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\begin{document}

\begin{center}
{\Huge EML Eco 2011}
\end{center}

\section*{Exercice 1}

On consid\`{e}re l'application
\[
f:\left]  0;+\infty \right[  \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f\left(
x\right)  =\left(  x+\ln x\right)  e^{x-1}.
\]


\subsection*{Partie I : \'{E}tude et repr\'{e}sentation graphique de $f$}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\left]  0;+\infty \right[  $. On
note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e.

Pour tout $x\in \left]  0;+\infty \right[  ,$ calculer $f^{\prime}\left(
x\right)  .$

\item \'{E}tablir :%
\[
\forall x\in \left]  0,+\infty \right[  ,\quad \ln x+\frac{1}{x}>0
\]


\item En d\'{e}duire :%
\[
\forall x\in \left]  0;+\infty \right[  ,\quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0.
\]


\item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$, comprenant la limite de $f$ en
$0$ et la limite de $f$ en $+\infty$.

Calculer $f\left(  1\right)  $ et $f^{\prime}\left(  1\right)  .$

\item Pr\'{e}ciser la nature des branches infinies de la courbe
repr\'{e}sentative $C$ de $f$ dans un rep\`{e}re du plan.

\item Tracer l'allure de $C$. On pr\'{e}cisera la tangente au point d'abscisse
$1.$
\end{enumerate}

Il n'est demand\'{e} ni l'\'{e}tude de la convexit\'{e}, ni la recherche
d'\'{e}ventuels points d'inflexion.

\subsection*{Partie II : \'{E}tude d'une suite r\'{e}currente associ\'{e}e
\`{a} $f.$}

On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left(  u_{n}\right)  _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0}=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n}$ existe et $u_{n}\geq2$.

\item \'{E}tablir, par r\'{e}currence :\qquad$\forall n\in \mathbb{N},\quad
u_{n}\geq e^{n}$.

Quelle est la limite de $u_{n}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini ?

\item \'{E}crire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$
\end{enumerate}

\subsection*{Partie III : \'{E}tude d'extremums locaux pour une fonction de
deux variables associ\'{e}e \`{a} $f$}

On consid\`{e}re l'application
\[
F:\left]  0;+\infty \right[  \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto F\left(
x\right)  =\int_{1}^{x}f\left(  t\right)  dt.
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est de classe $C^{2}$ sur $\left]  0;+\infty \right[  $
et exprimer $F^{\prime}\left(  x\right)  $, pour tout $x\in \left]
0;+\infty \right[  $, \`{a} l'aide de $f\left(  x\right)  $.

\hspace{-1cm}On consid\`{e}re l'application de classe $C^{2}$%
\[
G:\left]  0;+\infty \right[  ^{2}\rightarrow \mathbb{R},\quad \left(  x,y\right)
\longmapsto G\left(  x,y\right)  =F\left(  x\right)  +F\left(  y\right)
-2e^{\tfrac{x+y}{2}}.
\]


\item Exprimer les d\'{e}riv\'{e}es partielles premi\`{e}res $G_{x}^{\prime
}\left(  x,y\right)  $ et $G_{y}^{\prime}\left(  x,y\right)  ,$ pour tout
$\left(  x,y\right)  \in \left]  0;+\infty \right[  ^{2}$ \`{a} l'aide de
$f\left(  x\right)  $, $f\left(  y\right)  $ et $e^{\tfrac{x+y}{2}}.$

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est bijective.

\item \'{E}tablir que, pour tout $\left(  x,y\right)  \in \left]
0;+\infty \right[  ^{2},\  \left(  x,y\right)  $ est un point critique de $G$ si
et seulement~si~:
\[
x=y\quad \text{et\quad}x+\ln x=e.
\]

\end{enumerate}

\item Montrer que l'\'{e}quation $x+\ln x=e$, d'inconnue $x\in \left]
0;+\infty \right[  $ admet une solution et une seule, que l'on notera $\alpha$,
et montrer que : $1<\alpha<e.$

\item Montrer que $G$ admet un extremum local. Pr\'{e}ciser sa nature.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

On consid\`{e}re les matrices carr\'{e}es d'ordre 3 suivantes :%
\[
I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
,\quad A=%
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
.
\]


\subsection*{Partie I : D\'{e}termination d'une racine carr\'{e}e de $A$}

\begin{enumerate}
\item Sans calcul, justifier que $A$ est diagonalisable et non inversible.
D\'{e}terminer le rang de $A$.

\item Montrer que $0$, $1$ et $4$ sont les trois valeurs propres de $A$ et
d\'{e}terminer les sous-espaces propres associ\'{e}s.

\item En d\'{e}duire une matrice diagonale $D$ de $\mathcal{M}_{3}\left(
\mathbb{R}\right)  $ dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre
croissant, et une matrice inversible $P$ de $\mathcal{M}_{3}\left(
\mathbb{R}\right)  $, dont les coefficients de la premi\`{e}re ligne sont tous
\'{e}gaux \`{a} $1$, telles que : $A=PDP^{-1}.$

\item Calculer $P^{-1}$.

\item Montrer qu'il existe une matrice diagonale $\Delta$ de $\mathcal{M}%
_{3}\left(  \mathbb{R}\right)  $, dont les coefficients diagonaux sont dans
l'ordre croissant, telle que $\Delta^{2}=D$, et d\'{e}terminer $\Delta$.

\item On note $R=P\Delta P^{-1}$. Montrer $R^{2}=A$ et calculer $R$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : \'{E}tude d'endomorphismes}

On munit $\mathbb{R}^{3}$ de sa base canonique $\mathcal{B=}\left(
e_{1},e_{2},e_{3}\right)  $ et on consid\`{e}re les endomorphismes $f$ et $g$
de $\mathbb{R}^{3}$ dont les matrices dans $\mathcal{B}$ sont respectivement
$A$ et $R$.

On note $\mathcal{C=}\left(  u_{1},u_{2},u_{3}\right)  $ la base de
$\mathbb{R}^{3}$ telle que $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$
\`{a} $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les matrices de $f$ et $g$ dans la base $\mathcal{C}$.

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer une base et la dimension de $\ker \left(  f\right)  $.

\item D\'{e}terminer une base et la dimension de $\operatorname{Im}\left(
f\right)  $.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer une base et la dimension de $\ker \left(  g\right)  .$

\item D\'{e}terminer une base et la dimension de $\operatorname{Im}\left(
g\right)  $.
\end{enumerate}

\item Trouver au moins un automorphisme $h$ de $\mathbb{R}^{3}$ tel que
$g=f\circ h$.

On d\'{e}terminera $h$ par sa matrice $H$ dans la base $\mathcal{C}$, puis on
exprimera la matrice de $h$ dans la base $\mathcal{B}$ \`{a} l'aide de $H$ et
de $P$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

Les deux parties sont ind\'{e}pendantes.

Soit $p\in \left]  0;1\right[  .$ On note $q=1-p.$

\subsection*{Partie I : Diff\'{e}rence de deux variables al\'{e}atoires.}

Soit $n$ un entier naturel non nul. On consid\`{e}re $n$ joueurs qui visent
une cible. Chaque joueur effectue deux tirs. \`{A} chaque tir, chaque joueur a
la probabilit\'{e} $p$ d'atteindre la cible. Les tirs sont ind\'{e}pendants
les uns des autres.

On d\'{e}finit la variable al\'{e}atoire $X$ \'{e}gale au nombre de joueurs
ayant atteint la cible au premier tir et la variable al\'{e}atoire $Z$
\'{e}gale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois \`{a}
l'issue des deux tirs.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de $X$. Rappeler son esp\'{e}rance et sa variance.

\item Montrer que $Z$ suit une loi binomiale. Donner son esp\'{e}rance et sa variance.

\hspace{-1cm}On note $Y=Z-X$.

\item Que repr\'{e}sente la variable al\'{e}atoire $Y$ ? D\'{e}terminer la loi
de $Y$.

\item
\begin{enumerate}
\item Les variables al\'{e}atoires $X$ et $Y$ sont-elles ind\'{e}pendantes ?

\item Calculer la covariance du couple $\left(  X,Y\right)  $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : Variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}
conditionn\'{e}e par une variable al\'{e}atoire discr\`{e}te}

Dans cette partie, on note $U$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi
g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $p.$

\begin{enumerate}
\item Rappeler la loi de $U$, son esp\'{e}rance et sa variance.

\hspace{-1cm}On consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire $T$ telle que :
\qquad$\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\quad \forall t\in \left[  0;+\infty
\right[  ,\quad \mathrm{P}_{\left(  U=n\right)  }\left(  T>t\right)  =e^{-nt}.$

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer : $\forall t\in \left[  0;+\infty \right[  ,\quad \mathrm{P}\left(
T>t\right)  =\dfrac{p~e^{-t}}{1-q~e^{-t}}.$

\item D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition de la variable
al\'{e}atoire $T$.

\item En d\'{e}duire que $T$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}
et en d\'{e}terminer une densit\'{e}.
\end{enumerate}

\item On note $Z=UT.$

\begin{enumerate}
\item Montrer : $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\quad \forall z\in \left[
0;+\infty \right[  ,\quad \mathrm{P}_{\left(  U=n\right)  }\left(  Z>z\right)
=e^{-z}.$

\item En d\'{e}duire que la variable al\'{e}atoire $Z$ suit une loi
exponentielle dont on pr\'{e}cisera le param\`{e}tre.

\item Montrer : $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\quad \forall z\in \left[
0;+\infty \right[  ,\quad \mathrm{P}\left(  U=n~,~Z>z\right)  =\mathrm{P}\left(
U=n\right)  \mathrm{P}\left(  Z>z\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}