Pour
x
∈
[
0
,
e
−
1
]
on a on a
ln
⁡
(
x
+
1
)
−
1
<
0
donc
f
⁡
(
x
)
≤
x
.
On montre alors que pour tout entier
n
:
u
n
∈
[
0
,
e
−
1
]
se traduit par
0
≤
u
n
≤
e
−
1
beaucoup plus facile à manipuler !
C'est vrai pour
n
=
0.
Soit
n
∈
ℕ
tel que
0
≤
u
n
≤
e
−
1
alors
f
⁡
(
0
)
≤
f
⁡
(
u
n
)
≤
f
⁡
(
e
−
1
)
Donc pour tout entier
n
:
0
≤
u
n
≤
e
−
1
et donc
u
n
+
1
=
f
⁡
(
u
n
)
<
u
n
.
La suite est donc décroissante et minorée par
0
donc convergente vers une limite
ℓ
≥
0.
f
est donc continue en
ℓ
. On a donc
f
⁡
(
ℓ
)
=
ℓ
d'où
ℓ
=
0
ou
ℓ
=
e
−
1.
Mais
comme
u
n
≤
u
0
(suite décroissante) alors
ℓ
≤
u
0
<
e
−
1
donc
ℓ
≠
e
−
1
Conclusion
:
u
n
tend vers
0
quand
n
→
+
∞