CCIP 2001 Maths II

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 . On dispose de n jetons numérotés de 1 à n . On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un. La suite ( a 1 , a 2 , , a n ) des numéros tirés est aussi appelée permutation de l'ensemble { 1 , 2 , , n } .

Étant donné deux entiers k et p vérifiant 1 k p n , la suite ( a k , , a p ) --- se réduisant à ( a k ) dans le cas où k est égal à p --- est appelée sous-suite de ( a 1 , a 2 , , a n ) et son nombre d'éléments est appelé longueur de cette sous-suite.

On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de l'univers Ω , ensemble des permutations de { 1 , 2 , , n } , muni de la tribu de ses parties 𝒫 ( Ω ) et de la probabilité uniforme P , ce qui signifie que, pour toute permutation ω de { 1 , 2 , , n } , on a : P ( { ω } ) = 1 n !

Si X est une variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒫 ( Ω ) , P ) , on note E ( X ) son espérance et V ( X ) sa variance.
Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur ( Ω , 𝒫 ( Ω ) , P ) , on note Cov ( X , Y ) leur covariance.

Préliminaire Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans { 1 , 2 , , m } m est un entier supérieur ou égal à 2 .
Montrer l'égalité : ; E ( X ) = k = 1 m P ( [ X k ] ) .

Première sous-suite croissante

Étant donné une permutation ( a 1 , a 2 , , a n ) de { 1 , 2 , , n } , la première sous-suite croissante est définie de la façon suivante : dans le cas a 1 < a 2 < < a n , la première sous-suite croissante est ( a 1 , a 2 , , a n ) ; dans le cas contraire, k étant le plus petit entier de { 1 , , n 1 } vérifiant a k > a k + 1 , la première sous-suite croissante est ( a 1 , , a k ) .

Soit L la variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒫 ( Ω ) , P ) qui, à toute permutation ω , associe la longueur de sa première sous-suite croissante.
Par exemple, si n = 9 et ω = ( 2 , 3 , 5 , 4 , 9 , 6 , 7 , 8 , 1 ) , comme 2 < 3 < 5 et 5 > 4 , on a : L ( ω ) = 3 .

    1. Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par L ? Que vaut P ( [ L = n ] ) ?

    2. Montrer que, pour tout entier k de { 1 , 2 , , n } , on a : P ( [ L k ] ) = 1 k ! . En déduire la loi de L .

  1. Donner la valeur de E ( L ) sous forme d'une somme et déterminer la limite de E ( L ) quand n tend vers l'infini.

Deuxième sous-suite croissante

Étant donné une permutation ( a 1 , a 2 , , a n ) de { 1 , 2 , , n } et sa première sous-suite croissante ( a 1 , , a k ) ; si celle-ci se termine par a n (i.e. si k = n ), on dit que la deuxième sous-suite croissante n'existe pas; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de ( a k + 1 , , a n ) est appelée deuxième sous-suite croissante de ( a 1 , a 2 , , a n ) .

Soit L la variable aléatoire définie sur ( Ω , 𝒫 ( Ω ) , P ) qui, à toute permutation ω , associe 0 s'il n'existe pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire.
Par exemple, si n = 9 et ω = ( 2 , 3 , 5 , 4 , 9 , 6 , 7 , 8 , 1 ) , la deuxième sous-suite croissante est ( 4 , 9 ) et l'on a : L ( ω ) = 2 .

  1. Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par L ? Que vaut P ( [ L = 0 ] ) ?

  2. On suppose, dans cette question seulement, que n est égal à 3 .

    1. Montrer que la loi du couple ( L , L ) est donnée par le tableau suivant :

      L \ L 1 2 3
      0 0 0 1/6
      1 1/6 1/3 0
      2 1/3 0 0

    2. Donner la loi de L et calculer son espérance.

    3. Calculer la covariance de L et de L . Pouvait-on prévoir le signe de cette covariance?

  3. On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .

    1. Dénombrer les parties de l'ensemble { 1 , 2 , , n } distinctes de , { 1 } , { 1 , 2 } , , { 1 , 2 , , n 1 } .

    2. En déduire P ( [ L + L = n ] ) .

    3. Montrer de même que, pour tout entier k de { 1 , 2 , , n } , on a :

    4. Donner la valeur de E ( L + L ) sous forme d'une somme.

    5. En déduire E ( L ) et sa limite quand n tend vers l'infini.