%2multibyte Version: 5.50.0.2890 CodePage: 65001

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,fancyhdr,lastpage}
\usepackage[francais]{babel}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
%TCIDATA{Codepage=65001}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{Created=Tuesday, June 03, 2008 15:57:49}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, June 03, 2008 23:08:19}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="APierre\Blanc">}
%TCIDATA{Language=French}
%TCIDATA{ComputeDefs=
%$P_{X_{i}=0}$
%}


\setlength \parindent{0pt}
\setlength \voffset{-2cm}
\setlength \headheight{0cm}
\setlength \headsep{0.1cm}
\setlength \textheight{26cm}
\setlength \hoffset{-2.5cm}
\setlength \textwidth{18cm}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\lfoot{\jobname}
\cfoot{}
\rfoot{ Page \thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\pagestyle{fancy}
\input{tcilatex}
\begin{document}


{\Huge Oral HEC 2007}

\rule{15cm}{0.1cm}

Question de cours : D\'{e}finition d'un estimateur; d\'{e}finitions du biais
et du risque quadratique d'un estimateur.

On consid\`{e}re $n$ ($n>2$) variables al\'{e}atoires r\'{e}elles ind\'{e}%
pendantes $X_{1}$, ... , $X_{n}$ de m\^{e}me loi de densit\'{e} 
\begin{equation*}
f_{0}\left( x\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
\dfrac{3x^{2}}{\theta ^{3}} & \text{si }x\in \left[ 0,\theta \right] \\ 
0 & \text{sinon}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
o\`{u} $\theta $ est un param\`{e}tre strictement positif. On pose%
\begin{equation*}
S=X_{1}+\cdots +X_{n}\text{\quad et\quad }T=\max \left( X_{1},\cdots
,X_{n}\right)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Calculer $E\left( S\right) $ et $V\left( S\right) .$

\item Calculer $\mathrm{P}\left( T\leq t\right) $. En d\'{e}duire une densit%
\'{e} de $T$ puis $E\left( T\right) $ et $V\left( T\right) $.

\item On suppose maintenant que $\theta $ est un param\`{e}tre inconnu qu'on
se propose d'estimer.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe des constantes r\'{e}elles $a$ et $b$ telles que $%
S^{\prime }=aS$ et $T^{\prime }=bT$ soient des estimateurs sans biais de $%
\theta $ \ Calculer $V\left( S^{\prime }\right) $ et $V\left( T^{\prime
}\right) $

\item Entre les deux estimateurs de $S^{\prime }$ et $T^{\prime }$ lequel
doit-on pr\'{e}f\'{e}rer?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. On note pour
tout endomorphisme $u$ de $E$ et pour tout $\in \mathbb{N}^{\ast },$ $u^{0}=%
\mathrm{Id}_{E}$ et 
\begin{equation*}
u^{r}=\underset{r\text{ termes}}{\underbrace{u\circ \cdots \circ u}}
\end{equation*}

On commence par consid\'{e}rer un endomorphisme non nul de $E$ tel que pour
tout $x\in E$ il existe $r\left( x\right) \in \mathbb{N}^{\ast }$ tel que $%
u^{r\left( x\right) }=0$

\begin{enumerate}
\item Donner deux conditions suffisantes de diagonalisabilit\'{e} d'une
matrice r\'{e}elle (en toute g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}).

\item Montrer qu'il existe $r\in \mathbb{N}^{\ast }$ tel que $u^{r}$ soit
l'application nulle et que $u^{r-1}$ ne soit pas l'application nulle.

\item D\'{e}terminer les valeurs propres de l'endomorphisme $u$; est-il
diagonalisable ?

\item On pose :%
\begin{equation*}
v=\sum_{k=0}^{r-1}\frac{u^{k}}{k!}
\end{equation*}%
Montrer que $v$ est un isomorphisme de $E$ sur $E$. Exprimer l'inverse de $v$
en fonction de $u$

\item Donner une relation simple entre $\ker \left( u\right) $ et $\ker
\left( v-\mathrm{Id}\right) $

\item D\'{e}terminer les valeurs propres de $v$.
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

On consid\`{e}re un type de composants \'{e}lectroniques, dont la dur\'{e}e
de vie $X$, exprim\'{e}e en heures, est une variable al\'{e}atoire de densit%
\'{e} $f$ telle que :%
\begin{equation*}
f\left( t\right) =\left \{ 
\begin{array}{cc}
\dfrac{c}{t^{2}} & \text{si }t\geq 10 \\ 
0 & \text{sinon}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Rappeler les qualit\'{e}s d'une densit\'{e} de probabilit\'{e}: en d%
\'{e}duire la valeur du r\'{e}el $c$

\item D\'{e}terminer les r\'{e}els $m$ pour lesquels $\mathrm{P}\left( X\leq
m\right) =\mathrm{P}\left( X>m\right) .$

\item Quelle est la probabilit\'{e} que. sur un lot de $5$ composants du
type pr\'{e}c\'{e}dent, $3$ au moins fonctionnent durant au moins $15$
heures ? \newline
Deux machines $A$ et $B$ sont \'{e}quip\'{e}es de composants du type pr\'{e}c%
\'{e}dent. Plus pr\'{e}cis\'{e}ment.

\begin{itemize}
\item $A$ contient deux composants et cesse de fonctionner d\`{e}s que l'un
de ces composants est d\'{e}fectueux,

\item $B$ contient \'{e}galement deux composants mais un seul de ces
composants suffit \`{a} la faire fonctionner
\end{itemize}

On note $T_{A}$, $T_{B}$ les dur\'{e}es de fonctionnement de ces machines.

\item D\'{e}terminer une densit\'{e} pour chacune des variables $T_{A}$ et $%
T_{B}$.

\item Pour chacune des variables $T_{A}$ et $T_{B}$ indiquer si elle poss%
\`{e}de une esp\'{e}rance. et le cas \'{e}ch\'{e}ant, la calculer.
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

\textbf{Question de cours.} Rappeler la formule des probabilit\'{e}s totales.

On lance deux pi\`{e}ces truqu\'{e}es : La pi\`{e}ce 1 donne pile avec une
probabilit\'{e} $p_{1}$ et la pi\`{e}ce 2 donne pile avec une probabilit\'{e}%
, $p_{2}$.

On effectue les lancers de la fa\c{c}on suivante : on choisit une pi\`{e}ce
uniform\'{e}ment au hasard et on lance la pi\`{e}ce choisie. Si on obtient
pile, on relance la m\^{e}me pi\`{e}ce et ainsi de suite jusqu'a ce que l'on
obtienne face; \`{a} ce moment on change de pi\`{e}ce - plus g\'{e}n\'{e}%
ralement, d\`{e}s que l'on obtient face, on change de pi\`{e}ce. On suppose
que $p_{1}$ et $p_{2}$ sont dans $\left] 0,1\right[ $

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'{e} de lancer la pi\`{e}ce 1 au $n$-i\`{e}me
lancer?

\item Quelle est la probabilit\'{e}, not\'{e}e $r_{n}$, d'obtenir pile au $n$%
-i\`{e}me lancer?

\item Calculer 
\begin{equation*}
L=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}
\end{equation*}

\item Dans cette question on suppose $p_{1}=1/3$ et $p_{2}=1/6$.\newline
\'{E}crire en langage Pascal l'expression d'une fonction permettant de
calculer la valeur d'un rang $n_{0}$ \`{a} partir duquel :%
\begin{equation*}
\left \vert r_{n}-L\right \vert \leq 10^{-6}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

Soient $n$ et $N$ des entiers non nuls.

Une urne contient $n$ jetons num\'{e}rot\'{e}s de 1 \`{a} $n$. On effectue $%
N $ tirages avec remise dans cette urne.

\begin{enumerate}
\item Soit $F_{i}$ 1a, variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de fois o%
\`{u} le jeton $i$ a \'{e}t\'{e} tir\'{e}. D\'{e}terminer la loi de $F_{i}$.

On pose : 
\begin{equation*}
F=\sum_{i=1}^{n}F_{i}
\end{equation*}%
D\'{e}terminer la loi de $F_{i}$, son esp\'{e}rance et sa variance.

Les variables al\'{e}atoires $F_{i}$ sont-elles deux \`{a} deux ind\'{e}%
pendantes ?

\item Pour tout $i\in \left[ \left[ 1,n\right] \right] $ on note $X_{i}$ la
variable al\'{e}atoire \'{e}gale \`{a} $0$ si le num\'{e}ro $i$ n'a pas \'{e}%
t\'{e} tir\'{e} et \'{e}gale a 1 s'il \'{e}t\'{e} tir\'{e} au moins une fois.

D\'{e}terminer la loi de $X_{i}$, son esp\'{e}rance et sa variance.

Pour tout $\left( i,j\right) \in \left[ \left[ 0,1\right] \right] ^{2}$, d%
\'{e}terminer la probabilit\'{e} 
\begin{equation*}
\mathrm{P}_{X_{i}=0}\left( X_{j}=0\right) 
\end{equation*}%
Les variables $X_{i}$, et $X_{j}$ sont-elles ind\'{e}pendantes ?
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

Soit $\alpha >0,$ $x_{0}>0$ et $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{%
R}$ d\'{e}finie par :%
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{\alpha }{x_{0}}\left( \frac{x_{0}}{x}\right)
^{\alpha +1}\text{ si }x\geq x_{0}\text{\quad et\quad \ }f\left( x\right) =0%
\text{ sinon}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner la d\'{e}finition d'une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}
et v\'{e}rifier que la fonction $f$ est bien la densit\'{e} de probabilit%
\'{e} d'une. variable al\'{e}atoire r\'{e}elle $X$.\newline
D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition de $X$ et donner une allure de
son graphe.\newline
On dit, que $X$ suit la loi de Pareto de param\`{e}tres $x_{0}$ et $\alpha $.

\item Pour quelles valeurs de $\alpha $ 1a variable $X$ admet-elle une esp%
\'{e}rance et une variance ? Calculer l'esp\'{e}rance de $X$ lorsqu'elle
existe.

\item On suppose $\alpha >1$ et on pose, pour tout $x>x_{0}$%
\begin{equation*}
M_{X}\left( x\right) =\frac{\int_{x}^{+\infty }tf\left( t\right) dt}{%
\int_{x}^{+\infty }f\left( t\right) dt}
\end{equation*}%
Calculer $M_{X}\left( x\right) $
\end{enumerate}

\item On se propose d'\'{e}tablir une r\'{e}ciproque de la propri\'{e}t\'{e}
pr\'{e}c\'{e}dente. Soit $x_{0}>0$ et $Y$ une variable al\'{e}atoire \`{a}
valeurs dans $\left[ x_{0},+\infty \right[ $ de densit\'{e} $h$ continue, 
\`{a} valeurs strictement positives, admettant une esp\'{e}rance et telle
qu'il existe un r\'{e}el $k>1$ v\'{e}rifiant : 
\begin{equation*}
\forall x>x_{0},\quad M_{Y}\left( x\right) =\frac{\int_{x}^{+\infty
}th\left( t\right) dt}{\int_{x}^{+\infty }h\left( t\right) dt}=kx
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout $x>x_{0}$%
\begin{equation*}
G\left( x\right) =\int_{x}^{+\infty }h\left( t\right) dt
\end{equation*}%
Montrer que 
\begin{equation*}
G\left( x\right) =\frac{1-k}{k}xG^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}

\item En calculant, pour tout $x>x_{0}$, la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $%
x\rightarrow x^{\frac{k}{k-1}}G\left( x\right) $, d\'{e}terminer la valeur
de $G\left( x\right) $, puis la fonction de r\'{e}partition de $Y$.\newline
Quelle loi retrouve-t-on ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'{e}atoires binomiales de param\`{e}tres 
$\left( n,1/2\right) $ ind\'{e}pendantes. Calculer $\mathrm{P}\left(
X=Y\right) .$

\rule{15cm}{0.1cm}

Un agriculteur souhaite am\'{e}liorer le rendement de son exploitation en
utilisant de l'engrais. Une \'{e}tude a montr\'{e} que le rendement, en
tonnes par hectare, pour la vari\'{e}t\'{e} de bl\'{e} cultiv\'{e}e est donn%
\'{e} par%
\begin{equation*}
f\left( B,N\right) =120B-8B^{2}+4BN-2N^{2}
\end{equation*}%
$B$ d\'{e}signe la, quantit\'{e} de semences de bl\'{e} utilis\'{e}e, $N$ la
quantit\'{e} d'engrais utilis\'{e}e.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les extrema de la fonction $f$ ; donner leur nature.

\item Si on suppose de plus qu'une contrainte de budget impose $B+2N=23$ d%
\'{e}terminer l'optimum de rendement
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

\begin{enumerate}
\item Donner s'il en existe un exemple de trois vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$
tels que deux quelconques d'entre eux soient lin\'{e}airement ind\'{e}%
pendants. \newline
Existe-t-il un endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$ dont ces trois vecteurs
soient vecteurs propres ?

\item Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ et $\mathcal{F}$ une
famille de $n+1$ vecteurs propres de $f$ s'il en existe.

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{F}$ peut-elle \^{e}tre une famille libre ?

\item On suppose que toute sous-famille de $n$ vecteurs de $\mathcal{F}$ est
libre. \newline
D\'{e}montrer que les $n+1$ valeurs propres associ\'{e}es respectivement aux 
$n+1$ vecteurs de $\mathcal{F}$ sont \'{e}gales.\newline
Que peut-on en conclure pour $f$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}\newline
Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes de $\mathbb{R}^{2}$ dont les matrices
respectives dans la base canonique $\left( e_{1},e_{2}\right) $ de $\mathbb{R%
}^{2}$ sont not\'{e}es.$A$ et $B$. On suppose que $AB=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 0%
\end{pmatrix}%
$ et $BA=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0%
\end{pmatrix}%
$

\begin{enumerate}
\item $v$ peut-il \^{e}tre bijectif ? D\'{e}terminer $\func{Im}\left(
v\right) $

\item D\'{e}terminer $\ker \left( u\right) $

\item Donner la forme des matrices $A$ et $B$.
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

\begin{enumerate}
\item Rappeler la d\'{e}finition d'une famille g\'{e}n\'{e}ratrice et d'une
famille libre.

\hspace{-1cm}Dans l'espace vectoriel $C^{O}\left( \mathbb{R}\right) $ des
fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, on consid\`{e}re les
trois fonctions $f_{1}:x\rightarrow 1\quad f_{2}:x\rightarrow x\quad $et$%
\quad f_{0}:x\rightarrow \left \{ 
\begin{array}{cc}
x\ln \left \vert x\right \vert & \text{si }x\neq 0 \\ 
0 & \text{si }x=0%
\end{array}%
\right. $

\hspace{-1cm}Soit $E$ le sous-espace vectoriel de $C^{0}\left( \mathbb{R}%
\right) $ engendr\'{e} par $\left( f_{1},f_{2},f_{3}\right) $

\item Prouver que la famille $\left( f_{1},f_{2},f_{3}\right) $ est une base
de $E$.

\item A. toute fonction $f$ de $E$ on associe la fonction $\Phi \left(
f\right) $ d\'{e}finie par $\Phi \left( f\right) =\left( xf\right) ^{\prime
},$ d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $x\rightarrow x~f\left( x\right) $\newline
Montrer que l'on d\'{e}finit ainsi un endomorphisme de $E$ dont on donnera
la matrice $M$ dans la base $\left( f_{1},f_{2},f_{3}\right) $

\begin{enumerate}
\item Montrer que $M$ est une matrice inversible et d\'{e}terminer son
inverse (\'{e}viter le plus possible les calculs).

\item R\'{e}soudre dans $E$ l'\'{e}quation :%
\begin{equation*}
\Phi \left( f\right) =a+bx+x\ln \left \vert x\right \vert
\end{equation*}%
D\'{e}terminer en particulier une primitive de $g:x\rightarrow x\ln \left
\vert x\right \vert $ sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice sans pr\'{e}paration}

Soit $X$ et $Y$ deux variables al\'{e}atoires binomiales de param\`{e}tres $%
\left( n,1/2\right) $ Calculer $\mathrm{P}\left( X=Y\right) $

\rule{15cm}{0.1cm}- Exercice

\textbf{Question de cours :} D\'{e}finition d'une loi uniforme sur
l'intervalle $\left[ a,b\right] $ ($a<b$ )\newline
Donner une densit\'{e},, la fonction de r\'{e}partition d'une telle loi.

Soit $X$ une variable al\'{e}atoire suivant une loi uniforme sur $\left[ 0,1%
\right] $. On pose $Y=\min \left( X,1-X\right) $ et $Z=\left( X,1-X\right) $

\begin{enumerate}
\item Expliciter la fonction de r\'{e}partition de $Y$. En d\'{e}duire une
densit\'{e} , puis $E\left( Y\right) $ si elle existe

\item Expliciter la fonction de r\'{e}partition de $Z$. En d\'{e}duire une
densit\'{e}, puis $E\left( Z\right) $ si elle existe. 

\item M\^{e}mes questions pour $R=Y/Z$

\item Ecrire un programme en Pascal permettant d'obtenir une simulation des
lois de $X,$ $Y$ et $Z$
\end{enumerate}

\textbf{Exercice sans pr\'{e}paration}

On consid\`{e}re l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^{4}$ dont la matrice
dans la base canonique de $\mathbb{R}^{4}$ est la matrice 
\begin{equation*}
M=%
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1 \\ 
-1 & -1 & 1 & -1 \\ 
-1 & 1 & -1 & -1 \\ 
1 & -1 & -1 & -1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est diagonalisable

\item On admet que les valeurs propres de $A$ sont $2$ et $-2.$

Calculer $M^{n}$ pour tout $n$ entier naturel.
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

\textbf{Question de cours} : \'{e}noncer la formule des probabilit\'{e}s
totales et la formule de Bayes.\newline
Une coccinelle se d\'{e}place sur un t\'{e}tra\`{e}dre r\'{e}gulier PQRS
(une pyramide) en longeant les ar\^{e}tes. Elle est plac\'{e}e \`{a}
l'instant $n=0$ sur le sommet $P$. On suppose que, si. elle se, trouve sur
un sommet \`{a} l'instant $n$, elle sera sur l'un des trois autres sommets 
\`{a} l'instant  $n+1$ de, fa\c{c}on \'{e}quiprobable.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$ on note $p_{n}$ (respectivement $q_{n},\ r_{n}$%
et $s_{n}$) la probabilit\'{e} que la coccinelle se trouve sur le sommet $P$
(respectivement $Q$, $R$ et $S$) \`{a} l'instant $n$.

\begin{enumerate}
\item On d\'{e}finit la matrice colonne $X_{n}$ par 
\begin{equation*}
X_{n}=\left( 
\begin{array}{c}
p_{n} \\ 
q_{n} \\ 
r_{n} \\ 
s_{n}%
\end{array}%
\right) 
\end{equation*}%
\newline
D\'{e}terminer une matrice, carr\'{e}e $A\in \mathcal{M}_{4}\left( \mathbb{R}%
\right) $, ind\'{e}pendante de $n$, telle que $X_{n+1}=AX_{n}$ pour tout $%
n\in \mathbb{N}^{\ast }$

\item Montrer que cette matrice est diagonalisable.

\item Calculer $A^{n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ ; donner une
expression de $p_{n},$ $q_{n},$ $r_{n}$ et $s_{n}$ en fonction de $n$.

\item On note $T$ le temps n\'{e}cessaire \`{a} la coccinelle pour visiter
au moins 3 sommets distincts du t\'{e}tra\`{e}dre. D\'{e}terminer la loi de $%
T$. Calculer son esp\'{e}rance.

\item On note $U$ le temps n\'{e}cessaire \`{a} la coccinelle pour visiter
tous les sommets du t\'{e}tra\`{e}dre. Montrer que pour tout entier $\ell $
sup\'{e}rieur on \'{e}gal \`{a} 3%
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( U=\ell \right) =\frac{2^{\ell -1}-2}{3^{\ell -1}}
\end{equation*}

\item D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance de $U$ si elle existe.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice sans pr\'{e}paration} 

Un agriculteur souhaite am\'{e}liorer le rendement de son exploitation en
utilisant de l'engrais. Une \'{e}tude a montr\'{e} que le rendement, en
tonnes par hectare, pour la vari\'{e}t\'{e} de bl\'{e} cultiv\'{e}e est donn%
\'{e} par%
\begin{equation*}
f\left( B,N\right) =120B-8B^{2}+4BN-2N^{2}
\end{equation*}%
$B$ d\'{e}signe la, quantit\'{e} de semences de bl\'{e} utilis\'{e}e, $N$ la
quantit\'{e} d'engrais utilis\'{e}e.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les extrema de la fonction $f$ ; donner leur nature.

\item Si on suppose de plus qu'une contrainte de budget impose $B+2N=23$ d%
\'{e}terminer l'optimum de rendement
\end{enumerate}

\rule{15cm}{0.1cm}

\textbf{Question de cours :} Donner une condition n\'{e}cessaire ci
suffisante de diagonalisabilit\'{e} d'une matrice.

On consid\`{e}re l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ dont la matrice dans la
base canonique de $\mathbb{R}^{4}$ est la matrice 
\begin{equation*}
M=%
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & 1 \\ 
-1 & -1 & 1 & -1 \\ 
-1 & 1 & -1 & -1 \\ 
1 & -1 & -1 & -1%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Justifiez que $f$ est diagonalisable.

\item Montrer que $-2$ est valeur propre de $_{.}f$ et d\'{e}terminer la
dimension du sous espace propre $E_{-2}$ associ\'{e}

\item Calculer $f\left( 1,-1,-1,1\right) $. En d\'{e}duire une autre valeur
propre ainsi que le sous-espace propre associ\'{e}. 

\item D\'{e}terminer une  base $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^{4}$ dans
laquelle la matrice $M^{\prime }$ de $f$ est diagonale. Soit $P$ la matrice
de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^{4}$ \`{a} la base $\mathcal{B%
}$. Calculer $M^{\prime 2}$.

\item Calculer $M^{n}$ pour tout entier naturel $n$.

\item On consid\`{e}re les suites $\left( u_{n}\right) ,\left( v_{n}\right)
,\left( w_{n}\right) ,$ $\left( t_{n}\right) $ d\'{e}finies par : $u_{0},\
v_{0},$ $w_{0}$, $t_{0}$ et 
\begin{equation*}
\left \{ 
\begin{array}{c}
u_{n+1}=\frac{1}{4}\left( -u_{n}-v_{n}-w_{n}+t_{n}\right)  \\ 
v_{n+1}=\frac{1}{4}\left( -u_{n}-v_{n}+w_{n}-t_{n}\right)  \\ 
w_{n+1}=\frac{1}{4}\left( -u_{n}+v_{n}-w_{n}-t_{n}\right)  \\ 
t_{n+1}=\frac{1}{4}\left( u_{n}-v_{n}-w_{n}-t_{n}\right) 
\end{array}%
\right. 
\end{equation*}%
Calculer $u_{n},\ v_{n},\ w_{n}$ et  $t_{n}$ en fonction de $u_{0},\ v_{0},$ 
$w_{0}$, $t_{0}$ et de $n$\newline
Que dire de leurs limites respectives ?
\end{enumerate}

\textbf{Exercice sans pr\'{e}paration }

Soient $A$, $B$, $C$, des \'{e}v\'{e}nements de m\^{e}me probabilit\'{e} $p$
et tels que $\mathrm{P}\left( A\cap B\cap C\right) =0$

\begin{enumerate}
\item Prouver que $p\leq \dfrac{2}{3}$

\item $p$ peut-il prendre la valeur $\dfrac{2}{3}\ ?$

\item On suppose en outre que $A$, $B$ et $C$ sont ind\'{e}pendants deux 
\`{a} deux. Prouver l'in\'{e}galit\'{e} :%
\begin{equation*}
p\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}

\item $p$ peut-il prendre la, valeur $\dfrac{1}{2}$ ?
\end{enumerate}

\end{document}
