercice 2

On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré inférieur ou égal à 2 et on note ℬ la base ( e 0 , e 1 , e 2 ) de E , où pour tout réel x , on a : e 0 ⁡ ( x ) = 1 , e 1 ⁡ ( x ) = x et e 2 ⁡ ( x ) = x 2 .
On considère l'application, notée f , qui à toute fonction polynômiale P appartenant à E , associe la fonction polynômiale f ⁡ ( P ) définie par : ∀ x ∈ ℝ , ( f ⁡ ( P ) ) ⁢ ( x ) = 2 ⁢ x ⁢ P ⁡ ( x ) − ( x 2 − 1 ) ⁢ P ′ ⁡ ( x ) .

1. 1. Montrer que f est une application linéaire.

   2. En écrivant, pour tout réel x , P ⁡ ( x ) = a + b ⁢ x + c ⁢ x 2 , définir explicitement ( f ⁡ ( P ) ) ⁢ ( x ) puis en déduire que f est un endomorphisme de E .

   3. Ecrire f ⁡ ( e 0 ) , f ⁡ ( e 1 ) et f ⁡ ( e 2 ) comme des combinaisons linéaires de e 0 , e 1 et e 2 , puis en déduire la matrice A de f dans la base ℬ .

2. 1. Vérifier que Im f = vect ⁡ ( e 1 , e 0 + e 2 ) et donner la dimension de Im f .

   2. Déterminer Ker f .

3. 1. A l'aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les valeurs propres de A .

   2. En déduire que f est diagonalisable et donner les sous-espaces propres de f .

   3. Vérifier que les sous-espaces propres de f , autres que Ker f , sont inclus dans Im f .

Exercice 3

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de n urnes, numérotées de 1 à n , contenant chacune n boules. On répète n épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire une urne au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres.
Pour tout i de { 1 , 2 , … , n } , on note X i la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'urne numérotée i contient toujours n boules au bout de ces n épreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.

1. 1. Pour tout i et tout k , éléments de { 1 , 2 , … , n } , on note U i , k l'événement "l'urne numéro i est choisie à la k ème épreuve".
      Ecrire l'événement ( X i = 1 ) à l'aide de certains des événements U i , k , puis montrer que : ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , n } , P ⁣ ( X i = 1 ) = ( 1 − 1 n ) n .

   2. Justifier également que, si i et j sont deux entiers distincts, éléments de { 1 , 2 , … , n } , on a : P ⁡ ( [ X i = 1 ] ∩ [ X j = 1 ] ) = ( 1 − 2 n ) n .

   3. Comparer ( 1 − 2 n ) et ( 1 − 1 n ) 2 et en déduire que, si i et j sont deux entiers distincts, éléments de { 1 , 2 , … , n } , alors les variables X i et X j en sont pas indépendantes.

2. On pose Y n = ∑ k = 1 n X i .

   1. Déterminer l'espérance de Y n , notée E ⁡ ( Y n ) .

   2. En déduire lim n → + ∞ E ⁡ ( Y n ) n et donner un équivalent de E ⁡ ( Y n ) lorsque n est au voisinage de + ∞ .

3. Pour tout i de { 1 , 2 , … , n } , on note N i la variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans l'urne numérotée i à la fin de ces n épreuves.

   1. Donner sans calcul la loi de N i ainsi que la valeur de E ⁡ ( N i ) .

   2. Que vaut le produit N i ⁢ X i ?

   3. Les variables N i et X i sont-elles indépendantes ?

4. Compléter le programme informatique suivant pour qu'il simule l'expérience décrite au début de cet exercice et affiche les valeurs prises par X 1 et N 1 pour une valeur de n entrée par l'utilisateur.

   Program edhec_2011;

   Var x1, n1, n, k, tirage, hasard : integer;

   Begin

   Randomize;

   Writeln('donnez un entier naturel n supérieur ou égal à 2');

   Readln(n);

   n1:=0; x1:=1;

   For k:=1 to n do

   begin

   hasard := random(n)+1;

   if hasard = 1 then begin x1 :=--------; n1:= --------; end;

   end;

   Writeln(x1,n1);

   End.

Problème

Notations et objectifs

On considère deux variables aléatoires X et Y , définies sur un espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) , et indépendantes.

On suppose que X est une variable à densité et on note F X sa fonction de répartition.

On suppose par ailleurs que la loi de Y est donnée par P ⁣ ( Y = 1 ) = P ⁣ ( Y = − 1 ) = 1 2 .

L'indépendance de X et Y se traduit par les égalités suivantes, valables pour tout réel x : P ⁡ ( [ X ≤ x ] ∩ [ Y = 1 ] ) = P ⁣ ( X ≤ x ) P ⁣ ( Y = 1 )   et    P ⁡ ( [ X ≤ x ] ∩ [ Y = − 1 ] ) = P ⁣ ( X ≤ x ) P ⁣ ( Y = − 1 ) . On pose Z = X ⁢ Y et on admet que Z est, elle-aussi, une variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒜 , P ) .

On se propose d'établir deux résultats utiles pour la suite dans la partie 1, puis d'en déduire la loi de la variable aléatoire Z en fonction de la loi de X dans les parties 2 et 3.

Partie 1 : expression de la fonction de répartition de Z en fonction de celle de X .

1. Rappeler l'expression des fonctions de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [ a , b ] (avec a < b ) et d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0 ).

2. En utilisant le système complet d'événements { ( Y = 1 ) , ( Y = − 1 ) } , montrer que la fonction de répartition F Z de la variable aléatoire Z est donnée par : ∀ x ∈ ℝ , F Z ⁡ ( x ) = 1 2 ⁢ ( F X ⁡ ( x ) − F X ⁡ ( − x ) + 1 ) .

Partie 2 : étude de deux premiers exemples.

1. On suppose que la loi de X est la loi normale centrée réduite.
   Reconnaître la loi de Z .

2. On suppose que la loi de X est la loi uniforme sur [ 0 , 1 ] .

   1. Déterminer l'expression de F X ⁡ ( − x ) selon les valeurs prises par x .

   2. Déterminer F Z ⁡ ( x ) pour tout réel x , puis reconnaître la loi de Z .

Partie 3 : étude du cas où la loi de X est la loi exponentielle de paramètre 1.

1. 1. Montrer que la fonction de répartition F Z de la variable aléatoire Z est définie par : F Z ⁡ ( x ) = { 1 − 1 2 ⁢ e − x  si  x ≥ 0 1 2 ⁢ e x  si  x < 0

   2. En déduire que Z est une variable aléatoire à densité.

   3. Etablir alors qu'une densité de Z est la fonction f Z définie pour tout réel x par : f Z ⁡ ( x ) = 1 2 ⁢ e − | x | .

   4. Donner la valeur de l'intégrale ∫ 0 + ∞ x ⁢ e − x ⁢ ⅆ x .

   5. Montrer que f Z est une fonction paire et en déduire l'existence et la valeur de E ⁡ ( Z ) .

2. 1. Donner la valeur de l'intégrale ∫ 0 + ∞ x 2 ⁢ e − x ⁢ ⅆ x .

   2. En déduire l'existence et la valeur de E ⁡ ( Z 2 ) , puis donner la valeur de la variance de Z .

3. 1. Déterminer E ⁡ ( X ) ⁢ E ⁡ ( Y ) et comparer avec E ⁡ ( Z ) . Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?

   2. Exprimer Z 2 en fonction de X , puis en déduire de nouveau la variance de Z .

4. Soit U et V des variables aléatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de paramètre 1 2 et la loi uniforme sur [ 0 , 1 [ .

   1. On pose Q = − ln ⁡ ( 1 − V ) et on admet que Q est une variable aléatoire. Déterminer la fonction de répartition de Q et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire Q .

   2. On pose R = 2 ⁢ U − 1 et on admet que R est une variable aléatoire. Déterminer R ⁡ ( Ω ) et donner la loi suivie par la variable R .

   3. Informatique.

      En tenant compte des résultats des questions 5a) et 5b), écrire en Turbo Pascal une déclaration de fonction dont l'entête est function z:real; pour qu'elle simule la loi de Z .