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Suite par IAF (ESC 2006)

On considère la fonction g définie sur par g ( x ) = e x x .

Pour chaque entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on considère l'équation notée ( E n ) : g ( x ) = n , d'inconnue le réel x ..

    1. Dresser le tableau des variations de g réponse

      Méthode réponse
      x 0 +
      g ( x ) 0 +
      g ( x ) + 1 +

      en précisant les limites aux bornes.

      En + : réponse
    2. Montrer que l'équation ( E n ) admet

      exactement deux solutions , l'une strictement négative notée α n et l'autre strictement positive notée β n .

      réponse
      ( E n ) admet exactement deux solutions : α n < 0 et β n > 0

  1. Dans cette question on note ( u k ) k la suite ainsi définie :

    { u 0 = 1 Pour tout entier naturel  k , u k + 1 = e u k 2

    1. On rappelle que α 2 est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsque n = 2

      Calculer g ( 1 ) et g ( 2 ) puis montrer que 2 α 2 1 .

      méthode réponse
      2 α 2 1

    2. Justifier que e α 2 2 = α 2 .

      En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturel k : α 2 u k 1.

      méthode réponse
      pour tout entier naturel k : α 2 < u k < 1

    3. En utilisant l'inégalité des accroissements finis avec une fonction adéquate

      montrer que pour tous réels a et b tels que a b 1 , 0 e b e a 1 e ( b a ) .

      méthode réponse
      pour tous réels a et b tels que a b 1 , 0 < e b e a < 1 e ( b a ) .

    4. Montrer que pour tout entier naturel k , u k + 1 α 2 = e u k e α 2

      méthode réponse

      En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturel k : 0 u k α 2 ( 1 e ) k . N.B.

      méthode réponse on a 0 u k + 1 α 2 1 e ( u k α 2 ) ( 1 e ) k + 1
      donc par récurrence,
      Conclusion :
      pour tout entier naturel k : 0 u k α 2 ( 1 e ) k .

    5. Montrer que la suite ( u k ) k est convergente et de limite α 2 .

      méthode réponse
      lim k + u k = α 2

    6. On considère le programme Turbo-Pascal suivant: ( où trunc désigne la fonction partie entière)

      program ex2 ;
      var N , k : integer ; epsilon , u : real ;
      begin
      writeln ( ' Donnez un reel strictement positif');
      readln (epsilon );
      N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u := -1 ;
      .........;
      end.

      Montrer que l'entier naturel N calculé dans ce programme vérifie : ( 1 e ) N epsilon

      méthode réponse
      N vérifie : ( 1 e ) N epsilon

      Compléter la partie pointillée de ce programme afin que la variable u contienne après son exécution une valeur approchée de α 2 à epsilon près.

      méthode réponse méthode réponse