Corrigé par Pierre Veuillez

ECRICOME 1998




Partie A

    1. Soit u = ( x , y , z ) . On a u ker ( f ) f ( u ) = 0 A ( x y z ) = 0 car les coordonénes de u dans a base canonique sont ( x , y , z )

      A ( x y z ) = 0 { 2 y z = 0 2 x 2 z = 0 x + 2 y = 0 { z = 2 y 2 x 4 z = 0 x + 2 y = 0 { z = 2 y x = 2 y

      Donc ker ( f ) = { ( 2 y , y , 2 y ) / y } = V e c t ( u 1 )

      Comme u 1 est non nul, ( u 1 ) forme une famille libre. Elle est génératrice de ker ( f ) donc c'en est une base.

    2. On calcule u 3 qui a pour coordonnées : A ( 1 2 0 ) = ( 4 2 5 ) et u 3 = ( 4 , 2 , 5 )

      Si la combinaison est nulle ...

      si x u 1 + y u 2 + z u 3 = 0 alors x ( 2 , 1 , 2 ) + y ( 1 , 2 , 0 ) + z ( 4 , 2 , 5 ) = 0 donc { 2 x + y + 4 z = 0 L 1 + 2 L 2 x + 2 y 2 z = 0 L 2 2 x + 5 z = 0 L 3 2 L 2 et par combinaison

      { 5 y = 0 L 1 + 2 L 2 x + 2 y 2 z = 0 L 2 4 y + 9 z = 0 L 3 2 L 2 et par substitution : { y = 0 x = 0 z = 0

      donc la famille ( u 1 , u 2 , u 3 ) est libre et de cardinal 3 donc c'est une base de 3

      Attention : Pour déterminer la matrice de f dans cette base on pourrait appliquer la formule de changement de base, en calculant au préalable l'inverse de la matrice de passage ... très lourd.

      Dans ce type de question, on soupsçonne des relations agréables et on calcule directement les images, puis leurs coordonnées dans 𝒰 :

      f ( u 1 ) = 0 coordonénes : ( 0 , 0 , 0 )

      f ( u 2 ) = u 3 coordonénes : ( 0 , 0 , 1 )

      Pour calculer f ( u 3 ) on revient à ses coordonénes dans la base canonique et à la matrice de f dans cette base :

      A ( 4 2 5 ) = ( 9 18 0 ) = 9 ( 1 2 0 ) donc f ( u 3 ) = 9 u 2 et a pour coordonnées ( 0 , 9 , 0 )

      Donc la matrice de f dans 𝒰 est : B = ( 0 0 0 0 0 9 0 1 0 )

  1. Soit λ un réel non nul.
    Pour déterminer les vecteur propres de f , on part des coordonnées dans la base 𝒰 où la matrice de f est beaucoup plus simple :

    Soient ( a , b , c ) les coordonnées de x dans 𝒰 alors

    f ( x ) = λ x B ( a b c ) = λ ( a b c ) { 0 = λ a 9 c = λ b b = λ c { 0 = λ a ( λ 2 + 9 ) c = 0 b = λ c

    Donc comme λ 0 et λ 2 + 9 0 (car 9 ) on a alors a = c = b = 0

    Donc pour tout vecteur x de E , [ f ( x ) = λ x ] équivaut à [ x = 0 E ] .

    1. Donc la seule valeur porpe possible de A est 0. Or c'en est une car ker ( f ) { 0 }

      Et finalement l'ensemble des valeurs propres de A est réduit à la valeur 0

    2. On peut raisonner sur la somme des dimensions des sous espaces propres qui vaut 1 3

      ou par l'absurde :si A était diagonalisable, sa seule valeur porpre étant 0 , on aurait A = P 0 P 1 = 0. Donc A n'ets pas diagonalisable.




Partie B

    1. M 2 = ( 0 a b a 0 c b c 0 ) ( 0 a b a 0 c b c 0 ) = ( a 2 b 2 b c a c b c a 2 c 2 a b a c a b b 2 c 2 )

      M 3 = M 2 M = ( a 2 b 2 b c a c b c a 2 c 2 a b a c a b b 2 c 2 ) ( 0 a b a 0 c b c 0 ) = ( 0 a 3 + a b 2 + a c 2 b a 2 + b 3 + b c 2 a 3 a c 2 a b 2 0 b 2 c + c a 2 + c 3 b a 2 b 3 b c 2 c a 2 b 2 c c 3 0 ) = ( 0 a s b s a s 0 c s b s c s 0 ) = s M

    2. On a donc M 3 = s M

  1. Si λ est une valeur propre de g et u un vecteur propre associé U ses coordonnées dans la base canonique,

    on a M U = λ U : M 2 U = M ( λ U ) = λ 2 U et M 3 U = λ 3 U

    Et comme M 3 = s M on a M 3 U = s M U = s λ U . Donc ( λ 3 + s λ ) U =0

    Comme U 0 alors λ 3 + s λ = λ ( λ 2 + s ) = 0

    D'aurtre part s > 0 et λ 2 + s > 0 donc λ = 0

    Fianlement, si le réel λ est valeur propre de g alors λ est nul.

  2. Si M est inversible, elle a une inverse.

    De M 3 = s M on déduit en multipliant par M 1 : M 2 = s I

    Donc le premier terme de sa diagonale est : a 2 b 2 = s = ( a 2 + b 2 + c 2 ) et c 2 = 0 donc c = 0 et de même a = 0 et b = 0.

    Finalement s = 0.

    Et comme s 0 la matrice M ne peut donc pas êter inversible.

    1. Comme M n'est pas inversible, 0 en est valeur popre.

      Donc la seule valeur propre de M est 0.

    2. La seule valeur porpre étant 0 , si M était diagonalisable, on aurait M = P 0 P 1 = 0

      Donc, à part dans le cas de la matrice nulle, une matrice antisymétrique ne peut pas être diagonalisable.