(ESCP 2001)

Partie A.

On considère la matrice A définie par: A = ( 1 1 2 1 2 1 2 1 3 ) et on note φ l'endomorphisme de R 3 représenté par A dans la base canonique.

    1. Montrer que A admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas d'autre.
      Déterminer les sous-espaces propres E 1 et E 2 associés à ces valeurs propres

    2. La matrice A est-elle diagonalisable?

  1. Soit V un vecteur propre de A associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur W de R 3 tel que φ ( W ) = V + W .

  2. Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2. Montrer que la famille ( U , V , W ) est une base de R 3 .

  3. Déterminer la matrice B représentant l'endomorphisme φ dans la base ( U , V , W ) ainsi qu'une matrice inversible P telle qu'on ait l'égalité B = P 1 A P .

Partie B.

Étant données les matrices I = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )    H = ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ,    N = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) on associe à tout élément ( a , b , c ) de R 3 la matrice C ( a , b , c ) définie par: C ( a , b , c ) = a I + b H + c N On note l'ensemble des matrices C ( a , b , c ) ( a , b , c ) décrit 3 .

  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel 3 ( ) des matrices carrées d'ordre 3 et déterminer sa dimension.

  2. Vérifier que la matrice B définie en A.4 appartient à .

  3. Préciser les conditions que doivent vérifier ( a , b , c ) pour que C ( a , b , c ) soit inversible. Déterminer, quand elle existe, sa matrice inverse.

  4. Déterminer les valeurs propres de C ( a , b , c ) .
    Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si c est nul.

(ESCP 2001)