(ESCP 2001)
Partie A.
On considère la matrice
A
définie par:
A
=
(
−
1
−
1
2
1
2
−
1
−
2
−
1
3
)
et on note
φ
l'endomorphisme de
R
3
représenté par
A
dans la base canonique.
-
-
Montrer que
A
admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas
d'autre.
Déterminer les sous-espaces propres
E
1
et
E
2
associés à ces valeurs propres
-
La matrice
A
est-elle diagonalisable?
-
Soit
V
un vecteur propre de
A
associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur
W
de
R
3
tel que
φ
⁡
(
W
)
=
V
+
W
.
-
Soit
U
un vecteur propre de
A
associé à la valeur propre 2. Montrer que la famille
(
U
,
V
,
W
)
est une base de
R
3
.
-
Déterminer la matrice
B
représentant l'endomorphisme
φ
dans la base
(
U
,
V
,
W
)
ainsi qu'une matrice inversible
P
telle qu'on ait l'égalité
B
=
P
−
1
⁢
A
⁢
P
.
Partie B.
Étant données les matrices
I
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
H
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
N
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
on associe à tout élément
(
a
,
b
,
c
)
de
R
3
la matrice
C
(
a
,
b
,
c
)
définie par:
C
(
a
,
b
,
c
)
=
a
⁢
I
+
b
⁢
H
+
c
⁢
N
On note
ℳ
l'ensemble des matrices
C
(
a
,
b
,
c
)
où
(
a
,
b
,
c
)
décrit
ℝ
3
.
-
Montrer que
ℳ
est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel
ℳ
3
⁡
(
ℝ
)
des matrices carrées d'ordre 3 et déterminer sa dimension.
-
Vérifier que la matrice
B
définie en A.4 appartient à
ℳ
.
-
Préciser les conditions que doivent vérifier
(
a
,
b
,
c
)
pour que
C
(
a
,
b
,
c
)
soit inversible. Déterminer, quand elle existe, sa matrice inverse.
-
Déterminer les valeurs propres de
C
(
a
,
b
,
c
)
.
Montrer
que cette matrice est diagonalisable si et seulement si
c
est nul.
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