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Fonction de deux variables (ECRICOME 2006)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par : . f ( x ) = x + 1 + 2 e x

ainsi que la fonction g des deux variables réelles x et y définie par : g ( x , y ) = e x ( x + y 2 + e x )

  1. Etudier les variations de f et donner les limites de f ( x ) lorsque x tend vers + et . réponse

  2. Justifier l'existence d'une asymptote méthode

    oblique au voisinage de et donner la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote. réponse

  3. Déduire des variations de f l'existence d'un unique

    réel α , élément de l'intervalle [ 2 , 1 ] tel que f ( α ) = 0 . ( on rappelle que e 2 , 7 ) réponse

  4. Déterminer le seul point critique de de g , c'est-à-dire le seul couple de 2 , en lequel g est susceptible de présenter un extremum. réponse

    Le seul point critique de g est ( α , 0 )

  5. Vérifier que g présente un extremum relatif β en ce point. réponse

    Est-ce un maximum ou un minimum ? réponse

  6. Montrer que l'on a : 4 β + α 2 1 = 0 Idées réponse