EML 1996



On considère les matrices carrées réelles d'ordre 3 suivantes: I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) J = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) A = ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 )

  1. Calculer A 2 et exprimer J comme combinaison linéaire de I et A 2

    1. Calculer les valeurs propres de A (on trouvera trois réels λ 1 , λ 2 et λ 3 que l'on rangera de sorte que λ 1 < λ 2 < λ 3 .

    2. Pour chaque entier k de { 1 , 2 , 3 } , calculer un vecteur propre X k associé à la valeur propre λ k de A , tel que l'élément de la première ligne de X k soit égal à 1.

    3. En déduire une matrice carrée réelle P d'ordre 3, inversible, de pemière ligne égale à ( 1 , 1 , 1 ) telle qu'en notant D = ( λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ) , on ait A = P D P 1 .

  2. Soient a , b et c des réels et M = ( a b c b a + c b c b a ) .

    1. Exprimer M comme combinaison linéaire de I , A et J , puis comme combinaison linéaire de I , A et A 2 .

    2. En déduire une matrice diagonale réelle Δ d'odre 3 telle que M = P Δ P 1 , où P est la matrice obtenue à la question 2.c.