ECRICOME 1997

3 ( ) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.

3 , 1 ( ) est l'ensemble des matrices colonnes à trois lignes dont les coefficients sont réels.

On pose : A = ( 1 0 2 3 2 2 6 1 2 1 5 2 ) et  B = ( x y z ) x , y et z sont des nombres réels.

On définit alors une suite de matrices colonnes ( X n ) n de la manière suivante :

{ X 0 3 , 1 ( ) n 𝕏 n + 1 = A X n + B

  1. Montrer que 0 , 1 2 et 1 sont les valeurs propres de A, et préciser des vecteurs propres u , v et w qui leur sont respectivement associés.

  2. Justifier les affirmations suivantes :

  3. Etablir par récurrence que n *      { α n = α β n = ( 1 2 ) n ( β 0 2 β ) + 2 β γ n = γ 0 + n γ

  4. Soit ( a n ) n , ( b n ) n et ( c n ) n les suites réelles telles que : n X n = ( a n b n c n ) On dit que la suite de matrices colonnes ( X n ) n converge si les suites réelles ( a n ) n , ( b n ) n et ( c n ) n convergent. Dans ce cas on écrit : lim X n = ( lim a n lim b n lim c n )

    1. Prouver que ( X n ) n converge si et seulement si le réel γ (introduit en 2.) est nul.

    2. En déduire que ( X n ) n converge si et seulement si : 3 x 4 y + 12 z = 0

  5. On dit que le couple ( A , B ) admet une position d'équilibre stable si la suite ( X n ) n converge vers la même limite quelle que soit la valeur de X 0 .

    Expliquer pourquoi, quelle que soit la valeur de B , le couple ( A , B ) n'admet pas de position d'équilibre stable.