ECRICOME 1998




Dans cet exercice, on \etudie la diagonalisation des matrices carr\ees d'ordre 3 antisym\etriques ( c'est \a dire v\erifiant t A = A ).
On \etudie d'abord un cas particulier avant de passer au cas g\en\eral.




Partie A

  1. On désigne par E l'espace vectoriel 3 muni de sa base canonique = ( e 1 , e 2 , e 3 ) . On note 0 E l'élément nul de 3 .
    On rappelle que toute famille libre de trois vecteurs de E est une base de E .
    Soit A = ( 0 2 1 2 0 2 1 2 0 ) et f l'endomorphisme de E représenté par A dans la base .
    Soit 𝒰 = ( u 1 , u 2 , u 3 ) u 1 = 2 e 1 + e 2 + 2 e 3 , u 2 = e 1 + 2 e 2 et u 3 = f ( u 2 ) .

    1. Déterminer le noyau de f et en donner une base.

    2. Montrer que 𝒰 est une base de E et déterminer la matrice B représentant f dans cette base.

  2. Soit λ un réel non nul.
    Montrer que pour tout vecteur x de E , [ f ( x ) = λ x ] équivaut à [ x = 0 E ] .
    On pourra utiliser la décomposition de x dans 𝒰 .

    1. Quel est finalement l'ensemble des valeurs propres de A ?

    2. La matrice A est-elle diagonalisable ?




Partie B



Soient a , b et c trois réels donnés. On pose a 2 + b 2 + c 2 = s et on suppose s 0 .
On considère la matrice M = ( 0 a b a 0 c b c 0 ) et g l'endomorphisme de E représenté par M dans la base .

    1. Calculer M 2 et M 3 .

    2. Vérifier que M 3 s'exprime simplement en fonction de M et s .

  1. Montrer que si le réel λ est valeur propre de g alors λ est nécessairement nul. On utilisera la relation trouvée ci dessus.

  2. Montrer que l'hypothèse `` M est inversible'' conduit à une contradiction.

    1. Quel est finalement l'ensemble des valeurs propres de M ?

    2. La matrice M est-elle diagonalisable ?