Corrigé (EDHEC 2001) par Pierre Veuillez

f a ( e 2 ) = 0 f a ( e 1 ) = f a ( e 3 ) = a e 1 + e 2 a e 3

    1. Les coordonnées des images dans la base sont directement lisibles et on a :

      A a = ( a 0 a 1 0 1 a 0 a )  et  A a 2 = ( a 0 a 1 0 1 a 0 a ) ( a 0 a 1 0 1 a 0 a ) = 0

    2. On a f a ( e 2 ) = 0 donc 0 est valeur propre de f a donc de A a associée au vecteur propre e 2

      Donc 0 est une valeur propre de A a

      Si α est une valeur proprede A a et U 0 un vecteur propre associé almors A a U = α U et A a 2 U = α 2 U

      Et comme A a 2 = 0 alors α 2 U = 0 ; Enfin U 0 donc α 2 = 0 et donc α = 0

      0 est donc la seule valeur propre de A a

    3. Si A a était diagonailisable on aurait alors A a = P 0 P 1 (la diagonale est rmeplie de 0 ) donc A a = 0

      Donc A a n'est pas diagonalisable.

      Comme 0 en est valeur propre, elle n'est pas inversible non plus.

  1. On pose u 1 = a e 1 + e 2 a e 3 .

    1. Comme cmoprend 3 vecteurs, il suffit de montrer qu'elle forme une famille libre :

      si x u 1 + y e 2 + z e 3 = 0 alors x ( a e 1 + e 2 a e 3 ) u 1 + y e 2 + z e 3 = 0 donc x a e 1 + ( y + x ) e 2 + ( z a x ) e 3 = 0 et come ( e 1 , e 2 , e 3 ) est libre, on a x a = 0 donc x = 0 car a 0 puis y + x = 0 donc y = 0 et enfin z a x = 0 d'où z = 0

      La famille est donc bien libre. Donc une base de E

    2. On pourrait appliquer la formule de cahngement de base, mais il est plus rapide de calculer les images des vecteurs de la base :

      On peut passer par les coordonnées de u 1 : ( a , 1 , a ) dans , son image a pour coordonnées : A a ( a 1 a ) = 0 donc f a ( u 1 ) = 0

      ou directement utiliser la linéarité de f a : f a ( u 1 ) = f a ( a e 1 + e 2 a e 3 ) = a f a ( e 1 ) + f a ( e 2 ) a f a ( e 3 ) = 0

      De plus f a ( e 2 ) = 0 et f a ( e 3 ) = a e 1 + e 2 a e 3 = u 1 d'où les coordonénes es images dans la base et la matrice de f a dans cette base :

      K = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) .

  2. g g = f a .On suppose qu'un tel endomorphisme g existe et on note M sa matrice dans .

    1. La matrice de la composée est le produit des matrices : dans la base la matrice de f a est K celle de g est M donc M 2 = K

      On a alors M K = M M 2 = M 3 = M 2 M = K M .

    2. On pose alors la matrie M à coefficients indéterminés : M = ( a x y b d z c e f ) et on calcule les produits :

      M K = ( a x y b d z c e f ) ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) = ( 0 0 a 0 0 b 0 0 c ) et K M = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ( a x y b d z c e f ) = ( c e f 0 0 0 0 0 0 )

      De K M = M K on tire c = e = b = 0 et f = a donc M = ( a x y 0 d z 0 0 a )

      Enfin M 2 = K donc ( a x y 0 d z 0 0 a ) 2 = ( a 2 a x + x d 2 a y + x z 0 d 2 z + z a 0 0 a 2 ) = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) donc a = 0 et d = 0 et enfin x z = 1

      Finalement M = ( 0 x y 0 0 z 0 0 0 ) x , y et z étant 3 réels tels que x z = 1 .

  3. Et réciproquement si M = ( 0 x y 0 0 z 0 0 0 ) avec x z = 1 alors M 2 = K donc les application linéaires associées dans vérifient g g = f a

(EDHEC 2001)