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\begin{document}


\section*{Suite r\'{e}currente\protect \bigskip }

Soit $f:%
\begin{array}[t]{rcl}
\lbrack 0;+\infty \lbrack & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ 
x & \longmapsto & x\ln \,(1+x)%
\end{array}%
.$

On consid\`{e}re la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ d\'{e}finie par $%
u_{0}\in ]0;+\infty \lbrack $ et, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $%
u_{n+1}=f(u_{n}).$

Remarque :

DRP$\smallskip $

Les deux m\'{e}thodes classiques pour l'\'{e}tude et la convergence de ce
type de suite sont :

\begin{itemize}
\item In\'{e}galit\'{e} des accroissements finis d'o\`{u} $\left \vert
u_{n}-\ell \right \vert \leq k^{n}$ : on fait majorer $\left \vert f^{\prime
}\right \vert $

\item Croissante et major\'{e}e puis $f\left( \ell \right) =\ell $ (par
continuit\'{e} de $f)$
\end{itemize}

FRP

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de classe $C^{2}$ DRP$\smallskip $ \newline
signifie que $f$ est deux fois d\'{e}rivable et que $f^{\prime \prime }$ est
continue.\newline
On le d\'{e}montre par th\'{e}or\`{e}me FRP sur $[0;+\infty \lbrack $ et
calculer, pour tout $x$ de $[0;+\infty \lbrack $, $f^{\prime }(x)$ et $%
f^{\prime \prime }(x)$.

R\'{e}ponse 

DRP$\smallskip $

$f$ est $C^{2}$ sur $[0;+\infty \lbrack $ car $1+x>0,$ comme compos\'{e}e et
produit de fonctions $C^{2}.$

\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right)  &=&\ln \left( 1+x\right) +\frac{x}{1+x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right)  &=&\frac{1}{1+x}+\frac{1+x-x}{\left(
1+x\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2+x}{\left( 1+x\right) ^{2}}>0
\end{eqnarray*}

FRP

\item \'{E}tudier les variations de $f^{\prime }$, puis celles de $f$.

R\'{e}ponse 

DRP$\smallskip $ 

On a donc 
\begin{tabular}{|l|lll|}
\hline
$x$ & $0$ &  & $+\infty $ \\ \hline
$f^{\prime ^{\prime }}\left( x\right) $ &  & $+$ &  \\ \hline
$f^{\prime }\left( x\right) $ & $0$ & $\nearrow +$ &  \\ \hline
$f\left( x\right) $ & $0$ & $\nearrow $ & $+\infty $ \\ \hline
\end{tabular}%
\'{E}tudier les variations de $f^{\prime }$, puis celles de $f$. 

FRP

\item Tracer la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm%
\'{e}. Remarque

DRP$\smallskip $ 

On doit reporter l'ensemble des propri\'{e}t\'{e}s \'{e}tudi\'{e}es et pr%
\'{e}ciser le comportement quax bornes :

\begin{itemize}
\item tangentes

\item branches infinies.
\end{itemize}

.FRP

R\'{e}ponse

DRP$\smallskip $ 

Comme $f^{\prime }\left( 0\right) =0$, $\mathcal{C}_{f}$ a une tangente
horizontale \`{a} l'origine.

En $+\infty $ : M\'{e}thode

DRP$\smallskip $

Pour \'{e}tudier la branche inifinie on d\'{e}termine successivement :

\begin{itemize}
\item La direction asymptotique par la limite de $f\left( x\right) /x$

\begin{itemize}
\item $f\left( x\right) /x\rightarrow a$ on a une direction asymptotique d'%
\'{e}quation $y=ax$

\item $f\left( x\right) /x\rightarrow 0$ on a une branche parabolique
verticale.
\end{itemize}

\item L'asymptote ou la branche paraolique oblique par \ la limite de $%
f\left( x\right) -ax:$

\begin{itemize}
\item $f\left( x\right) -ax\rightarrow b$ : asymptote d'\'{e}quation $y=ax+b$

\item $f\left( x\right) -ax\rightarrow \infty $ : branche parabolique de
direction $y=ax$ (parabole inclin\'{e}e dans cette direction)
\end{itemize}
\end{itemize}

FRP 

$f\left( x\right) /x=\ln \left( 1+x\right) \rightarrow +\infty $ et $%
\mathcal{C}_{f}$ a une branche parabolique verticale. \FRAME{dtbpFX}{4.4996in%
}{3in}{0pt}{}{}{Plot}{\special{language "Scientific Word";type
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'JUR0JJ00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}

FRP
\end{enumerate}

\item R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f(x)=x$, d'inconnue $x\in \lbrack
0;+\infty \lbrack .$ M\'{e}thode

DRP$\smallskip $

On ne demande pas l'existence (bijection DRP$\smallskip $\newline
dire que $f$ est bijective de $I$ dans $j$ signifie que pour tout $y$ 
\textbf{fx\'{e}} de $J,$ l'quation $f\left( x\right) =y$ a une unique
solution.\newline
Cela ne peut donc pas s'appliqu\'{e} \`{a} l'\'{e}quation $f\left( x\right)
=x$FRP sur $g\left( x\right) =f\left( x\right) -x$ ) mais la r\'{e}solution.

FRP 

R\'{e}ponse 

DRP$\smallskip $

$f\left( x\right) -x=x\left( \ln \left( 1+x\right) -1\right)
=0\Longleftrightarrow x=0$ ou $\ln \left( 1+x\right) -1=0$

$\ln \left( 1+x\right) =1\Longleftrightarrow 1+x=e\Longleftrightarrow x=e-1>0
$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$f\left( x\right) =x\Longleftrightarrow x=0$ ou $%
x=e-1$}

FRP

\item On suppose dans cette question : $u_{0}\in \left] e-1;+\infty \right[
. $

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}:e-1<u_{n}\leq u_{n+1}$. M%
\'{e}thode

DRP$\smallskip $ 

La d\'{e}monstration se fait

\begin{itemize}
\item Par r\'{e}currence\ en utilisant le sens de variation de $f$ sur $I$,
et en pr\'{e}cisant si n\'{e}cessaire dans l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
que les termes manipul\'{e}s appartienent \`{a} $I.$\newline
Le probl\`{e}me est dans l'initialisation de la r\'{e}currence.

\item En montrant par r\'{e}currence que $u_{n}>e-1$ comme ci-dessus, 
\newline
puis en utilisant $f\left( x\right) \geq x$ si $x\geq e$ (donn\'{e} par le
signe de $f\left( x\right) -x$ ) d'o\`{u} $f\left( u_{n}\right) \geq u_{n}$
\end{itemize}

FRP 

R\'{e}ponse

DRP$\smallskip $ 

Par r\'{e}currence :

Pour $n=0:u_{0}>e-1$ donc $u_{1}=f\left( u_{0}\right) >f\left( e-1\right)
=e-1$

Pour comparer $u_{0}$ et $u_{1},$ au choix

\begin{itemize}
\item on \'{e}tudie $f\left( x\right) -x=x\left( \ln \left( 1+x\right)
-1\right) >0$ si $x>e-1$ donc $f\left( u_{0}\right) -u_{0}>0$ et $u_{1}>u_{0}
$

\item on bidouille : $u_{0}\geq e-1$ donc $u_{0}+1\geq e$ \ et $\ln \left(
u_{0}+1\right) \geq 1$ et comme $u_{0}\geq 0$ alors $u_{0}\ln \left(
u_{0}+1\right) \geq u_{0}$ soit $u_{1}\geq u_{0}$
\end{itemize}

Donc $e-1<u_{0}\leq u_{1}$

Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $e-1<u_{n}\leq u_{n+1}$ alors $f\left(
e-1\right) <f\left( u_{n}\right) \leq f\left( u_{n+1}\right) $ car $f$ est
strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+}$ et qu'ils en sont tous \'{e}l%
\'{e}ments (par hypoth\`{e}se de r\'{e}currence)

et $e-1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}$

\textsl{Conclusion : }\fbox{pour tout $n$ de $\mathbb{N}:e-1<u_{n}\leq
u_{n+1}$.}

FRP

\item En d\'{e}duire que $u_{n}$ tend vers $+\infty $ lorsque $n$ tend vers $%
+\infty $. M\'{e}thode

DRP$\smallskip $ 

Pour ce type de suite, le raisonnement classique est par l'absurde, en
montrant que la suite n'est pas major\'{e}e (par une constante) et
croissante 

FRP

R\'{e}ponse\ 

DRP$\smallskip $ La suite $u$ est donc croissante.

\textbf{Si }elle est major\'{e}e alors elle a une limite finie $\ell \geq
u_{0}$ (car $u_{n}\geq u_{0}$ )\newline
Alors $f$ est continue en $\ell $ et $f\left( \ell \right) =\ell $ donc $%
\ell =0$ ou $\ell =e-1.$ ce qui est impossible \ car $\ell \geq u_{0}.$%
\newline
\textbf{Donc }$u$ n'est pas major\'{e}e et croissante

\textsl{Conclusion : }\fbox{$u_{n}$ tend vers $+\infty $ lorsque $n$ tend
vers $+\infty $}

FRP
\end{enumerate}

\item On suppose, dans cette question : $u_{0}\in \left] 0;e{-1}\right[ .$ 
\'{E}tudier la convergence de $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$. M\'{e}thode

DRP$\smallskip $

Pour savoir quoi d\'{e}montrer, (croissante et major\'{e}e ou d\'{e}%
croissante et minor\'{e}e) onpeut conjecturer \`{a} partir de la repr\'{e}%
sentation graphique

FRP

R\'{e}ponse

DRP$\smallskip $

Pour $x\in \left[ 0,e-1\right] $ on a on a $\ln \left( x+1\right) -1<0$ donc 
$f\left( x\right) \leq x.$

On montre alors que pour tout entier $n:u_{n}\in \left[ 0,e-1\right] $

DRP$\smallskip $ se traduit par $0\leq u_{n}\leq e-1$ beaucoup plus facile 
\`{a} manipuler ! FRP

C'est vrai pour $n=0.$

Soit $n$ $\in \mathbb{N}$ tel que $0\leq u_{n}\leq e-1$ alors $f\left(
0\right) \leq f\left( u_{n}\right) \leq f\left( e-1\right) $

Donc pour tout entier $n:0\leq u_{n}\leq e-1$ et donc $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right) <u_{n}.$

La suite est donc d\'{e}croissante et minor\'{e}e par $0$ donc convergente
vers une limite $\ell \geq 0.$

$f$ est donc continue en $\ell $ et $f\left( \ell \right) =\ell $ d'o\`{u} $%
\ell =0$ ou $\ell =e-1.$\newline
Mais comme $u_{n}\leq u_{0}$ (suite d\'{e}croissante) alors $\ell \leq
u_{0}<e-1$ donc $\ell \neq e-1$\newline
\textsl{Conclusion : }\fbox{$u_{n}$ tend vers $0$ quand $n\rightarrow
+\infty $}

FRP
\end{enumerate}

\end{document}
