ESCP 1997

On note 3 ( ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels, u l'application identique de l'espace vectoriel 3 dans lui même et I la matrice identité de 3 ( ) représentant u dans la base canonique de 3 .

0n considère la matrice A = ( 2 0 1 0 1 0 1 0 2 ) et on note f l'endomorphisme de 3 représenté par A dans la base canonique de 3

  1. Déterminer les valeurs propres de f . L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?

  2. Etant donné un couple ( a , b ) de réels, déterminer les valeurs propres de l'endomorphisme a f + b u de 3 . Pour quelles valeurs de ( a , b ) cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

  3. Quelles relations le couple ( a , b ) doit-il vérifier pour que l'endomorphisme a f + b u soit inversible ? Montrer que l'inverse de a f + b u , quand il existe, est de la forme λ f + μ u λ et μ sont des réels dont on donnera l'expression en fonction de a et b .

    On considère maintenant l'ensemble des matrices T de 3 ( ) qui commutent avec A c'est à dire qui vérifient A T = T A .

  4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de 3 ( )

  5. Pour une matrice T de la forme T = ( a b c d e f g h i ) , calculer A T T A . En déduire une base de et sa dimension.

  6. Soit Φ l'application de 3 ( ) dans lui même qui fait correspondre à la matrice T la matrice A T T A . Montrer que Φ est un endomorphisme de 3 ( ) . Donner une base du noyau et une base de l'image de Φ