(
EDHEC 2001)
E désigne un espace vectoriel réel sur RR, rapporté à sa base B=( e1 , e2 , e3 ).
On désigne par a un réel non nul et on considère l'endomorphisme fa de E, défini par :
fa ( e2 )=0    fa ( e1 )= fa ( e3 )= ae1 + e2 - ae3

    1. Ecrire la matrice Aa de fa relativement à la base B et calculer Aa 2 .
    2. Montrer que 0 est la seule valeur propre de Aa .
    3. Aa est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?
  1. On pose u1 = ae1 + e2 - ae3 .
    1. Montrer que B' =( u1 , e2 , e3 ) est une base de E
    2. Vérifier que la matrice de fa relativement à la base B' est K=( 001 000 000 ).
    Dans la suite, on cherche à caractériser les endomorphismes g de E tels que gg= fa .
  2. On suppose qu'un tel endomorphisme g existe et on note M sa matrice dans B' .
    1. Expliquer pourquoi M2 =K puis montrer que MK=KM.
    2. Déduire de ces deux relations que M=( 0xy 00z 000 ), x, y et z étant 3 réels tels que xz=1.
  3. Réciproquement, vérifier que tout endomorphisme g dont la matrice dans B' est du type ci-dessus est solution de gg= fa .
(EDHEC 2001)



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On 18 May 2004, 00:02.