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\lfoot{EML Eco 2011}
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\rfoot{ Page \thepage / 3}
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\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\begin{center}
{\Huge EML Eco 2011}
\end{center}
\section*{Exercice 1}
On consid\`{e}re l'application
\[
f:\left] 0;+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f\left(
x\right) =\left( x+\ln x\right) e^{x-1}.
\]
\subsection*{Partie I : \'{E}tude et repr\'{e}sentation graphique de $f$}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\left] 0;+\infty \right[ $. On
note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e.
Pour tout $x\in \left] 0;+\infty \right[ ,$ calculer $f^{\prime}\left(
x\right) .$
\item \'{E}tablir :%
\[
\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\quad \ln x+\frac{1}{x}>0
\]
\item En d\'{e}duire :%
\[
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0.
\]
\item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$, comprenant la limite de $f$ en
$0$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
Calculer $f\left( 1\right) $ et $f^{\prime}\left( 1\right) .$
\item Pr\'{e}ciser la nature des branches infinies de la courbe
repr\'{e}sentative $C$ de $f$ dans un rep\`{e}re du plan.
\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point d'abscisse
$1.$
\end{enumerate}
Il n'est demand\'{e} ni l'\'{e}tude de la convexit\'{e}, ni la recherche
d'\'{e}ventuels points d'inflexion.
\subsection*{Partie II : \'{E}tude d'une suite r\'{e}currente associ\'{e}e
\`{a} $f.$}
On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0}=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right) .$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n}$ existe et $u_{n}\geq2$.
\item \'{E}tablir, par r\'{e}currence :\qquad$\forall n\in \mathbb{N},\quad
u_{n}\geq e^{n}$.
Quelle est la limite de $u_{n}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini ?
\item \'{E}crire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III : \'{E}tude d'extremums locaux pour une fonction de
deux variables associ\'{e}e \`{a} $f$}
On consid\`{e}re l'application
\[
F:\left] 0;+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto F\left(
x\right) =\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est de classe $C^{2}$ sur $\left] 0;+\infty \right[ $
et exprimer $F^{\prime}\left( x\right) $, pour tout $x\in \left]
0;+\infty \right[ $, \`{a} l'aide de $f\left( x\right) $.
\hspace{-1cm}On consid\`{e}re l'application de classe $C^{2}$%
\[
G:\left] 0;+\infty \right[ ^{2}\rightarrow \mathbb{R},\quad \left( x,y\right)
\longmapsto G\left( x,y\right) =F\left( x\right) +F\left( y\right)
-2e^{\tfrac{x+y}{2}}.
\]
\item Exprimer les d\'{e}riv\'{e}es partielles premi\`{e}res $G_{x}^{\prime
}\left( x,y\right) $ et $G_{y}^{\prime}\left( x,y\right) ,$ pour tout
$\left( x,y\right) \in \left] 0;+\infty \right[ ^{2}$ \`{a} l'aide de
$f\left( x\right) $, $f\left( y\right) $ et $e^{\tfrac{x+y}{2}}.$
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est bijective.
\item \'{E}tablir que, pour tout $\left( x,y\right) \in \left]
0;+\infty \right[ ^{2},\ \left( x,y\right) $ est un point critique de $G$ si
et seulement~si~:
\[
x=y\quad \text{et\quad}x+\ln x=e.
\]
\end{enumerate}
\item Montrer que l'\'{e}quation $x+\ln x=e$, d'inconnue $x\in \left]
0;+\infty \right[ $ admet une solution et une seule, que l'on notera $\alpha$,
et montrer que : $1<\alpha