EDHEC 2000

Soit la matrice K = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) .

On note E l'ensemble des matrices M de 3 ( ) v\erifiant : M K = K M = M .

    1. Montrer que E est un espace vectoriel.

    2. Montrer par l'absurde qu'aucune matrice de E n'est inversible.

  1. Soit M = ( a b c d e f g h k ) une matrice de E .

    1. Montrer que k = g = c = a , h = b et f = d , puis en déduire la forme des matrices de E .

    2. Retrouver le fait que les matrices de E ne sont pas inversibles.

    3. Déterminer une base de E et vérifier que d i m E = 4 .

  2. On considère l'ensemble F des mtrices de la forme M = ( x y x y z y x y x ) x , y et z sont des réels.

    1. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de E et donner une base de F .

    2. Les matrices de F sont-elles diagonalisables ?

    3. Dans cette question on appelle U la matrice de F telle que : x = 3 , y = 2 et z = 4 .

      Trouver les valeurs propres de U et exhiber un vecteur colonne propre pour chacune d'entre elles.

  3. On note ϕ l'application de F dans qui à toute matrice A de F associe le nombre :

    i = 1 3 j = 1 3 ( 1 ) i + j a i , j ,

    a i , j désigne l'élément de la matrice A situé à l'intersection de la i e ` m e ligne et de la j i e ` m e colonne.

    1. Montrer que ϕ est une application linéaire de F dans .

    2. Déterminer I m ϕ . En déduire que K e r ϕ est de dimension 2 .

    3. Soit M = ( x y x y z y x y x ) une matrice de K e r ϕ .

      Exprimer ϕ ( M ) en fonction de x , y et z et en déduire une base de K e r ϕ .