Corrigé CCIP 2001 Maths II par Pierre Veuillez

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 . On dispose de n jetons numérotés de 1 à n . On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un. La suite ( a 1 , a 2 , , a n ) des numéros tirés est aussi appelée permutation de l'ensemble { 1 , 2 , , n } .

Étant donné deux entiers k et p vérifiant 1 k p n , la suite ( a k , , a p ) --- se réduisant à ( a k ) dans le cas où k est égal à p --- est appelée sous-suite de ( a 1 , a 2 , , a n ) et son nombre d'éléments est appelé longueur de cette sous-suite.

On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de l'univers Ω , ensemble des permutations de { 1 , 2 , , n } , muni de la tribu de ses parties 𝒫 ( Ω ) et de la probabilité uniforme P , ce qui signifie que, pour toute permutation ω de { 1 , 2 , , n } , on a :

Préliminaire
Comme X ( Ω ) = { 1 , 2 , , m } on a p ( [ X k ] ) = p ( i = k m ( X = i ) ) = i = k m p ( X = i ) k = 1 m p ( X k ) = k = 1 m i = k m p ( X = i ) = 1 k i m p ( X = i ) = i = 1 m k = 1 i p ( X = i ) = i = 1 m [ p ( X = i ) k = 1 i 1 ] = i = 1 m i . p ( X = i ) = E ( X ) On effectue ici une intervertion des deux : La première porte sur tous les k de 1 à n et tous les i de k à m . Donc sur tous les i et k tels que 1 k i m ce qu peut se relire : 1 i m et 1 k i

Première sous-suite croissante

    1. La première sous liste croissante est au minimum de longueur 1 (atteint par exemple pour ( 3 , 1 , 2 \dots ) et au maximum de longueur n quand tous les termes sont en ordre croissant et donc que la permutation est ( 1 , 2 , \dots , n )

      On a donc p ( [ L = n ] ) = p ( 1 , 2 , \dots n ) = 1 / n ! car toutes les permutations sont équiprobables (et d'après la formalisation donnée par l'énnoncé)

    2. ( L k ) signifie que la première sous suite croissante est au moins de longueur k .

      On calcule la probabilité en dénombrant :

      Cet événement est caractérisé par la iste en ordre croissant et sans rép&étition de ces k premiers éléments. et par la permutation des n k éléments restants.

      Or pour connaitre l'arrangement strictement croissant, il suffit de connaitre la combiniason de ces éléments (il n'y a qu'une seule façon alors de les réordonner)

      Donc le cardinal est : | L k | = C n k ( n k ) ! et la probabiltié p ( L k ) = C n k ( n k ) ! n ! = 1 k ! après simplification des factorielles.

      On alors p ( L k ) = p ( L = k ) + p ( L > k ) (incompatibles) = p ( L = k ) + p ( L k + 1 ) car L ne prend que des valeurs entières.

      p ( L = k ) = p ( L k ) p ( L k + 1 ) = 1 k ! 1 ( k + 1 ) ! = k ( k + 1 ) ! si k + 1 n donc si k n 1

      Donc la loi de L est : L ( Ω ) = [ [ 1 , n ] ] et p p ( L = n ) = 1 n ! et p ( L = k ) = k ( k + 1 ) ! si k [ [ 1 , n 1 ] ]

  1. Pour calculer E ( L ) on repasse par la question préliminaire : E ( L ) = k = 1 n p ( L k ] ) = k = 1 n 1 k ! = k = 0 n 1 k ! 1 e 1 1

Partie Deuxième sous-suite croissante

Étant donné une permutation ( a 1 , a 2 , , a n ) de { 1 , 2 , , n } et sa première sous-suite croissante ( a 1 , , a k ) ; si celle-ci se termine par a n (i.e. si k = n ), on dit que la deuxième sous-suite croissante n'existe pas; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de ( a k + 1 , , a n ) est appelée deuxième sous-suite croissante de ( a 1 , a 2 , , a n ) .

Soit L la variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒫 ( Ω ) , P ) qui, à toute permutation ω , associe 0 s'il n'existe pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire.
Par exemple, si n = 9 et ω = ( 2 , 3 , 5 , 4 , 9 , 6 , 7 , 8 , 1 ) , la deuxième sous-suite croissante est ( 4 , 9 ) et l'on a : L ( ω ) = 2 .

  1. On a au minimum L = 0 et au maximum L = n 1 (si la première sous suite est de longueur 1 et les autres termes en ordre croissant)

    L = 0 signifie qu'il n'y a pas de deuxième sous suite et donc que la première est de longueur n : L = n

    Donc p ( L = 0 ) = p ( L = n ) = 1 / n !

  2. On suppose, dans cette question seulement, que n est égal à 3 .

    1. Pour déterminer la loi du couple on liste toutes les permutations possibles. Comme eslles sont équiprobables, il ne restera qu'à comptre le nombre de celles correspondant à chaque valeur du couple :

      ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 , ) ( 3 , 2 , 1 ) L 3 2 1 2 1 1 L 0 1 2 1 2 1 .

      On a donc par exemple | L = 1 L = 2 | = 2 et p ( L = 1 L = 2 ) = 2 / 6 et on a donc bien :

      L \ L 1 2 3 p ( L = i )
      0 0 0 1/6 1/6
      1 1/6 1/3 0 1/2
      2 1/3 0 0 1/3

      Un autre moyen aurait été d'analyser les possibles par élimination successives.

      Par exemple les permutations de ( L = 1 L = 1 ) ne peuvent pas commencer par 1 car on aurait L qui vaudrait au mons 2. Si elles commence par 2 alors le second terme ne peut pas être 3 et doit être 1. Mais alors ( 2 , 1 , 3 ) donne L = 2.

      Donc le premier terme ne peut pas être 2 et doit donc être 3. Le second ne peut pas être 2 car on aurait L = 2. Donc la seule permutation de ( L = 1 L = 1 ) est ( 3 , 2 , 1 )

      Une telle analyse est beaucoup plus laborieuse !

    2. La loi de L est alors une loi marginale donnée ci-dessus et son espérance est : 0 / 6 + 1 / 2 + 2 / 3 =

      7 / 6 = E ( L )

    3. On a C o v ( L , L ) = E ( L L ) E ( L ) E ( L ) = On calcule la somme pour tous les i et j de i j p ( L = i L = j ) : E ( L L ) = 0.1 .0 + 0.2 .0 + 0.3 .1 / 6 + 1.1 .1 / 6 + 1.2 .1 / 3 + 1.3 .0 + 2.1 .1 / 3 + 2.2 .0 + 2.3 .0 = 1 6 + 2 3 + 2 3 = 9 6 = 3 2

      On a E ( L ) = k = 0 3 1 k ! 1 = 1 1 + 1 2 + 1 6 = 5 3

      D'où

      C o v ( L , L ) = 3 2 5 3 7 6 = 4 9 < 0

      Le signe s'explique par le fait que plus L est grand plus L tend à être petit.

  3. On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .

    1. Il y a 2 n parties parmi n éléments ( k = 0 n C n k = 2 n ) donc 2 n n parties différentes de celles données.

    2. Or pour avoir L + L = n il faut avoir au plus une rupture de croissance.

      Cette rupture de croissance étant donnée, la permutation est définie par la combinaison des éléments de la première sous suite croissante (il n'y a qu'une seule façon de les retrier)

      Donc la permutation est déterminée par cette combnaison.

      Mais elle ne doit pas être , car la première sous suite est au moins de longueur 1

      Elle ne doit pas être réduite à { 1 } car la seonde sous suite commencerait au moins à 2 et la première ne serait pas ( 1 )

      Ni { 1 , 2 } car la seconde sous suite commencerait au moins à 3 et la première ne serait pas réduire à ( 1 , 2 ) \dots

      Ni { 1 , 2 , , n 1 } car lle dernier terme serait n et la première sous suite serait ( 1 , 2 , \dots , n ) .

      Finalement ces permutations sont caractérisées par toutes les combiniaison sau , { 1 } , { 1 , 2 } , , { 1 , 2 , , n 1 } .

      Il y en a donc 2 n n et par équiprobabilité, p ( L + L = n ) = 2 n n n !

    3. Montrer de même que, pour tout entier k de { 1 , 2 , , n } , on a :

    4. Donner la valeur de E ( L + L ) sous forme d'une somme.

    5. En déduire E ( L ) et sa limite quand n tend vers l'infini.