(D'après ESC 2001)

On donne les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

A = ( 5 5 14 6 6 16 5 5 14 )          B = ( 8 4 16 0 4 8 4 4 12 )          P = ( 1 1 1 2 1 1 1 0 1 ) et f l'endomorphisme de 3 dont la matrice est A dans la base canonique de 3 .

Soient : v 1 = ( 1 , 2 , 1 ) , v 2 = ( 1 , 1 , 0 ) , v 3 = ( 1 , 1 , 1 ) ,

  1. Diagonalisation de A et de B

    1. Vérifier que = ( v 1 , v 2 , v 3 ) est une base de 3 . En déduire que P est inversible.

    2. Calculer f ( v 1 ) , f ( v 2 ) et f ( v 3 ) ; en déduire la matrice de f dans la base

    3. Justifier la relation P 1 A P = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 4 )

      On note D cette matrice diagonale.

    4. Calculer la matrice Δ = P 1 B P et vérifier qu'elle est diagonale.

  2. On se propose de calculer les matrices colonne X n définies par les relations: X 0 = ( 1 0 1 )     ,      X 1 = ( 0 1 1 )     et    n N ,    X n + 2 = A X n + 1 + B X n    . A cet effet, on définit pour tout n élément de : Y n = P 1 X n et on pose également Y n = ( u n v n w n )

    1. Montrer que Y 0 = ( 1 0 2 )    et Y 1 = ( 3 1 4 )

    2. Montrer que pour tout entier naturel n , Y n + 2 = D Y n + 1 + Δ Y n    .

    3. Montrer alors que pour tout entier naturel n : { u n + 2 = u n + 1 v n + 2 = 4 v n w n + 2 = 4 w n + 1 4 w n En déduire les expressions explicites de u n , v n , et w n en fonction de n .

    4. Donner finalement la matrice X n , en fonction de n .

(D'après ESC 2001)