ECRICOME 2002

Dans l'ensemble 3 ( ) des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels, on considère le sous-ensemble E des matrices M ( a , b ) définies par : M ( a , b ) = ( b a b a b b b b a ) . Ainsi : E = { M ( a , b ) a , b } . On note f a , b l'endomorphisme de 3 représenté par la matrice M ( a , b ) dans la base canonique = ( e 1 , e 2 , e 3 ) de 3 .

Structure de E .

  1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de 3 ( ) .

  2. Donner une base de E , ainsi que sa dimension.

    Etude d'un cas particulier.

    On pose A = M ( 1 , 0 ) .

  3. Calculer A 2 . En déduire que A est une matrice inversible et exprimer A 1 en fonction de A .

  4. Déterminer les valeurs propres de A .

  5. Trouver une base de 3 dans laquelle la matrice de f 1 , 0 est : ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) .

    Diagonalisation des éléments de E et application.

    On considère les vecteurs de 3 suivants : u = ( 1 , 1 , 1 ) , v = ( 1 , 1 , 0 ) , w = ( 1 , 1 , 2 ) .

  6. Justifier que les matrices de l'ensemble E sont diagonalisables.

  7. Montrer que 𝒞 = ( u , v , w ) est une base de 3 .

  8. On note P la matrice de passage de la base à la base 𝒞 . Écrire P .

  9. Déterminer P 1 .

  10. Exprimer les vecteurs f a , b ( u ) , f a , b ( v ) , f a , b ( w ) en fonction de u , v , w .

  11. En déduire l'expression de la matrice D a , b de f a , b dans la base 𝒞 .

  12. Justifier l'égalité : P 1 M a , b P = D a , b .

  13. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que D a , b soit inversible.

  14. -Cette condition étant réalisée, déterminer la matrice inverse de D a , b .

  15. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que M a , b soit inversible.

ECRICOME 2002