Corrigé EML 1996 par Pierre Veuillez



On considère les matrices carrées réelles d'ordre 3 suivantes: I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) J = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) A = ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 )

  1. On a A 2 = ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) = ( 1 0 1 0 2 0 1 0 1 ) donc J = I + A 2

    1. On résoud ( 1 ) ( A α I ) ( x y z ) = ( 0 0 0 ) { α x + y = 0 x α y + z = 0 y α z = 0 { y = α x x α 2 x + z = 0 α x α z = 0 On discute pour la ligne 3:

      • si α 0 alors ( 1 ) ( 2 ) { y = α x ( 2 α 2 ) x = 0 x = z

        • si α 2 et α 2 alors ( 2 ) x = y = z = 0 donc si α 0 , 2 et 2 alors α n'est pas valeur propre.

        • si α = 2 alors ( 2 ) { y = 2 x 0 = 0 x = z et les solutions sont :

          𝒮 2 = { x ( 1 2 1 ) / x } { 0 } donc 2 est valeur propre et 𝒮 2 est son sous espace propre associé.

        • si α = 2 alors ( 2 ) { y = 2 x 0 = 0 x = z et les solutions sont :

          𝒮 2 = { x ( 1 2 1 ) / x } { 0 } donc 2 est valeur propre et 𝒮 2 est son sous espace propre associé.

      • Si α = 0 alors ( 1 ) { y = 0 x + z = 0 0 = 0 { y = 0 z = x et les solutions sont :

        𝒮 0 = { x ( 1 0 1 ) / x } { 0 } donc 0 est valeur propre et 𝒮 0 est son sous espace propre associé.

      Finalement les valeurs propres de A sont 2 < 0 < 2

    2. On trouve comme tels vecteurs porpres : X 1 = ( 1 2 1 ) associés à 2 , X 2 = ( 1 0 1 ) associé à 0 et X 3 = ( 1 2 1 ) associé à 2 avec comme première composante 1.

    3. Comme on a trois valeurs porpres distinctes, la matrice A est diagonalisable avec la matrice obtenue en concaténant les colonnes porpres : P = ( 1 1 1 2 0 2 1 1 1 ) et D la matrice diagonale des valeurs propres (dans le même ordre) : D = ( 2 0 0 0 0 0 0 0 2 ) la relation :

      A = P D P 1

  2. Soient a , b et c des réels et M = ( a b c b a + c b c b a ) .

    1. On a M = a I + b A + c J = a I + b A + c ( I + A 2 ) = ( a + c ) I + b A + c A 2

    2. Comme I = P I P 1 , que A = P D P 1 et A 2 = P D 2 P 1 avec la matrice D 2 qui est obtenue en élevant au carré les termes de la diagonale (car c'est une matrice diagonale) on a donc

      M = ( a + c ) P I P 1 + b P D P 1 + c P D 2 P 1 = P ( ( a + c ) I + b D + c D 2 ) P 1

      et avec Δ = ( a + c ) I + b D + c D 2 = ( a + c b 2 + 2 c 0 0 0 a + c 0 0 0 a + c + b 2 + 2 c )

      on a finalement M = P Δ P 1 , où P est la matrice obtenue à la question 2.c