EML Eco 2011

Exercice 1

On considère l'application f : ] 0 ; + ∞ [ → ℝ ,   x ⟼ f ⁡ ( x ) = ( x + ln ⁡ x ) ⁢ e x − 1 .

Partie I : Étude et représentation graphique de f

1. Montrer que f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ . On note f ′ sa fonction dérivée.

   Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , calculer f ′ ⁡ ( x ) .

2. Établir : ∀ x ∈ ] 0 , + ∞ [ ,   ln ⁡ x + 1 x > 0

3. En déduire : ∀ x ∈ ] 0 ; + ∞ [ ,   x + ln ⁡ x + 1 + 1 x > 0.

4. En déduire le sens de variation de f .

5. Dresser le tableau de variation de f , comprenant la limite de f en 0 et la limite de f en + ∞ .

   Calculer f ⁡ ( 1 ) et f ′ ⁡ ( 1 ) .

6. Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative C de f dans un repère du plan.

7. Tracer l'allure de C . On précisera la tangente au point d'abscisse 1.

Il n'est demandé ni l'étude de la convexité, ni la recherche d'éventuels points d'inflexion.

Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à f .

On considère la suite réelle ( u n ) n ∈ ℕ définie par u 0 = 2 et, pour tout n ∈ ℕ , u n + 1 = f ⁡ ( u n ) .

1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ , u n existe et u n ≥ 2 .

2. Établir, par récurrence : ∀ n ∈ ℕ ,   u n ≥ e n .

   Quelle est la limite de u n lorsque l'entier n tend vers l'infini ?

3. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que u n ≥ 10 20 .

Partie III : Étude d'extremums locaux pour une fonction de deux variables associée à f

On considère l'application F : ] 0 ; + ∞ [ → ℝ ,   x ⟼ F ⁡ ( x ) = ∫ 1 x f ⁡ ( t ) ⁢ ⅆ t .

1. Montrer que F est de classe C 2 sur ] 0 ; + ∞ [ et exprimer F ′ ⁡ ( x ) , pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , à l'aide de f ⁡ ( x ) .

   On considère l'application de classe C 2 G : ] 0 ; + ∞ [ 2 → ℝ ,   ( x , y ) ⟼ G ⁡ ( x , y ) = F ⁡ ( x ) + F ⁡ ( y ) − 2 ⁢ e x + y 2 .

2. Exprimer les dérivées partielles premières G x ′ ⁡ ( x , y ) et G y ′ ⁡ ( x , y ) , pour tout ( x , y ) ∈ ] 0 ; + ∞ [ 2 à l'aide de f ⁡ ( x ) , f ⁡ ( y ) et e x + y 2 .

3. 1. Montrer que f est bijective.

   2. Établir que, pour tout ( x , y ) ∈ ] 0 ; + ∞ [ 2 , ( x , y ) est un point critique de G si et seulement si : x = y   et  x + ln ⁡ x = e .

4. Montrer que l'équation x + ln ⁡ x = e , d'inconnue x ∈ ] 0 ; + ∞ [ admet une solution et une seule, que l'on notera α , et montrer que : 1 < α < e .

5. Montrer que G admet un extremum local. Préciser sa nature.

Exercice 2

On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes : I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ,   A = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ) .

Partie I : Détermination d'une racine carrée de A

1. Sans calcul, justifier que A est diagonalisable et non inversible. Déterminer le rang de A .

2. Montrer que 0 , 1 et 4 sont les trois valeurs propres de A et déterminer les sous-espaces propres associés.

3. En déduire une matrice diagonale D de ℳ 3 ⁡ ( ℝ ) dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible P de ℳ 3 ⁡ ( ℝ ) , dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 , telles que : A = P ⁢ D ⁢ P − 1 .

4. Calculer P − 1 .

5. Montrer qu'il existe une matrice diagonale Δ de ℳ 3 ⁡ ( ℝ ) , dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, telle que Δ 2 = D , et déterminer Δ .

6. On note R = P ⁢ Δ P − 1 . Montrer R 2 = A et calculer R .

Partie II : Étude d'endomorphismes

On munit ℝ 3 de sa base canonique ℬ = ( e 1 , e 2 , e 3 ) et on considère les endomorphismes f et g de ℝ 3 dont les matrices dans ℬ sont respectivement A et R .

On note 𝒞 = ( u 1 , u 2 , u 3 ) la base de ℝ 3 telle que P est la matrice de passage de ℬ à 𝒞 .

1. Déterminer les matrices de f et g dans la base 𝒞 .

2. 1. Déterminer une base et la dimension de ker ⁡ ( f ) .

   2. Déterminer une base et la dimension de Im ⁡ ( f ) .

3. 1. Déterminer une base et la dimension de ker ⁡ ( g ) .

   2. Déterminer une base et la dimension de Im ⁡ ( g ) .

4. Trouver au moins un automorphisme h de ℝ 3 tel que g = f ∘ h .

   On déterminera h par sa matrice H dans la base 𝒞 , puis on exprimera la matrice de h dans la base ℬ à l'aide de H et de P .

Exercice 3

Les deux parties sont indépendantes.

Soit p ∈ ] 0 ; 1 [ . On note q = 1 − p .

Partie I : Différence de deux variables aléatoires.

Soit n un entier naturel non nul. On considère n joueurs qui visent une cible. Chaque joueur effectue deux tirs. À chaque tir, chaque joueur a la probabilité p d'atteindre la cible. Les tirs sont indépendants les uns des autres.

On définit la variable aléatoire X égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premier tir et la variable aléatoire Z égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois à l'issue des deux tirs.

1. Déterminer la loi de X . Rappeler son espérance et sa variance.

2. Montrer que Z suit une loi binomiale. Donner son espérance et sa variance.

   On note Y = Z − X .

3. Que représente la variable aléatoire Y ? Déterminer la loi de Y .

4. 1. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

   2. Calculer la covariance du couple ( X , Y ) .

Partie II : Variable aléatoire à densité conditionnée par une variable aléatoire discrète

Dans cette partie, on note U une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p .

1. Rappeler la loi de U , son espérance et sa variance.

   On considère une variable aléatoire T telle que : ∀ n ∈ ℕ * ,   ∀ t ∈ [ 0 ; + ∞ [ ,   P ( U = n ) ⁣ ( T > t ) = e − n ⁢ t .

2. 1. Montrer : ∀ t ∈ [ 0 ; + ∞ [ ,   P ⁣ ( T > t ) = p ⁢ e − t 1 − q ⁢ e − t .

   2. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire T .

   3. En déduire que T est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité.

3. On note Z = U ⁢ T .

   1. Montrer : ∀ n ∈ ℕ * ,   ∀ z ∈ [ 0 ; + ∞ [ ,   P ( U = n ) ⁣ ( Z > z ) = e − z .

   2. En déduire que la variable aléatoire Z suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

   3. Montrer : ∀ n ∈ ℕ * ,   ∀ z ∈ [ 0 ; + ∞ [ ,   P ⁣ ( U = n , Z > z ) = P ⁣ ( U = n ) P ⁣ ( Z > z ) .