Corrigé par Pierre Veuillez

ESCP 1997

  1. A est symétrique donc f est diagonalisabe.

    On recherche les éléments propres de A :

    Soit U = ( x y z ) on a ( A α I ) U = 0 { ( 2 α ) x z = 0 ( 1 α ) y = 0 x + ( 2 α ) z = 0 et par substitution

    ( 1 ) { z = ( 2 α ) x ( 1 α ) y = 0 ( 1 + ( 2 α ) 2 ) x = 0

    Comme ( 1 + ( 2 α ) 2 ) = ( 1 ( 2 α ) ) ( 1 + 2 α ) a pour racines α = 3 et α = 1 alors

    Donc les valeurs porpres de f sont 1 et 3

    On a des familes génératrices des sous espaces propres qui sont libres donc on retrouve que la somme des dimensions des sous espaces propres vaut 3.

  2. Soient i = ( 1 , 0 , 1 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) et k = ( 1 , 0 , 1 ) la base de vecteurs porpres trouvé précédemment.

    On a ( a f + b u ) ( i ) = a i + b i = ( a + b ) i , ( a f + b u ) ( j ) = a j + b j = ( a + b ) j , et ( a f + b u ) ( k ) = a 3 k + b i = ( 3 a + b ) k ,

    Donc a f + b u est diagonalisé sur la base ( i , j , k ) pour toute valeur de ( a , b )

    Comme la somme des dimensions des sous espaces propres est inférieur à 3, il ne peut pas y avoir d'autres valeurs propres que a + b et 3 a + b (qui sont identiques si a = 0 )

    Donc si a 0 f a 2 valeurs propres : a + b et 3 a + b

    et si a = 0 , elle n'en a qu'une seule : b

  3. Pour que l'endomorphisme a f + b u soit inversible il faut et il suffit que 0 n'en soit pas valeur propre. Donc que a + b 0 et 3 a + b 0

    Dans la base ( i , j , k ) f a pour matrice ( a + b 0 0 0 a + b 0 0 0 3 a + b ) d'après les images calculées de i , j et k .

    Donc sa réciproque a pour matrice ( 1 / ( a + b ) 0 0 0 1 / ( a + b ) 0 0 0 1 / ( 3 a + b ) )

    et on résout: ( 1 / ( a + b ) 0 0 0 1 / ( a + b ) 0 0 0 1 / ( 3 a + b ) ) = ( λ + μ 0 0 0 λ + μ 0 0 0 3 λ + μ )

    { λ + μ = 1 a + b L 1 L 2 3 λ + μ = 1 3 a + b { 2 λ = 1 a + b 1 3 a + b = 2 a ( a + b ) ( 3 a + b ) 3 λ + μ = 1 3 a + b

    { λ = a ( a + b ) ( 3 a + b ) μ = 1 3 a + b + 3 a ( a + b ) ( 3 a + b ) = 4 a + b ( a + b ) ( 3 a + b ) : : :

    Donc l'inverse de a f + b u , quand il existe, est de la forme λ f + μ u avec λ = a ( a + b ) ( 3 a + b ) et μ = 4 a + b ( a + b ) ( 3 a + b )

    On considère maintenant l'ensemble des matrices T de 3 ( ) qui commutent avec A c'est à dire qui vérifient A T = T A .

  4. est inclus dans l'espace vectoriel 3 , 3 ( )

    il contient la matrice nulle

    Si T et S en sont éléments et si α et β sont des réels alors :

    A ( α T + β S ) = α A T + β A S = α T A + β S A = ( α T + β S ) A

    Donc α T + β S et est stable par combinaison linéaire.

    Donc est un sous espace donc un espace vectoriel.

  5. On a :

    A T T A = ( 2 0 1 0 1 0 1 0 2 ) ( a b c d e f g h i ) ( a b c d e f g h i ) ( 2 0 1 0 1 0 1 0 2 ) = ( g + c b h i + a d + f 0 f + d a + i b + h c + g )

    Donc et en paramètrant = { ( a h c f e f c h a ) / ( a , , h , c , f , e ) 5 }

    = V e c t ( ( 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ) , ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ) , ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) )

    ces 5 matrices formant une famille génératrice et libre (échelonnée) donc une base de qui est donc de dimension 5

  6. Φ est à valeurs dans 3 ( ) et pour toutes matrice T et S de 3 ( ) on a Φ ( α T + β S ) = A ( α T + β S ) + ( α T + β S ) A = α A T + β A S + α T A + β S A = α ( A T T A ) + β ( A S S A ) = α Φ ( T ) + β Φ ( S )

    Donc Φ est un endomorphisme de 3 ( ) .

    Comme T ker ( Φ ) Φ ( T ) = A T T A = 0 alors ker ( Φ ) = et on en a une base ci-dessus.

    Donc par le théorème du rang, la dimension de l'image est 9 5 = 4

    Pour en avoir une base, il suffit de trouver 4 matrices libres dans l'image.

    En réutilisant les calculs précédents avec a = 1 et tous les autres nuls, puis avec b = 1 et tous les autres nuls ...

    Φ ( ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ) = ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) = D : Φ ( ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ) = ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ) = E : Φ ( ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ) = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ) = F : Φ ( ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) ) = ( 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ) = G
    D , E , F et G appartiennent donc à l'image de Φ .
    ( D , E , F , G ) est échelonnée donc libre et donc une base de I m ( Φ )