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E est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par f l'application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f ( P ) défini par: f ( P ) ( X ) = P ( X + 1 ) + P ( X )

  1. f est définie sur 3 [ X ] et on a bien f ( P ) qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

    Soient P et Q deux polynômes de 3 [ X ] et α et β deux réels. On a alors pour tout réel x :

    f ( α P + β Q ) ( x ) = ( α P + β Q ) ( x + 1 ) + ( α P + β Q ) ( x ) = α ( P ( x + 1 ) P ( x ) ) + β ( Q ( x + 1 ) Q ( x ) )

    = α f ( P ) ( x ) + β f ( Q ) ( x ) .

    Donc f ( α P + β Q ) = α f ( P ) + β f ( Q ) et f est bien linéaire de E dans E donc un endomorphisme de E .

  2. On note la base usuelle de E constituée, dans cet ordre des quatre polynômes 1 , X , X 2 , X 3 .
    Pour avoir la matrice de f , on calcule les images des vecteurs de la base, puis leurs coordonnées :

    f ( 1 ) ( x ) = 1 ( x + 1 ) + 1 ( x ) = 1 donc f ( 1 ) = 1 coordonnées : ( 1 , 0 , 0 , 0 )

    f ( X ) ( x ) = X ( x + 1 ) + X ( x ) = x + 1 + x donc f ( X ) = 2 X + 1 coordonnées : ( 1 , 2 , 0 , 0 )

    f ( X 2 ) ( x ) = X 2 ( x + 1 ) + X 2 ( x ) = ( x + 1 ) 2 + x 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 donc f ( X ) = 2 X 2 + 2 X + 1 coordonnées : ( 1 , 2 , 2 , 0 )

    f ( X 3 ) ( x ) = X 3 ( x + 1 ) + X 3 ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 donc f ( X 3 ) = 2 X 3 + 3 X 2 + 3 X + 1 coordonnées : ( 1 , 3 , 3 , 2 )

    et on a donc bien pour matrice de f dans la base : M = ( 2 1 1 1 0 2 2 3 0 0 2 3 0 0 0 2 )

  3. Comme les coordonnées dans de f ( ) = ( f ( 1 ) , f ( X ) , f ( X 2 ) , f ( X 3 ) ) sont échelonnées, c'est une famille libre donc une base (cardinal=4)

    Donc M est une matrice de passage et est inversible. Donc f est n automorphisme (bijective)

  4. La matrice de f 1 dans la base est l'inverse de la matrice de f dans cette même base.

    ( 2 1 1 1 0 2 2 3 0 0 2 3 0 0 0 2 | 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) L 1 L 4 / 2 L 2 3 L 4 / 2 L 3 3 L 4 / 2 L 4 / 2 ( 2 1 1 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 | 1 0 0 1 / 2 0 1 0 3 / 2 0 0 1 3 / 2 0 0 0 1 / 2 ) L 1 L 3 / 2 L 2 L 3 L 3 / 2

    ( 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | 1 0 1 / 2 1 / 4 0 1 1 0 0 0 1 / 2 3 / 4 0 0 0 1 / 2 ) L 1 L 2 / 2 L 2 / 2 ( 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | 1 1 / 2 0 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 / 2 3 / 4 0 0 0 1 / 2 )

    ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | 1 / 2 1 / 4 0 1 / 8 0 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 / 2 3 / 4 0 0 0 1 / 2 ) donc M 1 = ( 1 / 2 1 / 4 0 1 / 8 0 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 / 2 3 / 4 0 0 0 1 / 2 )

  5. Soit P un élément de E défini par : P ( X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 .

    1. Les coordonnées de f 1 ( P ) sont le produit de la matrice de f 1 par la matrice des coordonnées de P : ( 1 / 2 1 / 4 0 1 / 8 0 1 / 2 1 / 2 0 0 0 1 / 2 3 / 4 0 0 0 1 / 2 ) ( a 0 a 1 a 2 a 3 ) = 1 8 ( 4 a 0 2 a 1 + a 3 4 a 1 4 a 2 4 a 2 6 a 3 4 a 3 ) et donc Q = 1 8 [ ( 4 a 0 2 a 1 + a 3 ) + ( 4 a 1 4 a 2 ) X + ( 4 a 2 6 a 3 ) X 2 + 4 a 3 X 3 ]

    2. On considère pour tout entier strictement positif n la somme S ( n ) = k = 1 k = n ( 1 ) k P ( k ) On fait réapparaître Q dans cette écriture : Comme Q = f 1 ( P ) alors P = f ( Q )

      Donc S ( n ) = k = 1 k = n ( 1 ) k P ( k ) = k = 1 k = n ( 1 ) k f ( Q ) ( k ) = k = 1 k = n ( 1 ) k [ Q ( k + 1 ) + Q ( k ) ] = k = 1 k = n ( 1 ) k Q ( k + 1 ) + k = 1 k = n ( 1 ) k Q ( k ) on réindexe alors la première somme : S ( n ) = k = 2 h = n + 1 ( 1 ) h 1 Q ( h ) + k = 1 k = n ( 1 ) k Q ( k ) = k = 2 k = n + 1 ( 1 ) k Q ( k ) + k = 1 k = n ( 1 ) k Q ( k ) = ( 1 ) n + 1 Q ( n + 1 ) + ( 1 ) 1 Q ( 1 ) = ( 1 ) n Q ( n + 1 ) Q ( 1 )

    3. Or Q ( 1 ) = 1 8 [ ( 4 a 0 2 a 1 + a 3 ) + ( 4 a 1 4 a 2 ) + ( 4 a 2 6 a 3 ) + 4 a 3 ] = 1 8 [ 4 a 0 + 2 a 1 a 3 ]

      et Q ( n + 1 ) = 1 8 [ ( 4 a 0 2 a 1 + a 3 ) + ( 4 a 1 4 a 2 ) ( n + 1 ) + ( 4 a 2 6 a 3 ) ( n + 1 ) 2 + 4 a 3 ( n + 1 ) 3 ] = 1 8 [ ( 4 a 0 + 2 a 1 a 3 ) + ( 4 a 1 + 4 a 2 ) n + ( 4 a 2 + 6 a 3 ) n 3 + 4 a 3 n 3 ]

      d'où finalement S ( n ) = ( 1 ) n [ ( 4 a 0 + 2 a 1 a 3 ) + ( 4 a 1 + 4 a 2 ) n + ( 4 a 2 + 6 a 3 ) n 3 + 4 a 3 n 3 ] [ 4 a 0 + 2 a 1 a 3 ] 8

(ECRICOME 2000)