(ECRICOME 2000)



E est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par f l'application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f ( P ) défini par : pour tout réel x f ( P ) ( x ) = P ( x + 1 ) + P ( x )

  1. Montrer que f est un endomorphisme de E .

  2. On note la base usuelle de E constituée, dans cet ordre des quatre polynômes 1 , X , X 2 , X 3 .
    Montrer que la matrice de f dans la base est ( 2 1 1 1 0 2 2 3 0 0 2 3 0 0 0 2 )

  3. Montrer que f est bijectif.

  4. Calculer la matrice de f 1 dans la base .

  5. Soit P un élément de E défini par : P ( X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 .

    1. Expliciter en fonction des réels a 0 , a 1 , a 2 , a 3 le polynôme Q = f 1 ( P ) .

    2. On considère pour tout entier strictement positif n la somme S ( n ) = k = 1 k = n ( 1 ) k P ( k ) Exprimer simplement S ( n ) en fonction de ( 1 ) n , Q ( n + 1 ) et Q ( 1 ) .

    3. Expliciter alors la valeur de S ( n ) en fonction de n , a 0 , a 1 , a 2 , a 3

(ECRICOME 2000)