pour revenir à ce menu

Suite récurrente EML 1995

Soit f : [ 0 ; + [ x x ln ( 1 + x ) .

On considère la suite ( u n ) n définie par u 0 ] 0 ; + [ et, pour tout n de , u n + 1 = f ( u n ) . Remarque :

Les deux méthodes classiques pour l'étude et la convergence de ce type de suite sont :

    1. Montrer que f est de classe C 2

      sur [ 0 ; + [ et calculer, pour tout x de [ 0 ; + [ , f ( x ) et f ( x ) . Réponse

    2. Étudier les variations de f , puis celles de f . Réponse

    3. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Remarque

      On doit reporter l'ensemble des propriétés étudiées et préciser le comportement aux bornes :

      • tangentes

      • branches infinies.

      . Réponse

  1. Résoudre l'équation f ( x ) = x , d'inconnue x [ 0 ; + [ . Méthode

    On ne demande pas l'existence (bijection sur g ( x ) = f ( x ) x ) mais la résolution.

    Réponse

  2. On suppose dans cette question : u 0 ] e 1 ; + [ .

    1. Montrer que, pour tout n de : e 1 < u n u n + 1 . Méthode

      La démonstration se fait

      • Par récurrence en utilisant le sens de variation de f sur I , et en précisant si nécessaire dans l'hypothèse de récurrence que les termes manipulés appartienent à I .
        Le problème est dans l'initialisation de la récurrence.

      • En montrant par récurrence que u n > e 1 comme ci-dessus,
        puis en utilisant f ( x ) x si x e (donné par le signe de f ( x ) x ) d'où f ( u n ) u n

      Réponse

    2. En déduire que u n tend vers + lorsque n tend vers + . Méthode

      Pour ce type de suite, le raisonnement classique est par l'absurde, en montrant que la suite n'est pas majorée (par une constante) et croissante

      Réponse

  3. On suppose, dans cette question : u 0 ] 0 ; e 1 [ . Étudier la convergence de ( u n ) n . Méthode

    Pour savoir quoi démontrer, (croissante et majorée ou décroissante et minorée) onpeut conjecturer à partir de la représentation graphique

    Réponse