Corrigé par Pierre Veuillez

ECRICOME 1997

  1. Pour montrer que 0 , 1 2 et 1 sont des valeurs propres de A , il suffit de trouver (ou de donner) des vecteurs porpres associés.

    A ( 2 3 2 1 ) = 0 = 0 ( 2 3 2 1 ) prouve par exemple que 0 est valeur propre de A car u = ( 2 3 2 1 )

    On peut aussi rédiger la recherche de vecteurs propres :

    ( A 1 2 I ) U = 0 { 1 2 x + 2 z = 0 3 2 x 5 2 y + 6 z = 0 1 2 x y + 2 z = 0 { x = 4 z y = 0 y = 0 { x = 4 z y = 0

    donc 1 / 2 est valeur propre car v = ( 4 0 1 ) est un vecteur propre associé.

    ( A 1 I ) U = 0 { 2 z = 0 3 2 x 3 y + 6 z = 0 1 2 x y + 3 2 z = 0 { z = 0 x = 2 y 0 = 0 { z = 0 x = 2 y

    Donc 1 est une valeur propre car w = ( 2 1 0 ) est un vecteur propre associé.

    Donc 1 2 et 1 sont des valeurs propres de A .

    Pour prouver que ce sont les valeurs propres de A , il reste à prouver que A n'en a pas d'autres.

    Or A est de taille 3 donc il a au plus 3 valeurs propres distinctes.

    Finalement 1 2 et 1 sont les valeurs propres de A .

  2. Justifier les affirmations suivantes :

  3. Remarquer que la formule est donnée pour n * donc

  4. Soit ( a n ) n , ( b n ) n et ( c n ) n les suites réelles telles que :

    1. On a X n = α n u + β n v + γ n w = α n ( 2 3 2 1 ) + β n ( 4 0 1 ) + γ n ( 2 1 0 ) = ( 2 α n 4 β n + 2 γ n 3 2 α n + γ n α n + β n )

      Donc a n = 2 α n 4 β n + 2 γ n : b n = 3 2 α n + γ n et c n = α n + β n

      Et comme α n α que β n 2 β et γ n = γ 0 + n γ ¯ ± si γ 0 et γ 0 si γ = 0

      alors a n et b n donc X n convergent si et seulement si γ = 0

    2. On résout donc B = α u + β v + γ w α ( 2 3 2 1 ) + β ( 4 0 1 ) + γ ( 2 1 0 ) = ( x y z )

      { 2 α 4 β + 2 γ = x L 1 + 2 L 3 3 2 α + γ = y L 2 3 2 L 3 α + β = z L 3 { 2 β + 2 γ = x + 2 z L 1 4 3 L 2 3 2 β + γ = y 3 2 z α + β = z

      { 1 3 γ = x + 2 z 4 3 ( y 3 2 z ) = x 4 3 y + 4 z 3 2 β + γ = y 3 2 z α + β = z

      Donc γ = 3 x 4 y + 12 z et donc ( X n ) n converge si et seulement si 3 x 4 y + 12 z = 0

  5. Si le couple ( A , B ) admet une position d'équilibre stable alors la suite ( X n ) n converge. Donc γ = 0

    La limite de la suite ( a n ) est donc 2 α + 4 β + 2 γ 0 , celle de la suite ( b n ) est 3 2 α + γ 0 et celle de la suite ( c n ) est α + β

    Comme x , y et z sont fixées par B , alors α , β et γ le sont aussi. Les limites de a et b dépendent donc de γ 0 .

    Donc, quelle que soit la valeur de B , le couple ( A , B ) n'admet pas de position d'équilibre stable.