ECRICOME 1998
Dans cet exercice, on \etudie la diagonalisation des matrices
carr\ees d'ordre 3 antisym\etriques ( c'est \a dire v\erifiant
On \etudie d'abord un cas particulier avant de passer au cas g\en\eral.
Partie A
On désigne par
On
rappelle que toute famille libre de trois vecteurs de
Soit
Soit
Déterminer le noyau de
Montrer que
Soit
Montrer que pour tout vecteur
On
pourra utiliser la décomposition de
Quel est finalement l'ensemble des valeurs propres de
La matrice
Partie B
Soient
On
considère la matrice
Calculer
Vérifier que
Montrer que si le réel
Montrer que l'hypothèse
``
Quel est finalement l'ensemble des valeurs propres de
La matrice